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1.
在复数学习中 ,经常遇到涉及以实数或纯虚数为条件或判断复数为实数或纯虚数的问题 .如果按照常规 ,根据概念来分析与判断 ,有时计算非常复杂 .下面关于z与 z的两个命题能提供一条途径 ,使得上述计算简化 ,同时能加深对复数概念的理解 .命题 1 复数z为实数的充要条件是 : z=z .证 设z =a bi,则 z =a -bi.z∈R b =0 z = z .命题 2 设z≠ 0 ,则z为纯虚数的充要条件是 z =-z .证 ∵z≠ 0 ,设z =a bi,则a ,b不全为 0 .z为纯虚数 a =0且b≠ 0 a bi a -bi=0 z z =0 .例 1 设复数α ,β ,… 相似文献
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预备知识 :复平面上的任何直线都可表示为αz+αz +c=0 (α≠ 0 ,c∈R)的形式 .反之 ,这种形式的方程表示复平面上的直线 .事实上 ,设a ,b,c∈R且a2 +b2 ≠ 0 ,z =x+yi,则ax+by +c=0 a -bi2 z+ a +bi2 z+c=0令α =a+bi2 ,则有αz +αz +c=0 .其中α≠ 0 .c∈R .定理 复数z1 与z2 所对应的点关于直线αz+αz +c =0 (α≠ 0 ,c∈R)对称的充要条件是αz1 +αz2 +c=0 .证明 设λ为任意实数 ,则连结z1 与z2 而得线段的垂直平分线可表示为z=z1 +z22 +iλ(z2-z1 ) .这条垂直平分线上的… 相似文献
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复数的代数形式及其运算选择题1 复数a bi(a ,b∈R)所对应的点在虚轴上的充要条件是 ( )(A)b =0 . (B)a =0 .(C)b =0 ,a≠ 0 . (D)a =0 ,b≠ 0 .2 已知x =- 1 3i2 ,y =- 1- 3i2 ,则下列各式中一定成立的是 ( )(A)x5 y5=1. (B)x7 y7=- 1.(C)x9 y9=- 1. (D)x11 y11=1.3 设z1,z2 为复数 ,下列四个结论中正确的是( )(A)若z21 z22 >0 ,则z21>-z22 .(B) |z1-z2 | =(z1 z2 ) 2 - 4z1z2 .(C)z21 z22 =0的充要条件是z1=z2 =0 .(D)z1z2 z1z2 一定是实数 .4 设z∈C… 相似文献
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选择题1.若a ,b∈R ,则a =0是a +bi为纯虚数的( )(A)充分不必要条件 .(B)必要不充分条件 .(C)充要条件 .(D)既不充分又不必要条件 .2 .实数x ,y满足 (1+i)x + (1-i) y =2 ,则xy的值是 ( )(A) 1. (B) 2 . (C) - 2 . (D) - 1.3.复数i- 1i6的虚部为 ( )(A) 8. (B) - 8. (C) 6 4 . (D) 0 .4 .复数z满足 |z| 2 =z2 ,则z一定是 ( )(A)零 . (B)任意实数 .(C)任意虚数 . (D)任意复数 .5 .已知复数z满足zz =z +z ,则z在复平面内对应点的轨迹是 ( )(A)直线 … 相似文献
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我们都知道,对于一个代数方程f(x)≡A0xn A1xn-1 … An=0(A0≠0,n≥2)(1)有下面的虚根成双定理:定理1 设方程(1)的系数都∈R(实数集),如果(1)有一根x0=a0 b0i∈C(复数集),其中a0,b0∈R,i=-1是虚数单位,则x0=a0-b0i也是(1)的根.在“笔谈”十五... 相似文献
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题 1 5 函数f(x) =11 a·2 bx的定义域为R ,且limn→∞ f(-n) =0 (n∈N) .1 )求证 :a >0 ,b <0 .2 )若 f(1 ) =45 且f(x) 在 [0 ,1 ]上的最小值为 12 ,求证 :f(1 ) f(2 ) … f(n) >n 12 n 1- 12 (n∈N) .证 1 )∵ f(x) 的定义域为R ,∴ 1 a·2 bx≠ 0恒成立 ,即a≠ - 2 -bx,而 - 2 -bx<0 ,∴a≥ 0 ,若a =0 ,则f(x) =1与limn→∞ f(-n) =0矛盾 ,故a >0 .limn→∞ f(-n) =limn→∞11 a·2 -bn=1 (0 <2 -b<1 ) ,11 a (2 -b=1 ) ,0 (2 -b>1 ) .∴ … 相似文献
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关于纯虚数有许多性质 ,在解题中的应用都很广泛 ,笔者在教学中发现一条性质 ,在解题中应用起来 ,同样给人以美不胜收之感 .命题 设z为非零复数 ,若z为纯虚数则对任意非零实数a ,有 |z +a| =|z -a|成立 .反之 ,若a是非零实数 ,且 |z +a| =|z -a| ,则z为纯虚数 .证明 [方法 1]由两复数差的模的几何意义可知 ,复数z对应点的轨迹为复平面上复数a与 -a对应点连线的中垂线 .显然其中垂线为虚轴 .因而复数z为纯虚数 ,反之亦然 .[方法 2 ]利用复数性质zz =|z| 2 .已知可化为 |z +a| 2 =|z -a| 2 ,则(z +a) (z +a) =… 相似文献
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模与共轭复数是复数的两个重要概念 .为此 ,我们先罗列模与共轭复数的一些性质 .1 共轭复数的性质1)z1 z2 =z1 z2 ( 表示加、减、乘、除 ) ;2 )z =z z∈R ;3)z =-z z∈ {纯虚数 }∪ { 0 } ;4 )Re(z) =z +z2 ,Im(z) =z -z2 .2 复数模的性质1)z·z =|z| 2 =|z| 2 ;2 ) |z1·z2 | =|z1|·|z2 | ;3) z1z2=|z1||z2 | (z2 ≠ 0 ) ;4 ) |z1| - |z2 | ≤ |z1±z2 |≤ |z1| + |z2 | ,其中左边等号成立的充要条件是 :z1,z2 对应的向量OZ1与OZ2 反向 ;右边等号成立的充要条件是 :z1,z2对应的向量O… 相似文献
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题目 设复数z满足等式 |z -i| =1,且z≠ 0 ,z≠ 2i,又复数w使得 ww - 2i·z - 2iz 为实数 ,问复数w在复平面上所对应的点Z的集合是什么图形 ,并说明理由 .错错 :∵ ww - 2i·z - 2iz ∈R ,∴ ww - 2i·z - 2iz =ww - 2i·z - 2iz ,∴ w w 2i· z 2i z =ww - 2i·z - 2iz ,整理 ,得 w( w 2i) w(w - 2i) =z( z 2i) z(z - 2i) ,比较这个等式 ,可得w =z .∵ |z -i| =1,z≠ 2i,∴ |w -i| =1,w≠ 2i.故w的轨迹在复平面上所对应的点集是以 (0 ,1)为圆心 ,以 1为… 相似文献
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众所周知 ,对于一元二次方程ax2 bx c =0(a≠ 0 ,a ,b,c∈R) ,当Δ =b2 - 4ac≥ 0时 ,在实数集内有两根 ;当Δ <0时 ,在实数集内无根 ,但在复数集内有两根 .但对形如ax2 b|x| c=0 (a≠ 0 ,a ,b,c∈R)的方程 ,其根的情况与系数间的关系就复杂得多 .以下是关于此方程根的存在性情况的讨论 .1 在实数集内根的情况结论 1 对方程ax2 b|x| c =0 (a≠ 0 ,a ,b ,c∈R) (Ⅰ )当a ,b ,c满足条件b2 - 4ac >0- b2a>0ac>0(1)时 ,在实数集内有四个根 ;当a ,b ,c满足条件b2 - 4ac >0ac<0 (2 )时 … 相似文献
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命题 z1,z2 是两个模相等的非零复数 ,则 (z1+z2 ) 2 =λ2 z1z2 的充要条件是 |z1+z2 | =λ|zk|(其中λ∈R+ ,k =1,2 ) .证 ①∵ (z1+z2 ) 2 =λ2 z1z2 ,∴ (z1+z2 ) 2 =λ2 z1z2 ,两式相乘得 |z1+z2 | 4 =λ4 |zk| 4 ,∴ |z1+z2 | =λ|zk| (其中λ∈R+ ,k =1,2 ) .②∵ |z1| =|z2 | ,∴z1=z2 z2z1,∴z1+z2 =z2 (z1+z2 )z1,由 |z1+z2 | =λ|z2 |得(z1+z2 ) (z1+z2 ) =λ2 z2 z2 ,所以有 (z1+z2 ) 2 =λ2 z2 z1,则 (z1+z2 ) 2 =λ2 z1z2 .综合① ,② ,命题得证 .这个性质用于… 相似文献
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题 若a >0 ,b >0 ,且a b =1,证明 (a 1a) (b 1b)≥2 54 ( 1)思考 1 若用均值不等式a 1a ≥ 2去证 ,得不到要证明的结论 .失败的原因在于没有利用条件a b =1.为了利用这一条件 ,须将 ( 1)的左边变形 .∵a ,b∈R ,a b =1,∴ 0 <ab≤ 14 .∴ (a 1a) (b 1b) =a2 b2 a2 b2 1ab =a2 b2 1- 2ab 1ab =1ab[(ab - 1) 2 1] ≥ 4 [( 14 - 1) 2 1] =2 54 .当且仅当a =b =12 时等号成立 .思考 2 ∵ 0 <ab≤ 14 ,∴ (a 1a) (b 1b) =ab 1ab ba ab… 相似文献
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定理如果一个虚数的三次方是实数,那么,这个虚数必有形式Aw或Aw2,其中,w是1的立方虚根,A∈R且A≠0.证法1设z=r(cosθ isinθ),r∈R且r≠0,sinθ≠0,ω=-12 32i=cos23π i sin2π3,则z3=r3(cos3θ i sin3θ)∈R,∴sin3θ=0.3θ=kπ,θ=kπ3,k∈Z.1)当k=6n(n∈Z,下同)时,θ=2nπ, 相似文献
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若点P(a ,b)是直线λ1x +λ2 y +λ3 =0(λ1,λ2 ,λ3 ∈R)上一点 ,则d =|λ1a +λ2 b +λ3 |λ21+λ22,这是众所周知的 ,由它可得性质 若a ,b ,λ1,λ2 ,λ3 ∈R ,且λ1a +λ2 b +λ3 =0 ,则λ23 ≤ (a2 +b2 ) (λ21+λ22 ) .证 构造直线l:λ1x +λ2 y +λ3 =0 ,显然点P(a ,b)在直线l上 ,原点O到直线l的距离为d =|λ3 |λ21+λ22,原点O与点P之间的距离为 |PO| =a2 +b2∵d≤ |PO| ,∴ |λ3 |λ21+λ22≤a2 +b2 .故 λ23 ≤ (a2 +b2 ) (λ21+λ22 ) .推论 若λ1,λ2 ,λ3 ∈R ,且λ1+λ2 +λ3=0… 相似文献
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20 0 0年第 4 2届IMO的第 2题是 :设a ,b ,c∈R ,且abc =1.求证 :(a - 1 1b) (b - 1 1c) (c - 1 1a)≤ 1( 1)此题是一道陈题的变形 .事实上 ,由abc =1,不妨设a =xy ,b =yz ,c=zx (x ,y ,z∈R )代入 ( 1)式 ,得( xy - 1 zy) ( yz - 1 xz) ( zx - 1 yx)≤ 1 (x z - y) (x y -z) ( y z -x)≤xyz . ( 2 )( 2 )式是 1983年瑞士国际数学竞赛题之一 .关于它的证明较多 .其中最简单的莫过于如下证法 :由 x2 ≥x2 - ( y -z) 2=(x y -z) (z x - y) ,y2 ≥ ( y z -x) (… 相似文献
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数学思想是数学的精髓 .运用数学思想求代数式的值是初中数学比较常见的问题 ,特别是在初中数学竞赛中应用比较多 .下面举例谈谈数学思想在代数式求值中的应用 .一、整体思想例 1 已知a≠ 0 ,b≠ 0 ,且 1a +1b =4 ,那么4a+3ab +4b- 3a+2ab - 3b=.(第九届全国希望杯数学邀请赛题 ) .分析 :原式视 1a+1b为一个整体来处理 ,再用已知条件代入便求得所求代数式的值 .解 :∵a≠ 0 ,b≠ 0 ,∴ab≠ 0 .用ab分别除原式的分子分母得 ,原式 =4b+3+4a- 3b+2 - 3a=4 ( 1a+1b) +3- 3( 1a+1b) +2.∵ 1a+1b=4 ,∴原式 =4× 4… 相似文献
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一个猜想的推广 总被引:1,自引:0,他引:1
文 [1 ]提出并证明了下述的猜想 :设ai,bi∈R+,i =1 ,2 ,…n ,α>0 ,则有 :∑ bα+1iaαi≥ (∑bi) α+1(∑ai) α ,当且仅当 aibi =∑ai∑bi时等号成立 .本文给出上述猜想的推广并证明 :定理 设ai,bi∈R+,i =1 ,2 ,…n .1 )当α >0 ,β >0 ,α+β<1时∑aαibβi ≤n1-α- β(∑ai) α(∑bi) β;2 )当 β <0 ,α<0或α≥ 1 -β时∑aαibβi ≥n1-α- β(∑ai) α(∑bi) β.证明 首先有Jensen不等式 (见文 [2 ])设ai ∈R+,i=1 ,2 ,…n.则1n∑aαi ≥ (1n∑ ai)α (α … 相似文献