求辐角主值的三种方法

例　已知ｚ =ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ( 0 <θ <π2 ) ,求ａｒｇ(ｚ2 -ｚ) .分析 1:由复数的代数式与三角式的关系 :ａ ｂｉ=ｒｃｏｓθ ｉ·ｒｓｉｎθ ,知辐角θ的主值可由ｔｇθ =ｂａ及点 (ａ ,ｂ)所在的象限确定 .笔者首推这一方法 .解法 1　设ｚ2 -ｚ =(ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ) 2 - (ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ) =ｃｏｓ2θ -ｃｏｓθ ｉ(ｓｉｎ2θ -ｓｉｎθ)的辐角主值为α ,则ｔｇα =ｓｉｎ2θ -ｓｉｎθｃｏｓ2θ -ｃｏｓθ=2ｃｏｓ3θ2 ｓｉｎ θ2- 2ｓｉｎ3θ2 ｓｉｎ θ2=-ｃｔｇ3θ2 =ｔｇ( π2 3θ2 ) .由 0 <θ <π2 ,知 π2 <…     

用复数的三角式解三角题

用复数的三角式解三角题苏万春（吉林省永吉三中１３２２２７）由棣莫佛定理，设ｚ＝ｒ（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ），当ｒ＝１时，ｚｎ＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ且由此二式，可得由上面的公式．将三角问题化为复数问题解决，对沟通学科分支之间的联系．拓宽解题思路是大有...     

一道全国联赛题的别解

1999年全国高中数学联合竞赛加试试题第二题是 :给定实数ａ ,ｂ ,ｃ .已知复数ｚ1 ,ｚ2 ,ｚ3满足 :|ｚ1 |=|ｚ2 |=|ｚ3|=1.ｚ1 ｚ2 ｚ2ｚ3 ｚ3ｚ1=1.求 |ａｚ1 ｂｚ2 ｃｚ3|的值 .命题委员会提供的“参考答案”用到了关于复数的欧拉公式ｅｉθ=ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ .下面我们给出此题的一种简便的解法 .解　令ｚ1 =ｃｏｓθ1 ｉｓｉｎθ1 ,ｚ2 =ｃｏｓθ2 ｉｓｉｎθ2 ,ｚ3=ｃｏｓθ3 ｉｓｉｎθ3,则ｚ1 ｚ2 ｚ2ｚ3 ｚ3ｚ1=ｃｏｓ(θ1 -θ2 ) ｃｏｓ(θ2 -θ3) ｃｏｓ(θ3-θ1 ) [ｓｉｎ(θ1 -θ2 ) ] ｓｉｎ(θ2-θ3) ｓｉｎ(θ3…     

化复数为三角式的一种模式

化复数为三角式的一种模式张云华，熊福州（四川泸县一中）《数学通讯》１９９４年第１０期《巧用三角诱导公式化复数为三角形式》一文（下称文［１］），给出了形如ｚ＝ｒ（±ｃｏｓα±ｉｓｉｎα）和ｚ＝ｒ（±ｓｉｎα±ｉｃｏｓα）（ｒ＞０）的复数，利用三角诱导公...     

浅析复数问题中的常见错误

我们把数扩充到复数后 ,由于复数的许多性质与实数不同 ,学生作业中常出现这样和那样的错误 .本文列出几类常见错误 ,供参考 .1　化三角形式中出现的错误例 1　把 1 ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ化成三角形式 ,θ∈ (π ,2π) .误解　 1 ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ=2ｃｏｓ2 θ2 ｉ·2ｓｉｎ θ2 ｃｏｓ θ2=2ｃｏｓ θ2 (ｃｏｓ θ2 ｉｓｉｎ θ2 ) .∴ 1 ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ的三角形式为2ｃｏｓ θ2 (ｃｏｓ θ2 ｉｓｉｎ θ2 ) .错误分析 :复数三角形式有三个要求 :1)模大于零 ;2 )括号内的实部和虚部是同一个辐角值θ的余弦与正弦 ;3 )ｃｏｓθ…     

巧用三角诱导公式化复数为三角形式

巧用三角诱导公式化复数为三角形式河北省廊坊市第二中学金建刚复数的三角形式，其关键是“形式”，复数的三角形式为ｚ＝ｒ（ｃｏｓθ十ｉｓｉｎθ），特征：第一，ｒ＞０；第二，前余弦，后正弦，角相同；第三，中间是“十”号．学生对实部和虚部都是三角函数表示的复数...     

函数y=θ-argz的几何解释

设复数ｚ =ａｃｏｓθ ｉ·ｂｓｉｎθ,(ａ>ｂ >0 ,0 <θ<π2 ) ,则θ为复数ｚ在复平面上对应点ｚ轨迹 ｘ =ａｃｏｓθｙ =ｂｓｉｎθ(0 <θ<π2 为参数 )———椭圆 (在第一象限部分 )的离心角 ,如图 ,函数ｙ=θ-ａｒｇｚ即为∠ＡＯＺ .ｔｇ∠ＡＯＺ =ｔｇｙ =ｔｇ(θ-ａｒｇｚ)=ｔｇθ - ｂａｔｇθ1 ｔｇθ· ｂａｔｇθ=(ａ -ｂ)ｔｇθａ ｂｔｇ2 θ=ａ-ｂａｔｇθ ｂｔｇθ≤ ａ-ｂ2ａｂ,所以ｙ的最大值为ａｒｃｔｇａ -ｂ2ａｂ,当且仅当 ａｔｇθ=ｂｔｇθ,即θ =ａｒｃｔｇ ａｂ 时取得 .当ａ =3 ,ｂ=2或ａ =3 ,ｂ=1时就分别得到 9…     

一道高考复数试题的变式研究

1999年全国高考第20题:设复数ｚ=3ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ.求函数ｙ=θ-ａｒｇｚ(0<θ<π2)的最大值及对应的θ值.下面以本题为原型进行变式研究.变式1　设复数ｚ=ａｃｏｓθ ｉｂｓｉｎθ(ａｂ为常数且ａ>ｂ>0).求函数ｙ=θ-ａｒｇｚ(0<θ<π2)的最大值及对应的θ的值.解　?..     

数学娱乐圈——三角函数中的口诀

在学生清楚知识的来龙去脉的基础上 ,教师若能及时引导学生 ,用简单明了的语言编成口诀 ,对帮助学生记忆会起到良好的效果 .图　 11)三角函数在四个象限的符号 .(只记正值所在的象限 )口诀 :一全正 ,二正弦三两切 ,四余弦2 )诱导公式 .①不变名的 :ｋπ±α(ｋ∈Ｚ) .口诀 :函数名不变 ,符号看象限 .如 :ｓｉｎ(π α) =-ｓｉｎα .②变名的 :π2 ±α ,3π2 ±α .口诀 :函数名改变 ,符号看象限 .如 :ｓｉｎ(32 π α) =-ｃｏｓα .③以上两组可合并为 :ｋ·π2 ±α (ｋ∈Ｚ) .口诀 :奇变偶不变 ,符号看象限 .(ｋ的奇偶 )3)三角函数式化…     

用“三色眼光”看复数

复数将代数、三角、几何融为一体 ,富有灵气 .它的“数”(代数形式 )、“形”(几何形式 )、“角”(三角形式 ) ,使解题者可以从不同的侧面去研究它 ,找到既相互联系 ,又相互独立的解法 ,使思维呈现出独创美和简洁美 .下面就让我们带着“数”、“形”、“角”这“三色眼光”去看看复数吧 !1　关于辐角例 1　求ｚ =1 -ｃｏｓθ -ｉｓｉｎθ(3π <θ <4π)的辐角主值 .着眼于“数” :设ｚ =ａ +ｂｉ(ａ ,ｂ∈Ｒ) ,则ａｒｇｚ可由ｔｇθ =ｂａ 及 (ａ ,ｂ)所在象限来确定 .所以ｔｇ(ａｒｇｚ) =- ｓｉｎθ1 -ｃｏｓθ=-ｃｔｇ θ2 =ｔｇ θ2 - …     

平面向量的一个优美的综合公式

笔者研究发现 ,平面向量中有一个优美并且非常有用的综合公式 :图 1　证公式用图设 |ｂ→|=ｋ ,ｂ→ 与ａ→ 夹角为θ ,则有 :　ｂ→ =(ｋａ→|ａ→|·(ｃｏｓθ ,　ｓｉｎ(±θ) ) ,ｋａ→|ａ→|　·(ｓｉｎ( θ) ,ｃｏｓθ) ) .　　证　如图 1 ,设ａ→ =(ｘ ,ｙ)与ｘ轴正半轴夹角为α ,ｂ→ =(ｘ0 ,ｙ0 ) ,则ｃｏｓα =ｘ|ａ→|,ｓｉｎα =ｙ|ａ→|.ｘ0 =ｋ(ｃｏｓ(α±θ) ) ,ｙ0 =ｋ(ｓｉｎ(α±θ) ) .ｘ0 =ｋ(ｃｏｓαｃｏｓθ ｓｉｎαｓｉｎθ)=ｋ(ｘ|ａ→|ｃｏｓθ ｙ|ａ→|ｓｉｎθ)= ｋａ→|ａ→|·(ｃｏｓθ,ｓｉｎ( θ) ) ,…     

数学顺口溜——化复数为三角形式

中间不对两头塞 ,只模为负用π加 ,正余错位也好办 ,正位添负加半π .两处以上均不对 ,变模正位再变中 .相差甚远不勉强 ,化代代化也能求 .解释 :对那种貌似复数三角形式 ,但实际上不是复数三角形式的复数 ,利用上述口诀化三角形式十分方便 .我们知道ｒ(ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ)是三角形式必须同时满足三个条件 :(1)ｒ≥ 0 ,(2 )“中间”是“ ”号 ;(3)同一角的余弦作实部 ,正弦作虚部 .此顺口溜的前四句对处理只有一个条件不满足的情形十分方便 ,为便于表达 ,取ｒ和θ为常数加以说明 .(1)如 3(ｃｏｓ π3-ｉｓｉｎ π3) ,只有“中间”不符合…     

解三角题应重视对角的范围的考察

例 1　已知ｓｉｎθ ｃｏｓθ =- 15( 0 <θ <π) ,求ｔｇθ的值 .分析 :本题解法甚多 ,但若由ｓｉｎθ ｃｏｓθ <0把θ的范围进一步缩小 ,则解法较简洁 .解　由 (ｓｉｎθ ｃｏｓθ) 2 =( - 15) 2 =12 5得ｓｉｎ2θ =- 2 42 5.∵ 0 <θ<π且ｓｉｎθ ｃｏｓθ <0 ,∴ 3π4 <θ <π ,则3π2 <2θ <2π ,∴ｃｏｓ2θ=72 5,　∴ｔｇθ =1-ｃｏｓ2θｓｉｎ2θ =- 34.评述 :只有把 2θ的范围缩小 ,才能确定ｃｏｓ2θ的符号 ,进而求出ｔｇθ的值 .例 2　已知α ,β均为锐角 ,ｓｉｎα =210 ,ｓｉｎβ =1010 ,求α 2 β的值 .分析 :为了求…     

为何两种平移不一样?

例 1　设复数ｚ在复平面内对应的点为Ｚ ,将点Ｚ绕坐标原点按逆时针方向旋转 π4 ,再沿实轴正方向平移 1个单位 ,向上平移 1个单位 ,得到点Ｚ1,若点Ｚ1与点Ｚ重合 ,求复数ｚ .解　 (利用整体思想 ,视所求ｚ为整体 )先将点Ｚ绕坐标原点按逆时针方向旋转 π4 ,其对应的复数为ｚｃｏｓ π4 +ｉｓｉｎ π4 .再沿实轴正方向平移 1个单位 ,向上平移 1个单位得点Ｚ1所对应的复数为ｚｃｏｓ π4 +ｉｓｉｎ π4 + 1+ｉ.由于点Ｚ1与点Ｚ重合 ,则ｚ ｃｏｓπ4 +ｉｓｉｎ π4 + 1+ｉ=ｚ ,解得ｚ =- 1-ｉ22 - 1+ 22 ｉ=- 22 + 2 + 22 ｉ.例 2　设向量ＯＺ…     

整体思想在复数中的运用

整体思想在复数中的运用６２１１００四州省三台中学李志荣复数ａ＋ｂｉ与有序实数对（ａ，ｂ）、复数ｒ（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）（ｒ≥０，θ∈［０，２π）且规定：ｒ＝０时，θ＝０）与实数对（ｒ，θ）形成一一映射．从而，ａ、ｂ；ｒ、θ构成了复数的两组基本量．然...     

一类三角问题解的讨论

在高中数学课本、课外参考书及报刊杂志上 ,经常会碰到这样一类三角问题 :已知　ｃｏｓα±ｃｏｓβ =ｍ ,ｓｉｎα±ｓｉｎβ =ｎ .求 :ｓｉｎ(α±β)的值 .文 [1],[2 ]对特殊情形 :已知ｃｏｓα -ｃｏｓβ =12 ,ｓｉｎα -ｓｉｎβ =- 13,求ｓｉｎ(α + β)的解法及避免增解作了分析 ,文 [1]还提出条件不变 ,ｓｉｎ(α - β)符号怎样验证和判断的困惑 ,本文对这类问题进行分析与讨论 ,以加深对这类问题解的认识 .显然上述问题的条件有四种不同组合 :(Ⅰ ) ｃｏｓα +ｃｏｓβ =ｍ ,ｓｉｎα +ｓｉｎβ =ｎ .(Ⅱ ) ｃｏｓα -ｃｏｓβ =ｍ…     

正n边形所有对角线与边长的2p-1次方幂和

文 [1]给出了正ｎ边形所有对角线和边长的 2 ｐ( ｐ∈Ｎ)次方幂和 ,本文将给出正边形所有对角线和边长的 2 ｐ - 1( ｐ∈Ｎ)次方幂和 .引理 1　ｓｉｎ2ｐ - 1θ =4 1-ｐ ｐ -1ｋ =0 ( - 1) ｐ- 1 ｋＣｋ2 ｐ - 1·ｓｉｎ( 2 ｐ - 1- 2ｋ)θ.证　设ｚ =ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ , ｚ =ｃｏｓθ -ｉｓｉｎθ ,则ｓｉｎ2 ｐ - 1θ =ｚ - ｚ2ｉ2 ｐ - 1=( 2ｉ) 1- 2 ｐ 2 ｐ -1ｋ =0 ( - 1) ｋＣｋ2ｐ - 1ｚ2 ｐ - 1-ｋ ｚｋ=( 2ｉ) 1- 2 ｐ ｐ -1ｋ =0 ( - 1) ｋ　·Ｃｋ2ｐ - 1(ｚ2 ｐ - 1- 2ｋ- ｚ2 ｐ - 1- 2ｋ)(应用了Ｃｍｎ =Ｃｎ -ｍｎ …     

综合题新编选登

题 3 5　 三角形ＡＢＣ中 ,三内角为Ａ ,Ｂ ,Ｃ ,复数ｚ =52 ｓｉｎＡ +Ｂ2 +ｉｃｏｓ Ａ -Ｂ2 ,|ｚ| =324 .1)求ｔａｎＡ·ｔａｎＢ的值 ;2 )当Ｃ取最大值时 ,存在动点Ｍ使 |ＭＡ| ,|ＡＢ| ,|ＭＢ|成等差数列 .试通过建立适当的坐标系 ,求|ＭＣ||ＡＢ| 的最大值 .解　 1) |ｚ| 2 =52 ｓｉｎ Ａ +Ｂ22 +ｃｏｓ2 Ａ -Ｂ2 =98,即 10ｓｉｎ2 Ａ +Ｂ2 + 8ｃｏｓ2 Ａ -Ｂ2 =9,10·1-ｃｏｓ(Ａ +Ｂ)2 + 8·1+ｃｏｓ(Ａ -Ｂ)2 =9,∴ 4ｃｏｓ(Ａ -Ｂ) - 5ｃｏｓ(Ａ +Ｂ) =0 ,4ｃｏｓＡｃｏｓＢ + 4ｓｉｎＡｓｉｎＢ -5ｃｏｓＡｃｏｓＢ + 5ｓｉｎＡ…     

巧设公差(公比)解三角题

有些三角题 ,看起来似乎与数列毫不相干 ,但仔细观察 ,便可发现它们的条件中隐含着等差 (或等比 )数列的因素 ,通过巧设公差(或公比 )可以改变问题的结构 ,促成问题的解决 .请看几例 .例 1　 (1991年上海市高三数学竞赛题 )已知ｓｉｎθ ｃｏｓθ =2 ,试求 (ｌｏｇ12 ｓｉｎθ)·(ｌｏｇ12ｃｏｓθ)的值 .(1991年上海市高三数学竞赛题 )解　∵ｓｉｎθ ｃｏｓθ =2 =2× 22 ,∴ｓｉｎθ ,22 ,ｃｏｓθ成等差数列 .令ｓｉｎθ =22 -ｄ ,ｃｏｓθ =22 ｄ .由ｓｉｎ2 θ ｃｏｓ2 θ =1,得(22 -ｄ) 2 (22 ｄ) 2 =1,解得ｄ =0 .∴ｓｉｎθ…     

sinα±cosα与tgα-ctgα的符号图

判断ｓｉｎα±ｃｏｓα与ｔｇα -ｃｔｇα的符号问题 ,在高考中屡见不鲜 .由单位圆中的三角函数线易得如下结论 :图 1　ｓｉｎα±ｃｏｓα的符号图　图 2　ｔｇα -ｃｔｇα的符号图由图 1知 ,直线 ｙ =±ｘ将坐标平面分成四个区域 ,当角α的终边落在直线ｙ=ｘ上时 ,ｓｉｎα-ｃｏｓα =0 ,在 ｙ =ｘ上方有ｓｉｎα -ｃｏｓα >0 ,在 ｙ =ｘ下方有ｓｉｎα-ｃｏｓα <0 ;当角α的终边落在直线 ｙ =-ｘ上时 ,ｓｉｎα +ｃｏｓα =0 ,在 ｙ =-ｘ上方有ｓｉｎα +ｃｏｓα >0 ,在ｙ =-ｘ下方有ｓｉｎα +ｃｏｓα <0 .由图 2知 ,ｘ轴、ｙ轴…