椭圆双曲线准线的几何作图

在解析几何教材中 ,对于椭圆 ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1和双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1 ,都给出了它们的准线方程ｘ=± ａ2ｃ,而未给出准线的作图方法 .鉴于准线有着重要的几何意义 ,本文将根据椭圆、双曲线的有关性质 ,结合平面几何知识 ,给出准线的几种作图方法 .图 11　利用相似三角形进行作图先说明椭圆、双曲线的一个共同性质 :(图 1和 2 )焦点Ｆ、顶点Ａ和对应的准线交ｘ轴的垂足Ｈ与中心Ｏ构成三条线段 ,它们的长度成等比数列 ,即｜ＯＡ｜∶｜ＯＦ｜=｜ＯＨ｜∶｜ＯＡ｜.图 2证明　因为｜ＯＦ｜=ｃ=ａ· ｃａ =ａｅ,｜ＯＡ｜ =ａ ,｜ＯＨ｜ =ａ2…     

推导定比分点公式的启示

定比分点公式是解析几何中的一个重要公式 ,有着广泛的应用 .推导公式的关键是将有向线段Ｐ1Ｐ2 投影到坐标轴上 (如图 1) ,化点Ｐ分有向线段Ｐ1Ｐ2 所成的比λ为点Ｍ分坐标轴上有向线段Ｍ1Ｍ2所成的比 .即应用了公式 :　　λ=Ｐ1ＰＰＰ2=Ｍ1ＭＭＭ2=ｘ -ｘ1ｘ2 -ｘ (Ⅰ )　　λ=Ｐ1ＰＰＰ2=Ｍ1ＭＭＭ2=ｙ - ｙ1ｙ2 - ｙ (Ⅱ )(1)　　　　　　　 (2 )图 1　推导公式 (Ⅰ ) ,(Ⅱ )所用图然而 ,定比分点公式一经推出 ,公式 (Ⅰ) ,(Ⅱ)往往不再被重视 .事实上 ,公式 (Ⅰ) ,(Ⅱ)启示着我们 :求解与线段之比有关的问题时 ,可以将其转化为在同一坐…     

一个公式的加强及加强后的应用

1　问题的提出公式｜ｘ1 -ｘ2 ｜=(ｘ1 +ｘ2 ) 2 - 4ｘ1 ｘ2 是实数集上恒成立的一个重要公式 ,在解析几何和代数等学科中都有广泛的应用 .但是该公式在复数集中是否成立呢 ?请看下面一例 :例 1　设ｘ1 、ｘ2 是方程ｘ2 -ｘ+ｔ =0的两个虚根 ,且 ｜ｘ1 -ｘ2 ｜ =3,求实数ｔ的值 .解　由韦达定理得　ｘ1 +ｘ2 =1 ,ｘ1 ｘ2 =ｔ,所以 ｜ｘ1 -ｘ2 ｜=(ｘ1 +ｘ2 ) 2 - 4ｘ1 ｘ2 =1 - 4ｔ =3,所以ｔ =- 2 .2　问题的研究粗看上面的解法似乎完全正确 ,但仔细审题 ,就发现例 1中尚有条件ｘ1 、ｘ2 是虚根未考虑 ,因此所得结论需要检验 ,当ｔ=- 2时 ,…     

巧设点的坐标解题

由中点坐标公式ｘ =ｘ1 ｘ22 ,ｙ =ｙ1 ｙ22 知ｘ1 ,ｘ ,ｘ2 及ｙ1 ,ｙ ,ｙ2 均成等差数列 ,若分别设其公差为ｄ1 ,ｄ2 ,则ｘ1 =ｘ -ｄ1 ,ｙ1 =ｙ -ｄ2 ,　　 ｘ2 =ｘ ｄ1 ,ｙ2 =ｙ ｄ2 .即若线段ＡＢ的中点为Ｐ(ｘ ,ｙ) ,则可设Ａ (ｘ-ｄ1 ,ｙ -ｄ2 ) ,Ｂ(ｘ ｄ1 ,ｙ ｄ2 ) .不难验证 ,ｋＡＢ=ｄ2ｄ1,|ＡＢ| =2ｄ21 ｄ22 .例 1　定长为ｌ的线段ＡＢ的两个端点在抛物线ｙ2 =ｘ上移动 ,求线段ＡＢ的中点Ｐ的轨迹方程 .解　设Ｐ (ｘ ,ｙ) ,Ａ (ｘ -ｄ1 ,ｙ -ｄ2 ) ,Ｂ(ｘ ｄ1 ,ｙ ｄ2 ) ,则　 ( ｙ -ｄ2 ) 2 =ｘ -ｄ1 ( 1)( ｙ ｄ2 …     

有向线段、定比分点

本单元知识点及重要方法本单元有几个重要概念 :有向线段 ,有向线段的长度 ,有向线段的数量 ,有向线段的定比分点 ;二个重要公式 :有向线段的定比分点公式 ,两点间的距离公式 ;一个重要的数学方法 :解析法 .有向线段、有向线段的定比分点是本单元的重点与难点 .深刻理解有向线段的定比分点概念 ,是灵活运用有向线段定比分点公式解题的关键 .练习选择题1　若点Ｐ分有向线段ＭＮ所成的比为 - 13 ,则点Ｎ分有向线段ＭＰ所成的比为 (　　 )(Ａ) - 13 .　　　　　 (Ｂ) 13 .(Ｃ) - 23 .　 (Ｄ) 23 .2　已知点Ａ(ｘ1 ,ｙ1 )关于点Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 )中…     

一个三角形区域的绝对值方程

根据文 [1]介绍 ,方程｜x｜+ y-1+ ｜x｜=1(1)是“绝对值方程”研究历程中的第一个三角形方程 .现对 (1)表示的图形再给出一种推演证法 ,然后给 (1)一个推广 ,由此得到一个三角形区域的绝对值方程 .解　将方程 (1)改为下列形式｜y-(1-｜x｜) ｜=1-｜x｜由此不难得到 :(i) ｜x｜≤ 1,即 -1≤x ≤ 1;(ii) y=0时有 1-｜x｜ =1-｜x｜ ,对｜x｜≤ 1,均成立 ;(iii) y=2 (1-｜x｜)为 (1)的解 .由 (i) ,(ii)得线段AB ,由 (iii)得线段AC及BC ,所以△ABC便是方程 (1)表示的图形(见图 1) .图 1　　　　　　　　　图 2从抽象的角度审视方程 (1) ,它…     

巧用线段的定比分点公式解题

线段的定比分点是指 :Ｐ1Ｐ2 是直线ｌ上的有向线段 ,点Ｐ是直线ｌ上除Ｐ1,Ｐ2 外的任意一点 ,点Ｐ把有向线段Ｐ1Ｐ2 分成两条有向线段Ｐ1Ｐ和ＰＰ2 ,且两线段的比为 Ｐ1ＰＰＰ2=λ ;若Ｐ1,Ｐ2 ,Ｐ的坐标分别为(ｘ1,ｙ1) ,(ｘ2 ,ｙ2 ) ,(ｘ ,ｙ) ,则λ =ｘ -ｘ1ｘ2 -ｘ或λ =ｙ - ｙ1ｙ2 - ｙ,从而有分点的坐标公式ｘ =ｘ1 λｘ21 λｙ =ｙ1 λｙ21 λ(λ≠ - 1) .其中当λ >0时 ,Ｐ为内分点 ,特别当λ =1时 ,Ｐ为中点 ;当λ <0时 ,Ｐ为外分点 .巧用线段的定比和分点公式解一些代数题 ,简捷方便 ,快速准确 .请看下面例子 .例 1　如果式子中…     

定比分点公式在不等式中的巧妙应用

定比分点公式是解几中非常重要的公式 ,利用它解 (证 )不等式将非常巧妙而有效 ,特介绍如下 :1　解不等式　对于解形如ｘ1 <ｘ <ｘ2 (或 |ｘ| <ａ)的不等式 ,我们是把ｘ1 ,ｘ ,ｘ2 分别对应数轴上三点 :Ｐ1 ,Ｐ ,Ｐ2 ,Ｐ是有向线段Ｐ1 Ｐ2 的内分点 ,由定比分点公式λ=Ｐ1 ＰＰＰ2 =ｘ -ｘ1 ｘ2 -ｘ,因为λ >0 ,所以 ｘ -ｘ1 ｘ2 -ｘ>0 ,通过解此不等式可得原不等式的解 ;而对于形如 |ｘ| >ａ的不等式 ,我们同样把-ａ,ｘ ,ａ分别对应数轴上三点 :Ｐ1 ,Ｐ ,Ｐ2 ,而此时Ｐ是有向线段Ｐ1 Ｐ2 的外分点 ,λ <0即 ｘ ａａ -ｘ<0 ,解此不等式即可…     

2000年莫斯科大学数学力学系入学考试试题

试卷 1 (3月 )1　解不等式｜ｘ- 4｜- ｜ｘ- 1｜｜ｘ- 3｜-｜ｘ- 2 ｜ <｜ｘ- 3｜ ｜ｘ- 2｜｜ｘ- 4｜ .2　已知一个递减等差数列的前 7项的 5次幂之和等于 0 ,而它们的 4次幂之和等于 51 .求这个数列的第 7项 .3　在区间 [- 92 π ,- 32 π]上 ,求下列方程的所有的根 :ｃｏｓｘｓｉｎ ｘ4 91 0 ｓｉｎｘ 2ｓｉｎ ｘ4ｃｏｓ ｘ2 ｓｉｎ ｘ4 - 12 ｃｏｓ ｘ4 - 92 0 =0 .4　经过梯形ＡＢＣＤ的腰ＡＢ的中点Ｋ作出ＡＢ的垂线与边ＣＤ相交于点Ｌ .已知四边形ＡＫＬＤ的面积是四边形ＢＫＬＣ的面积的 5倍 ,ＣＬ=3,ＤＬ =1 5,ＫＣ =4.求线段Ｋ…     

焦点弦长度与斜率的换算关系

定理　设ＡＢ是圆锥曲线过焦点Ｆ的弦 ,其长度记作ｄ ,ＡＢ相对于焦点所在对称轴的倾角为θ(θ≠ 90°) ,ｔｇθ=ｋ ,ｅ为离心率 ,ｐ为焦点到相应准线的距离 ,则有ｄ与ｋ的关系式 :ｄ=2ｅｐ(1 ｋ2 )(1 ｋ2 ) -ｅ2 ,或ｋ2 =ｅ2 ｄｄ - 2ｅｐ- 1 .证明　由圆锥曲线统一的极坐标方程 ρ=ｅｐ1 -ｅｃｏｓθ(坐标建法略 ) ,得｜ＡＦ｜=ｅｐ1 -ｅｃｏｓθ,｜ＢＦ｜=ｅｐ/[1 -ｅｃｏｓ(π θ) ]=ｅｐ1 ｅｃｏｓθ,从而ｄ =｜ＡＦ｜ ｜ＢＦ｜=2ｅｐ1 -ｅ2 ｃｏｓ2 θ,再把ｃｏｓ2 θ= 11 ｔｇ2 θ=11 ｋ2 代入整理 ,得ｄ =2ｅｐ(1 ｋ2 )(1 ｋ…     

活用λ的几何意义

定理　如果Ａ、Ｂ两点的坐标是Ａ (ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,点Ｐ在直线ＡＢ上 ,ＡＰＰＢ =λ(λ≠ -1) ,那么ｘＰ=ｘ1+λｘ21+λ ,ｙＰ=ｙ1+λｙ21+λ .这是大家熟悉的定比分点公式 .运用该公式解题时注意“数形结合” ,明确Ｐ在直线ＡＢ上的位置与数λ的相互对应关系 ,不仅能使某些问题化难为易 ,而且能体味其解法的简洁美 .Ｐ在直线ＡＢ上的位置λ的变化情况Ｐ在有向线段ＡＢ内Ｐ为线段ＡＢ中点0 <λ<+∞λ =1Ｐ在有向线段ＡＢ的延长线上 -∞ <λ<- 1Ｐ在有向线段ＢＡ的延长线上 - 1<λ <0　　例 1　解不等式 0 <ｘ2 -5ｘ + 6ｘ2 + 5ｘ …     

双曲线焦点三角形的几个性质

如图 1 ,设Ｆ1,Ｆ2 是双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1 (ａ>0 ,ｂ>0 )的焦点 ,Ｐ是双曲线上的任意一点 (异于实轴端点 ) ,则称△Ｆ1ＰＦ2 为双曲线的焦点三角形 .图 1设∠Ｆ1ＰＦ2 =θ,∠ＰＦ1Ｆ2 =α,∠ＰＦ2 Ｆ1=β ,双曲线的离心率为ｅ,则△Ｆ1ＰＦ2 具有如下的性质 .定理 1｜ＰＦ1｜·｜ＰＦ2 ｜=ｂ2ｓｉｎ2 θ2.证明　在△Ｆ1ＰＦ2 中｜ＰＦ1｜2 +｜ＰＦ2 ｜2 -2 ｜ＰＦ1｜·｜ＰＦ2 ｜ｃｏｓθ= 4ｃ2 (1 )又因｜ＰＦ1｜-｜ＰＦ2 ｜ =2ａ ,所以 ｜ＰＦ1｜2 +｜ＰＦ2 ｜2 -2｜ＰＦ1｜·｜ＰＦ2 ｜= 4ａ2 (2 )(1 ) -(2 )得2｜ＰＦ1｜·｜ＰＦ2 …     

“立体几何”与“解析几何”综合题举隅

在复习教学中 ,教师有意加强数学学科内综合题的解题训练 ,对于学生创新意识和实践能力的培养 ,对于学生适应高考改革的需要是非常必要的 .笔者仅就“立体几何”与“解析几何”的综合 ,略举几例供参考 .1　以空间图形为背景的轨迹问题例 1　设两异面直线ａ、ｂ成 60°角 ,它们的公垂线ＥＦ长为 2 ,今以长为 4的线段ＡＢ两端Ａ、Ｂ分别在ａ、ｂ上运动 ,试求ＡＢ中点Ｐ的轨迹 .解　如图 1(甲 ) ,作ＥＦ的中垂面α ,设α交ＥＦ于Ｏ ,易知Ｐ∈α且易得ＡＢ在α内的射影｜ＣＤ｜=2 3 ,∠ＣＯＤ =60° ,在α内以Ｏ为原点 ,∠ＣＯＤ的平分线为ｘ轴…     

公式｜z｜~2＝zz（z∈C）的应用（教案）

公式｜ｚ｜~２＝ｚｚ（ｚ∈Ｃ）的应用（教案）武汉市一中邱应麟教学目的１．引导学生正确理解此公式的意义，熟练它的应用，并在应用中提高逻辑思维能力．２．引导学生明确实数集中“｜ｘ｜＝ｘ２”是复数集中“｜ｚ｜２＝ｚｚ”的特例，加深对复数概念的理解．教学过程?..     

Pointwise Estimate for Baskakov Operators

§ 1.Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　Ｆｏｒｔｈｅｗｅｌｌ ｋｎｏｗｎＢｅｒｎｓｔｅｉｎｐｏｌｙｎｏｍｉａｌＢｎ(ｆ;ｘ) = ｎｋ=0ｆ ｋｎ ｐｎ,ｋ(ｘ) ,　ｐｎ ,ｋ(ｘ) =ｎｋ ｘｋ( 1 -ｘ) ｎ-ｋ,ＢｅｒｅｎｓａｎｄＬｏｒｅｎｔｚ[1]ｐｒｏｖｅｄｔｈａｔｆｏｒｆ∈Ｃ[0 ,1 ] ,0 <α<2 ,ｏｎｅｈａｓ｜ (Ｂｎｆ-ｆ) (ｘ) ｜=Ｏ ｘ( 1 -ｘ)ｎα/ 2 ω2 (ｆ;ｔ) =Ｏ(ｔα) . ( 1 .1 )Ｏｎｔｈｅｏｔｈｅｒｈａｎｄ ,ＤｉｔｚｉａｎａｎｄＴｏｔｉｋ[2 ]ｏｂｔａｉｎｅｄｔｈａｔｆｏｒｆ∈Ｃ[0 ,1 ] ,0 <α<2 ,ｏｎｅｈａｓ｜ (Ｂｎｆ -ｆ)…     

用柯西不等式推导点到直线的距离公式

点到直线距离公式的推导 ,有不少方法 [1 ].[2 ].本文用柯西不等式给出其又一推导 .已知点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )及直线ｌ:Ａｘ+Ｂｙ+Ｃ =0 (Ａ2 +Ｂ2 ≠ 0 ) .设点Ｐ1 (ｘ1 ,ｙ1 )是直线ｌ上任意一点 ,则Ａｘ1 +Ｂｙ1 +Ｃ =0 . ①｜ＰＰ1 ｜=(ｘ0 -ｘ1 ) 2 +(ｙ0 -ｙ1 ) 2 .②点Ｐ ,Ｐ1 两点间的距离｜ＰＰ1 ｜的最小值 ,就是点Ｐ到直线ｌ的距离 .求②的最小值 ,由柯西不等式有 :Ａ2 +Ｂ2 · (ｘ0 -ｘ1 ) 2 +(ｙ0 -ｙ1 ) 2≥｜Ａ(ｘ0 -ｘ1 ) +Ｂ(ｙ0 -ｙ1 ) ｜=｜Ａｘ0 +Ｂｙ0 +Ｃ- (Ａｘ1 +Ｂｙ1 +Ｃ) ｜ ,由①、②得 :Ａ2 +Ｂ2 ·｜ＰＰ1 ｜≥｜…     

应用凸多边形的重心公式证一类三角不等式

物理学告诉我们 :对于均匀分布的凸ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ,若各顶点的坐标依次是Ａ1 (ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ａ2 (ｘ2 ,ｙ2 ) ,Ａ3(ｘ3,ｙ3) ,… ,Ａｎ(ｘｎ,ｙｎ) .则这个凸ｎ边形的重心 (几何重心 )Ｇ的坐标是1ｎ∑ｎｉ =1ｘｉ,1ｎ∑ｎｉ=1ｙｉ .而且重心Ｇ位于凸ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 的内部 ,当这个凸ｎ边形存在外接圆时 .重心Ｇ必在外接圆的内部 ,这个外接圆的圆心Ｑ到重心Ｇ的距离小于外接圆的半径Ｒ .即｜ＱＧ｜ <Ｒ.特别地 ,当凸ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 的各顶点Ａ1 ,Ａ2 ,… ,Ａｎ 重合时 ,｜ＱＧ｜=Ｒ ,利用物体的重心公式Ｇ 1ｎ∑ｎｉ =1ｘｉ…     

圆内接星形的一种奇特属性

本文揭示圆内接星形的一种非常奇特的属性．为此,先给出如下概念和引理：图１定义１从点Ｃ向有向线段ＡＢ引垂线（图１）,交ＡＢ或其延长线于Ｄ．设有向线段ＣＤ的数量为ｄ,则ｄ称为点Ｃ到线段ＡＢ的有向距离．当点Ｃ位于ＡＢ所指方向的左侧时,ｄ＝｜ＣＤ｜＞０;当点...     

椭圆定义在解题中的应用

椭圆有两种定义,定义式分别为｜PF1｜+｜PF2｜=2a(常数2a＞｜F1F2｜)和｜PF｜=e(0＜e＜1).椭圆定义中的数量关系十分明显,若能正确应用椭圆定义解题,则可以优化解题方法,培养解题能力,达到事半功倍的效果,现举例说明其应用.     

定比分点坐标公式引出的几个结论

有向线段Ｐ1Ｐ2 的定比分点坐标公式ｘ =ｘ1 λｘ21 λ ,ｙ =ｙ1 λｙ21 λ (λ≠ - 1) ,这是一个结构整齐、对称、富于数学美的公式 .该公式是点分线段得到的 ,若用线段分面 ,用面分体会有什么结论呢 ?笔者就λ >0的情况进行了一些探索得到如下几个结论 .结论 1　梯形上、下底边长分别为ａ ,ｂ ,平行于底边的线段长为ｘ ,此线段把梯形的高自上而下分成ｍ∶ｎ两段 ,记λ =ｍ∶ｎ ,则ｘ =ａ λｂ1 λ .图 1　梯形证　如图 1,设梯形ＡＥＦＤ的高为ｈ ,梯形ＥＢＣＦ的高为ｈ2 ,作ＤＱ∥ＡＢ交ＥＦ ,ＢＣ于点Ｐ ,Ｑ ,作ＦＧ∥ＡＢ交ＢＣ于点Ｇ …