公式S2α,C2α的联用三部曲

二倍角公式ｓｉｎ2α =2ｓｉｎαｃｏｓα与ｃｏｓ2α =ｃｏｓ2 α-ｓｉｎ2 α ,虽然是两角和的正弦与余弦公式的特殊情况 ,但在其应用上具有高度的灵活性和交互性 .1　正向联用例 1　 ( 1998年上海高考试题 )设α是第二象限角 ,ｓｉｎα =35,求ｓｉｎ( 37π6 - 2α)的值 .解　由ｓｉｎα =35,且α是第二象限的角 ,得ｃｏｓα =- 45.∴ｓｉｎ2α =2ｓｉｎαｃｏｓα =- 2 42 5,ｃｏｓ2α =ｃｏｓ2 α -ｓｉｎ2 α =72 5.∴ｓｉｎ( 37π6 - 2α) =ｓｉｎ( π6 - 2α)=ｓｉｎ π6 ｃｏｓ2α -ｃｏｓ π6 ｓｉｎ2α=12 ·72 5- 32 ·( - 2 42 5…     

求辐角主值的三种方法

例　已知ｚ =ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ( 0 <θ <π2 ) ,求ａｒｇ(ｚ2 -ｚ) .分析 1:由复数的代数式与三角式的关系 :ａ ｂｉ=ｒｃｏｓθ ｉ·ｒｓｉｎθ ,知辐角θ的主值可由ｔｇθ =ｂａ及点 (ａ ,ｂ)所在的象限确定 .笔者首推这一方法 .解法 1　设ｚ2 -ｚ =(ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ) 2 - (ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ) =ｃｏｓ2θ -ｃｏｓθ ｉ(ｓｉｎ2θ -ｓｉｎθ)的辐角主值为α ,则ｔｇα =ｓｉｎ2θ -ｓｉｎθｃｏｓ2θ -ｃｏｓθ=2ｃｏｓ3θ2 ｓｉｎ θ2- 2ｓｉｎ3θ2 ｓｉｎ θ2=-ｃｔｇ3θ2 =ｔｇ( π2 3θ2 ) .由 0 <θ <π2 ,知 π2 <…     

并不恒等的三角“恒等”变换

“三角恒等变换”是学习三角知识及探索三角问题的一种重要方法 ,是学生必须要掌握的一块重要内容 .但很多学生却由于概念不清、忽视角的取值范围等原因把并不恒等的三角变形看成恒等的三角变形 .本文举数例说明如下 .1　求角例 1　已知ｓｉｎα =2ｃｏｓβ ,ｔｇα =3ｃｔｇβ ,- π2 <α <π2 ,0 <β<π ,求角α,β.错解 :由已知得 :ｃｓｃ2 α =12ｃｏｓ2 β,ｃｔｇ2 α=13ｔｇ2 β (1)∵ｃｓｃ2 α =1 ｃｔｇ2 α (2 )∴ 12ｃｏｓ2 β=13ｔｇ2 β 1(3)∴ 1=12ｃｏｓ2 β- 13ｔｇ2 β =3- 2ｓｉｎ2 β6ｃｏｓ2 β .∴ 6ｃｏｓ2 β=3- 2…     

sinα±cosα与tgα-ctgα的符号图

判断ｓｉｎα±ｃｏｓα与ｔｇα -ｃｔｇα的符号问题 ,在高考中屡见不鲜 .由单位圆中的三角函数线易得如下结论 :图 1　ｓｉｎα±ｃｏｓα的符号图　图 2　ｔｇα -ｃｔｇα的符号图由图 1知 ,直线 ｙ =±ｘ将坐标平面分成四个区域 ,当角α的终边落在直线ｙ=ｘ上时 ,ｓｉｎα-ｃｏｓα =0 ,在 ｙ =ｘ上方有ｓｉｎα -ｃｏｓα >0 ,在 ｙ =ｘ下方有ｓｉｎα-ｃｏｓα <0 ;当角α的终边落在直线 ｙ =-ｘ上时 ,ｓｉｎα +ｃｏｓα =0 ,在 ｙ =-ｘ上方有ｓｉｎα +ｃｏｓα >0 ,在ｙ =-ｘ下方有ｓｉｎα +ｃｏｓα <0 .由图 2知 ,ｘ轴、ｙ轴…     

美国纽约州立大学招生会考试卷数学B

(考试时间 :2 0 0 2年 8月 1 3日上午 8:3 0 - 1 1 :3 0 )注意 :考试中需要下列工具 :计算器、圆规、直尺 .参考公式 :三角形的面积ｋ =12 ａｂｓｉｎＣ两角和与差的三角函数ｓｉｎ(Ａ +Ｂ) =ｓｉｎＡｃｏｓＢ +ｃｏｓＡｓｉｎＢｃｏｓ(Ａ +Ｂ) =ｃｏｓＡｃｏｓＢ -ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎ(Ａ -Ｂ) =ｓｉｎＡｃｏｓＢ -ｃｏｓＡｓｉｎＢｃｏｓ(Ａ -Ｂ) =ｃｏｓＡｃｏｓＢ +ｓｉｎＡｓｉｎＢ正弦定理ａｓｉｎＡ=ｂｓｉｎＢ=ｃｓｉｎＣ余弦定理ａ2 =ｂ2 +ｃ2 - 2ｂｃｃｏｓＡ二倍角公式ｓｉｎ2Ａ =2ｓｉｎＡｃｏｓＡｃｏｓ2Ａ =ｃｏｓ2 Ａ -ｓ…     

一个三角等式的探索过程

笔者在探究光的反射和弹性碰撞问题时 ,发现了如下三角公式 :ｓｉｎαｃｏｓ4αｃｏｓ3α ｓｉｎαｃｏｓ3αｃｏｓ2α ｓｉｎαｃｏｓ2αｃｏｓα ｓｉｎαｃｏｓα=ｔｇ4α ( 0°<α <2 2 .5°) ( 1)本文将展开与 ( 1)式相关的思维过程 .1　 ( 1)式的成因　图 1　原线拆射图1.1　问题的提出　如图 1,假设两平面镜ＯＡ ,ＯＰ成 15°角 ,一束光线从Ａ点与ＯＡ成 30°角射出 ,经ＯＰ反射后 ,反射光线ＢＣ又经ＯＡ反射 ,然后ＣＤ经ＯＰ第二次反射 ,此时的反射光线ＤＥ必垂直于镜面ＯＡ(Ｅ为ＤＥ与ＯＡ的交点 ) ,此时再反射 ,光线就按原路返…     

反三角函数和三角方程

选择题1　下列各等式成立的是 (　　 )(Ａ)ａｒｃｓｉｎ π3=32 .(Ｂ)ｃｏｓ(ａｒｃｃｏｓ π3) =π3.(Ｃ)ｔｇ(ａｒｃｔｇ 3) =3.(Ｄ)ｓｉｎ(ａｒｃｃｏｓ12 ) =12 .2　下列命题不正确的是 (　　 )(Ａ)函数 ｙ =ａｒｃｃｏｓｘ - π2 是奇函数 .(Ｂ)当ｘ∈ ( 22 ,1)时 ,ａｒｃｓｉｎｘ >ａｒｃｃｏｓｘ .(Ｃ)ｔｇ(ａｒｃｃｏｓ0 ) =0 .(Ｄ)当ｘ∈ ( -∞ ,0 )时 ,ａｒｃｃｔｇｘ >ａｒｃｔｇｘ .3　若 π4 <α <5π4 ,则ａｒｃｓｉｎ[22 (ｓｉｎα ｃｏｓα) ]的值为(　　 )(Ａ) π4 -α .　　 (Ｂ)α - π4 .(Ｃ)α - 3π4 . (Ｄ) 3π4 -…     

一道三角函数题的多种解法和推论

我们常会遇到含有某个角α的多种倍角 (如α ,2α ,3α)的三角函数式的求值或化简的问题 .对于这类问题 ,除了要用到三角公式外 ,我们还可以联想其它数学知识 ,巧妙地解决问题 .在此 ,举一例以说明 .例　求ｃｏｓπ7-ｃｏｓ2π7+ｃｏｓ3π7的值 .分析 1:式中各项均由ｃｏｓｎπ7构成 ,可以考虑分别乘以ｓｉｎ π7,利用积化和差公式化简该式 .解　原式 =ｓｉｎ π7(ｃｏｓ π7-ｃｏｓ2π7+ｃｏｓ3π7)ｓｉｎ π7=12 ｓｉｎ2π7- 12 (ｓｉｎ3π7-ｓｉｎ π7) + 12 (ｓｉｎ4π7-ｓｉｎ2π7)ｓｉｎ π7.=ｓｉｎ2π7-ｓｉｎ3π7+ｓｉｎ π7+ｓｉ…     

解三角题应重视对角的范围的考察

例 1　已知ｓｉｎθ ｃｏｓθ =- 15( 0 <θ <π) ,求ｔｇθ的值 .分析 :本题解法甚多 ,但若由ｓｉｎθ ｃｏｓθ <0把θ的范围进一步缩小 ,则解法较简洁 .解　由 (ｓｉｎθ ｃｏｓθ) 2 =( - 15) 2 =12 5得ｓｉｎ2θ =- 2 42 5.∵ 0 <θ<π且ｓｉｎθ ｃｏｓθ <0 ,∴ 3π4 <θ <π ,则3π2 <2θ <2π ,∴ｃｏｓ2θ=72 5,　∴ｔｇθ =1-ｃｏｓ2θｓｉｎ2θ =- 34.评述 :只有把 2θ的范围缩小 ,才能确定ｃｏｓ2θ的符号 ,进而求出ｔｇθ的值 .例 2　已知α ,β均为锐角 ,ｓｉｎα =210 ,ｓｉｎβ =1010 ,求α 2 β的值 .分析 :为了求…     

2002年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）（北京卷）

参考公式 :三角函数的积化和差公式ｓｉｎαｃｏｓβ=12 [ｓｉｎ(α+β) +ｓｉｎ(α- β) ]ｃｏｓαｓｉｎβ=12 [ｓｉｎ(α +β) -ｓｉｎ(α - β) ]ｃｏｓαｃｏｓβ =12 [ｃｏｓ(α+β) +ｃｏｓ(α- β) ]ｓｉｎαｓｉｎβ=- 12 [ｃｏｓ(α +β) -ｃｏｓ(α - β) ]正棱台、圆台的侧面积公式Ｓ台侧 =12 (ｃ′+ｃ)ｌ其中ｃ′、ｃ分别表示上、下底面周长 ,ｌ表示斜高或母线长球体的体积公式Ｖ球 =43 πＲ3其中Ｒ表示球的半径一、选择题 :在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .(1 )满足条件Ｍ∪ { 1 } ={ 1 ,2 ,3 }的集合Ｍ…     

2002年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(全国卷)(理工农医类)

参考公式 :三角函数的积化和差公式ｓｉｎαｃｏｓβ=12 [ｓｉｎ(ａ +β) +ｓｉｎ(α-β) ]ｃｏｓαｓｉｎβ=12 [ｓｉｎ(ａ+β) -ｓｉｎ(α -β) ]ｃｏｓαｃｏｓβ =12 [ｃｏｓ(ａ+β) +ｃｏｓ(α -β) ]ｓｉｎαｓｉｎβ =-12 [ｃｏｓ(ａ +β) -ｃｏｓ(ａ-β) ]正棱台、圆台的侧面积公式Ｓ台侧 =12 (ｃ′ +ｃ)ｌ其中　ｃ′、ｃ分别表示上、下底面周长 ,ｌ表示斜高或母线长球的体积公式Ｖ球 =43 πＲ3　　其中Ｒ表示球的半径一 选择题 :在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .(1 )圆 (ｘ -1 ) 2 +ｙ2 =1的圆心到直线ｙ=33…     

一个反三角恒等式的应用

在反三角函数中,有一个重要的恒等式:ａｒｃｓｉｎｘ ａｒｃｃｏｓｘ=π2,其中ｘ∈[-1,1].本文例举这一恒等式的应用.1　求值例1　(1996年全国高考题)若0<α<π2,则ａｒｃｓｉｎ[ｃｏｓ(π2 α)] ａｒｃｃｏｓ[ｓｉｎ(π α)]等于(　　)(Ａ)π2.　　　　　　(Ｂ)-π2.(Ｃ)π2-2α.　　　　(Ｄ)-π2-2α.解法1　原式=ａｒｃｓｉｎ(-ｓｉｎα) ａｒｃｃｏｓ(-ｓｉｎα)=π2.故选(Ａ).解法2　原式=ａｒｃｓｉｎ(-ｓｉｎα) π2-ａｒｃｓｉｎ[ｓｉｎ(π α)]=ａｒｃｓｉｎ(-ｓｉｎα) π2-ａｒｃｓｉｎ(-ｓｉｎα)=π2.故选(Ａ).2　解反三角不等…     

一道三角函数求值题

一道题从不同的角度出发 ,会有不同的解法 ,这样做有利于开阔解题思路 ,总结解题规律 .下面是本人对一道三角函数求值问题的多种解法 .题目　已知ｓｉｎθ ｃｏｓθ =15,θ∈ [0 ,π]那么ｃｔｇθ = .思路 1　最容易想到的是知道角的大小求值 .解法 1　由 15=ｓｉｎθ ｃｏｓθ =2ｓｉｎ(θ π4 )得θ =ｋπ - π4 ( - 1) ｋａｒｃｓｉｎ 210 ,∵θ∈ ( 0 ,π) ,∴θ =34π -ａｒｃｓｉｎ 210 .∴ｃｔｇθ=ｃｔｇ( 34π -ａｒｃｓｉｎ 210 ) =- 34.本人认为 ,这种解法计算繁琐 ,容易出错 ,一般不采用 .思路 2　另一种直接的方法是从定…     

万能公式的自述

我叫“万能公式” ,由以下三兄弟组成 :ｓｉｎα =2ｔｇ α21 ｔｇ2 α2( 1)ｃｏｓα =1-ｔｇ2 α21 ｔｇ2 α2( 2 )ｔｇα =2ｔｇ α21-ｔｇ2 α2( 3)因为不论α角的哪一种三角函数 ,我都能将它们统一成ｔｇ α2 的有理式 ,这“统一”和“有理”正是我“万能”之根源 ,使我成为沟通三角 ,代数、几何的纽带 ,因此 ,朋友们为我起了一个令我非常满意而自豪的名字———“万能公式” .我也没有辜负大家对我的期望 ,在我的帮助下 ,很多问题被巧妙地解决 .例 1　求函数ｙ =1 ｘ - 2ｘ2 ｘ3 ｘ41 2ｘ2 ｘ4的值域 ?许多同学遇到这类题常感不知…     

名校基础知识自测

高一年级北京师范大学二附中 (10 0 0 88)　汪燕铭一、选择题1.若ｃｏｔα =125 ,则有 (　　 ) .(Ａ)ｓｉｎα =513 　　　　 (Ｂ)ｓｅｃα >ｔａｎα(Ｃ)ｃｏｓα =±1213 (Ｄ)ｔａｎα =± 5122 .若ｔａｎ10°·ｃｏｔ10° + 1-ｓｉｎ2 α·ｃｏｓα +1-ｃｏｓ2 α·ｓｉｎα =0 ,则 (　　 ) .(Ａ)α =10°(Ｂ)α =ｋ·3 60°+ 10°(ｋ∈Ｚ)(Ｃ)α为任意角　　 (Ｄ)α是第三象限角3 .若α∈ (-π ,-π2 ) ,则 1-2ｓｉｎ α2 ·ｃｏｓ α2化简的结果是 (　　 ) .(Ａ)ｓｉｎ α2 -ｃｏｓ α2 (Ｂ)ｃｏｓ α2 -ｓｉｎ α2(Ｃ)± (ｓｉｎ α2 …     

关于椭圆的一个命题

设Ｐ1Ｐ2 Ｐ3 Ｐ4 为椭圆 ｘ2ａ2+ ｙ2ｂ2 =1的内接矩形 (如图1) ,则Ｐ1Ｐ2 ,Ｐ1Ｐ4 分别平行于ｘ轴 ,ｙ轴 .证　不妨设ａ >ｂ ,Ｐｉ(ａｃｏｓαｉ,ｂｓｉｎαｉ) (ｉ =1,2 ,3,4 ) ,0≤α1<α2 <α3 <α4 <2π .因为矩形两条对角线相交于一点 ,且相互平分 ,所以ａｃｏｓα1+ａｃｏｓα3 =ａｃｏｓα2 +ａｃｏｓα4 ,ｂｓｉｎα1+ｂｓｉｎα3 =ｂｓｉｎα2 +ｂｓｉｎα4 ,即 ｃｏｓα1+ｃｏｓα3 =ｃｏｓα2 +ｃｏｓα4ｓｉｎα1+ｓｉｎα3 =ｓｉｎα2 +ｓｉｎα4(1)(2 )∴ (ｃｏｓα1+ｃｏｓα3 ) 2 + (ｓｉｎα1+ｓｉｎα3 ) 2=(ｃｏｓα2 …     

一道例题结论的推广

本刊文 [1 ]用三角形的一个重要性质巧妙地证明了该文的例 4:设α ,β为锐角 ,且ｓｉｎ2 α ｓｉｎ2 β =ｓｉｎ(α β) ,求证 :α β =π2 .本文推广这个结论 (从以下定理 1的证明中还可找到上述结论的简捷证明 ) .定理 1　设α ,β均为第一象限的角 ,则ｓｉｎα =><ｃｏｓβ ｓｉｎ2 α ｓｉｎ2 β=><ｓｉｎ(α β) .证　有ｓｉｎα ,ｃｏｓα ,ｓｉｎβ ,ｃｏｓβ均为正数 ,所以ｓｉｎα =><ｃｏｓβ ｓｉｎα =><ｃｏｓβｃｏｓα =<>ｓｉｎβ ｓｉｎα·(ｓｉｎα -ｃｏｓβ) =><0 =><ｓｉｎβ(ｃｏｓα -ｓｉｎβ) ｓｉｎα…     

用“三色眼光”看复数

复数将代数、三角、几何融为一体 ,富有灵气 .它的“数”(代数形式 )、“形”(几何形式 )、“角”(三角形式 ) ,使解题者可以从不同的侧面去研究它 ,找到既相互联系 ,又相互独立的解法 ,使思维呈现出独创美和简洁美 .下面就让我们带着“数”、“形”、“角”这“三色眼光”去看看复数吧 !1　关于辐角例 1　求ｚ =1 -ｃｏｓθ -ｉｓｉｎθ(3π <θ <4π)的辐角主值 .着眼于“数” :设ｚ =ａ +ｂｉ(ａ ,ｂ∈Ｒ) ,则ａｒｇｚ可由ｔｇθ =ｂａ 及 (ａ ,ｂ)所在象限来确定 .所以ｔｇ(ａｒｇｚ) =- ｓｉｎθ1 -ｃｏｓθ=-ｃｔｇ θ2 =ｔｇ θ2 - …     

函数y=θ-argz的几何解释

设复数ｚ =ａｃｏｓθ ｉ·ｂｓｉｎθ,(ａ>ｂ >0 ,0 <θ<π2 ) ,则θ为复数ｚ在复平面上对应点ｚ轨迹 ｘ =ａｃｏｓθｙ =ｂｓｉｎθ(0 <θ<π2 为参数 )———椭圆 (在第一象限部分 )的离心角 ,如图 ,函数ｙ=θ-ａｒｇｚ即为∠ＡＯＺ .ｔｇ∠ＡＯＺ =ｔｇｙ =ｔｇ(θ-ａｒｇｚ)=ｔｇθ - ｂａｔｇθ1 ｔｇθ· ｂａｔｇθ=(ａ -ｂ)ｔｇθａ ｂｔｇ2 θ=ａ-ｂａｔｇθ ｂｔｇθ≤ ａ-ｂ2ａｂ,所以ｙ的最大值为ａｒｃｔｇａ -ｂ2ａｂ,当且仅当 ａｔｇθ=ｂｔｇθ,即θ =ａｒｃｔｇ ａｂ 时取得 .当ａ =3 ,ｂ=2或ａ =3 ,ｂ=1时就分别得到 9…     

一道三角习题的多解与多变

高中《代数》上册 (必修 )Ｐ1 50第 1 7题 :已知ｔａｎα =2 ,求ｓｉｎα +ｃｏｓαｓｉｎα -ｃｏｓα的值 .此题虽浅显简单 ,但若能正确使用 ,对同学们培养能力 ,发展智力 ,引起兴趣 ,确能起到一定的作用 .1　一题多解解法 1　ｔａｎα =2 ｓｉｎα =2 55,ｃｏｓα =55.或　ｓｉｎα =- 2 55,ｃｏｓα =- 55.∴ ｓｉｎα +ｃｏｓαｓｉｎα -ｃｏｓα=3 .解法 2　∵ｔａｎα =2 ｓｉｎαｃｏｓα=2 ,即ｓｉｎα =2ｃｏｓα ,∴ ｓｉｎα +ｃｏｓαｓｉｎα -ｃｏｓα=2ｃｏｓα +ｃｏｓα2ｃｏｓα -ｃｏｓα=3 .解法 3　ｔａｎα=2 ｓ…