优化一道课本习题的解法

《数学通讯》2005年第15期刊登了徐建义，丁尔法两位老师的文章——《对一道课本习题解答的完善》，读后深受启发．笔者认为：原文提供的解法仍显得比较烦琐．下面笔者给出一种较简捷的解法，供参考．     

一道习题的推广与应用

在一次习题课上 ,老师出了这样一道题 :设ａ ,ｂ ,ｃ是正数 ,且 2 ａ=3ｂ=6 ｃ,求证 :1ａ+ 1ｂ=1ｃ.此题的证明很简单 :由已知式两边取以6为底的对数得ｌｏｇ62 ａ=ｌｏｇ63ｂ=ｌｏｇ66 ｃ,从而得 ｃａ =ｌｏｇ62 ,ｃｂ =ｌｏｇ63,故 ｃａ + ｃｂ =ｌｏｇ62 +ｌｏｇ63=ｌｏｇ6( 2× 3) =1 ,得证 .深入分析此题之所以有这样优美简洁的结论 ,主要根源在于三个数 2 ,3,6 ,且 2× 3=6 .仿上证明可知把上述命题能推广为更一般的命题 .推广　设ａ ,ｂ ,ｃ均为正数 ,且对Ａ≠ 1 ,Ｂ≠ 1 ,Ａ ,Ｂ大于 0 ,有Ａａ=Ｂｂ=(ＡＢ) ｃ,则有1ａ+ 1ｂ=1ｃ.运…     

一道习题的解法探究

人教A版选修4—5第26页有这样一道习题：已知f（x）=√1＋x^2,a≠b,求证：│f（a）-f（b）│〈│a-b│.     

一道三角题的三种解法

题目　方程 3ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ =ｍ在 ( 0 ,π)内有两个不相等的实数解 ,求实数ｍ的范围 .图 1　解法 1图解法 1　 (数形结合思想 )原方程可变为ｓｉｎ(ｘ π6) =ｍ2 .设 ｙ1=ｓｉｎ(ｘ π6) ,ｘ∈ ( 0 ,π) ,ｙ2 =ｍ2 .在同一直角坐标系中作出其图象 (如图 ) .原方程在 ( 0 ,π)内有两个不相等的实数解等价于两函数的图象有两个交点 .则有 12 <ｍ2 <1,∴ 1<ｍ <2 .解法 2　 (函数思想 )设ｃｏｓｘ =ｔ,∵ｘ∈ ( 0 ,π) ,∴ｔ =ｃｏｓｘ∈ ( - 1,1) ,ｓｉｎｘ =1-ｃｏｓ2 ｘ =1-ｔ2 .原方程变为 3· 1-ｔ2 ｔ=ｍ .∴ 3( 1-ｔ2 ) =ｍ -…     

一道习题的解法探究

题目 甲、乙两人玩猜数字游戏,现先由甲在心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{1,2,3,4）．若｜a-b｜≤1,则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏,得出他们心有灵犀的概率为（ ）     

一道课本概率习题 三种流行解法辨析

高中数学教材（人教A版）选修2—3第60页有这样一道习题： 题目 甲、乙选手比赛,假设每局比赛甲胜的概率为0．6,乙胜的概率为0．4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？你对局制长短的设置有何认识？     

从一道典型习题的证明看三角变换的基本技巧

题目 求证:1+sin2θ-cos2θ/1+sin2θ-cos2θ=tanθ(人民教育出版社,数学第一册(下)P47第3大题第8小题)技巧1 化函数 运用万能公式,化弦为切。     

一道习题的研究

以上解法看似条理通顺，天衣无缝，但却是错误的．cosC的值是否唯一的判断是易错点，也是难点，对多种判断方法的掌握，也是对三角知识的灵活运用．     

对一道向量习题解法的反思

复习向量的时候，我们遇到了一道习题： 若a=（8，x/2），b=（x，1），是否存在正实数x，使得（2a＋b）／／（a-2b），若存在，求出x的值．若不存在，说明理由．     

一道课本习题的多解法探讨

沪科版八年级数学教材在平行四边形一章中有这样一道试题:求证梯形两条对角线中点的连线平行两底,且等于两底差的一半.这道题也有多种解法.分析这是一道文字叙述式的证明题.其解法步骤:先画出符合题意的图形,再写出已     

一道习题的解法探究

题目甲、乙两人玩猜数字游戏,现先由甲在心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{1,2,3,     

一道课本习题的变式及应用

高中《代数》上册 (必修 )Ｐ2 62的第 8题 :1　已知Ａ Ｂ =π4 ,求证 :( 1 ｔｇＡ) ( 1 ｔｇＢ) =2 .2　如果Ａ ,Ｂ都是锐角 ,且 ( 1 ｔｇＡ) ( 1 ｔｇＢ) =2 ,求证 :Ａ Ｂ =π4 .把该题当结论应用 ,已有多文论及 ,本文将给出该题的变式和相应结论的应用 .变式 1　已知Ａ Ｂ =34 π ,则 ( 1-ｔｇＡ) ( 1-ｔｇＢ) =2 .证　由Ａ Ｂ =34 π ,得ｔｇ(Ａ Ｂ) =- 1.∴ ｔｇＡ ｔｇＢ1-ｔｇＡｔｇＢ=- 1.∴ｔｇＡ ｔｇＢ =- 1 ｔｇＡｔｇＢ ,∴ - 1-ｔｇＡ -ｔｇＢ ｔｇＡｔｇＢ =0 ,两边加 2得 1-ｔｇＡ -ｔｇＢ ｔｇＡｔｇＢ =2 ,即 ( 1…     

活用课本习题结论事半功倍

数学课本中的许多习题不仅具有代表性和示范性 ,而且还具有较高的应用价值 .如高中代数上册的各种版本都有如下优美的一个三角恒等式 :ｓｉｎ(α β)ｓｉｎ(α - β) =ｓｉｎ2 α -ｓｉｎ2 β ①①式从形式上看与 (ａ ｂ) (ａ -ｂ) =ａ2 -ｂ2 非常相似 ,故不妨称为正弦平方差公式 .解决有关问题时 ,若有目的有意识地运用它 ,则可事半功倍 ,请看下面数例 .例 1　 (1996年上海高考题 )已知ｓｉｎ(π4 α)·ｓｉｎ(π4 -α) =16 ,α∈ (π2 ,π) ,求ｓｉｎ4α的值 .解　由①式及题设得ｓｉｎ2 π4 -ｓｉｎ2 α =16 .∴ｓｉｎ2 α =13,ｃｏｓ…     

一道三角问题的四种解法

近日,笔者在课外练习时发现一道三角问题,该题题设简单,构思巧妙,思路开阔,引起了笔者极大的兴趣．现给出四种解法。供同学们参考．     

一道新编应用题的概率解法

《数学通讯》2 0 0 2年第 1期Ｐ2 4刊登了一道据报刊信息而设计的应用题 :题　洪山镇改革开放后 ,农民的生活发生了巨大的变化 ,…… ,该镇拥有洗衣机、冰箱、彩电的农户分别占全镇农户总数的77% ,80 % ,91 % ,又知已拥有冰箱和洗衣机、彩电和洗衣机、彩电和冰箱的分别占 59% ,70 % ,72 % ;“三大件”都没有的农户仅占1 % ,从这条消息中你能否给出家中恰有“三大件”、“两大件”的农户在全体农户中各占百分之几 ?该题的设计人胡理华老师是用集合计数的方法求解此题的 ,高中数学新教材添加初等概率论的内容 ,不妨尝试用概率方法处理此问题 .…     

一道立体几何课本习题的证明及应用

新教材第二册(下B)第81页上有一题:已知△ABC的面积为S.平面ABC与平面α所成的锐角θ,△ABC在平面α内的正射影为△A’B’C’,其面积为S’.求证:S’=Scosθ.这是一道看似简单,但内涵丰富的好题.很多竞赛题、高考题均可应用其思想方法得到巧妙的解决.     

对高中新教材中一道习题的完善建议

高中《数学》第一册(下)P41第10题能否进一步完善,请同学们讨论。 原题为:已知 asin(θ+α)=bsin(θ+β),求证: