数形结合思想热点应用举例

所谓数形结合思想,简而言之就是代数问题几何化、几何问题代数化,充分利用图形的直观性和代数推理的合理性、严密性研究问题.数与形是数学研究的两个重要方面,在研究过程中,数形结合既是一种重要的数学思想,又是一种常用的数学方法.数形结合是历届高考的重点和热点.数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其中“以形助数”是其主要方面,其方法的关键是根据题设条件和探求目标,联想或构造出一个恰当的图形,利用图形探求解题途径.对于填空题可以简捷地直接获得问题的结果,对于解答题要重视数形转换的等价性论述,避免利用图形的直观性代替逻辑推理得到结果.“数缺形时少直观,形少数时难入微”,利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质.函数的图像、方程表示的曲线、集合中的韦恩图或数轴表示等,是“以形示数”,而解析几何中的力程、斜率、距离公式、向量的坐标表示等则是“以数助形”,还有导数更是数形结合的产物,这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台.下面举例说明数形结合思想的热点应用.     

这样的映射有多少个？

集合单元中的重点内容之一就是关于集合之间的交集、并集、补集等运算，同时也是，同学们最感头疼的难点．实际上，在解题中借助数轴来完成无限数集之间的运算，借助平面直角坐标系中解决数对组成的集合之间的运算，是我们经常采用的“数形结合”的思想方法．但对一些有限数集之间的运算，却往往忽视了“韦恩图”(又称“文氏图”)所起到的辅     

集合与简易逻辑

1　概要集合与简易逻辑是描述数学问题的语言 ,研究数学问题的工具 .与集合有关的问题主要有 :1)对我们所研究的问题 ,如何用集合来表示 ?2 )如何判断一个对象属于我们所讨论的集合 ?3)如何判断两个集合之间的关系 ?4 )如何求集合的交、并、补 ,它们的实际意义是什么 ?关于简易逻辑 ,我们要研究的问题包括 :1)如何运用逻辑联结词 ,把几个简单命题构造成复合命题 ?反之 ,如何把一个复合命题分解为几个简单命题 ?2 )怎样根据简单命题的真假来判断一个复命题的真假 ?3)如何根据一个命题来构造它的逆命题、否命题和逆否命题 ?4 )如何在一个命题…     

用向量法解题如何选取基本向量

向量是新教材补充的内容 .它沟通“数”与“形”,是数形结合的典型范例 ,向量运算有着丰富的背景和几何意义 .这些特点决定了向量方法在中学数学解题中有着广泛的应用 .用向量法解几何题 ,通常需三步 :( 1 )“翻译”问题的条件和结论 ,即将条件和结论用向量语言表示 .( 2 )设置“基本向量”,即将结论及解题中出现的向量用“基本向量”表示出来 .( 3)进行推理、运算而达到问题的解决 .以上三步中第一步是用向量法解题的首要条件 ,第三步是中心环节 .然而 ,第三步的顺利完成 ,又取决于第二步 .“基本向量”选得好不好 ,直接影响问题能否解决 ,…     

巧用数形结合思想的解题探究

数形结合思想在新课程背景下,有其广阔的应用空间.数与形是数学中两个最基本的研究对象.每一个形都蕴涵着一定的数量关系.而数又常常可以通过图形做出直观的描述和反映.“数无形少直观,形无数难八微”,数形结合就是把抽象的数量关系和直观的几何图形有机地结合起来.这主要包括两方面的内容:一是“以形助数”.即数量关系借助于图形及其性质使之直观化、形象化,从而获得解题方法:二是“用数解形”,即将几何图形的问题经过数量化描述.借助代数计算获得解题方法.     

对于“集合”,我们应该掌握些什么?

集合是数学的基础知识 ,学习它 ,可以使我们更好地理解数学中出现的集合语言 ,能更简捷地用集合的语言表述数学问题 ,用集合的观点去研究、处理数学问题 .那么 ,对于“集合”这部分内容 ,我们应该掌握些什么呢 ?第一 ,正确理解集合的概念、掌握元素与集合、集合与集合间的基本关系是学好集合乃至学好高中数学的第一步 .以下知识点是必须深刻理解并熟练掌握的 :1 )集合、空集、全集的概念 .集合是一个原始的数学概念 ,要用心体验 ,特别要注意集合的“三性” :①确定性 .指集合中的元素是确定的 .如“很小的数的全体”就不能视为集合 .②互异…     

浅谈如何探求解题捷径

同一个数学习题,由于思路不同,所采用的方法也会是不同的。我们把按一般思路用一般方法解题称为“常规”解法;把按特殊思路用较简方法(?)题称为“简捷”解法或称“技巧”解法。“巧”解题省功、省时、准确率高,因此我们要探求解题捷径。“常规”与“技巧”有什么关系?实践证明:“常规”是基础、是重点、是雪中送炭;“技巧”是提高、是难点、是锦上添花。要想巧解题,首先要把那些作为解题出发点的基本内     

浅谈数形结合的初步学习

数形结合是数学研究的重要方法 ,掌握好数形结合的实质和方法 ,对于学习中学数学 (包括初中数学和高中数学 )的重要内容———函数 ,具有举足轻重的意义 .本文主要从下面几个方面谈谈怎样学好数形结合的初步知识 .一、要弄清什么是数形结合什么是数形结合呢 ?我们可以通过一些同学们很熟悉的知识来理解数形结合的意义 ,例如 :1 .数轴上的点与实数是一一对应的关系 .如图 ( 1 ) ,点A与实数 -2对应 ,的 ,点B与实数 1对应等等 .我们知道“点”是构成图形最基本的元素 ,在这里 ,“点A”“点B”就是“形” ,而它们分别与实数 -2 ,1对应 ,这是“…     

数学自学检查题

算术和代数实数和复数 1.两个或几个数的最小公倍数能否整除它們的最大公約数? 2.算术中熟知的被3整除的检驗法是否是数被3整除的充要条件? 3.在哪些集合中,算术运算能实行,而在哪些集合中不能实行? (a) 在自然数集合中。(b) 在整数集合中。(c) 在有理数集合中。(d) 在实数集合中。(e) 在复数集合中。 4.从上述列举的集合中,其中任何一个在怎样的条件下,不能滿足的运算是什么? 5.是否对于任何数都存在它的相反数? 6.是否对于任何数都存在它的倒数? 7.两个互为倒数的数,是否可能符号相反的? 8.一个数是否可能是:(a) 小于自己的絕对值?(b) 等手自己的絕对值?在数a和|a|之間应該建立怎样的不等式符号? 9.已知数a的絕对值比数b的絕对值大,能否得     

集合与函数

1　基本知识　1 )元素与集合的关系 .判断一个对象是否为某个集合的元素 ,就是检验这个对象是否具备这个集合的元素所共有的属性 .2 )两集合之间的关系 .两集合之间的关系主要是“相等”、“包含”、“真包含”关系 .3)映射 .映射是数学中的一个基本概念 ,几乎每一个数学分支都要用到它 .设Ａ和Ｂ是给定的两个集合 ,如果有一个规则 ｆ ,使得对于每一个ｘ∈Ａ ,通过 ｆ ,唯一确定一个 ｙ∈Ｂ ,那么 ,就称 ｆ是Ａ到Ｂ的一个映射 ,记为ｆ :Ａ| →Ｂ .我们称 ｙ为ｘ在 ｆ作用下的象 ,记作 ｙ =ｆ(ｘ) ,并用符号ｆ :ｘ| →ｙ表示 ,称ｘ为ｙ的一个…     

如何上好初中数学第一课

“用字母表示数”是初中代数第一课,是由算术进入代数的主要标志,是学生认识上的质的飞跃,也是学好初中代数要过的第一关,所以这是值得我们探索与研究的一个课题．下面谈谈自己的粗浅认识．１用字母表示数的重要性学生进入初中后,数学所面临的是字母化符号体系．“用...     

课堂上的新发现

今天的数学课上,刘老师给我们讲了一种重要的运算定律——“乘法分配律”,内容是两个数的和与一个数相乘,可以先让它们与这个数分别相乘,再把所得的积相加,结果不变.用字母表示为:(a+b)×c=a×c+b×c. 在下午的自习课上,刘老师给我们提出了一个问题,她说:“同学们,你们思考一下,如果把上堂课学习的‘乘法分配律’中的运算符号变一变,会有什么新发现呢?” 过了一会儿,学习委员王欣晨站起来,说:“老师,我发现两个数的差与一个数相乘,也有类似的规律.”     

m-维流形到(m+1)-维流形的零伦浸入的分类

这一节介绍一个引理和有关预备知识.对于拓扑空间 X、Y 而言,我们用[X,Y]表示 X 到 Y 的映射的同伦类组成的集合;[X,Y]'表示 X 到 Y 的保基点的映射的同伦类组成的集合.符号“(?)”表示(根据上下文)群同构或集合间的一一对应.     

谈谈数学类比

什么是类比?古代哲学家亚里士多德曾说:“在哲学中正确的做法通常是考虑相似的东西,虽然这些东西相距甚远”.类比的实质就是根据两个对象之间的相似,把信息从一个对象转移给另一个对象.下面就数学类比的认识功能、数学类比能力的地位及数学类比能力培养的途径谈谈粗浅的认识.数     

争鸣

问　题问题 31 　对于集合 {(ｘ ,ｙ) |ｘｃｏｓα +ｙｓｉｎα =1 ,α∈ [0 ,2π]}所表示的图象我们四位老师有两种看法 .共识 :α是参数 ,随着α的取值不同 ,方程表示过单位圆上的点的不同的圆的切线 .分歧 :第一种认为这是集合的形式 ,应为所有直线的并 ,因此表示除单位圆外的所有区域 ;而第二种认为此为分类讨论应分类作答 ,仅表示单位圆的一条切线 .请问谁对谁错 ?问题 32 　在排列组合中 ,加法原理和乘法原理的条件部分只有一个字“类”与“步”的区别 ,其它语言表述完全是一致的 ,但计算方法却有很大差别 :一个必须用加法去计算 ,另…     

代数式的发展历史

用字母代数是人类一项创造性的成就,是认识和思维上一次质的飞跃.德国数学家莱布尼兹说过:“符号的巧妙和利用符号的艺术,是人们绝妙的助手,因为它们使思考工作得到节约,在这里它以惊人的形式节省了思维.”俄国数学家罗巴切夫斯基也说过:“利用了符号,数学上的每一个论断,它所要描述的东西就可以更快地被别人所了解.”用字母代数如此重要,因此我们有必要来了解一下它的发展历史. 希腊数学家丢番图是最早自觉运用一套     

浅析中学数学中常用的解题方法——数形结合法

数与形是密切相关的两个数学表象,它们的关系,正如数学家华罗庚所吟唱:数形本是相依,焉能分作两边飞?数缺形时少直觉,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体,永远联系莫分离.也就是说数与形的有机结合是一种重要的解题方法.数量关系借用了图形的性质,可以使许多抽象的概     

数形结合解题的几个常见误区

数与形是初等数学的两大研究对象,数形结合是高中阶段一种很重要的数学思想方法．形是数的翅膀,数是形的灵魂,正可谓“数缺形时少直观,形少数时难人微”．恰当的应用数形结合可以使问题得以高质高效的解决。但同时数形结合也是柄解题的双刃剑．学生往往在数与形转换过程中,稍有不慎,就会步人数形结合解题的误区．     

都是图形失真惹的祸

作为一种思想,“数形结合”以其准确、快速、灵活及操作性强诸多优点颇受中学数学界广大师生的青睐;借形助数、以数辅形的“数形结合”意识已深入人心;几种常见的数形结合解题手段也早已为多数同学所熟知并运用.然     

解答涉及集合内容的习题时应注意的几点

集合是近代数学的一个重要概念 ,应用集合的思想、符号处理某些数学问题时 ,具有深刻、明确、简捷等优点 .由于集合的内容具有一定的抽象性 ,在理解其概念及应用方面均有一定的思维难度 ,同学们在解题过程中常出现各种错误 .因此在解答涉及集合内容的习题时 ,我们不仅强调要深刻理解集合的有关概念 ,而且还得注意下面三个问题 .1　注意分清集合的代表元　进行集合的有关运算时 ,集合多用描述法表示 .描述法表示集合的一般形式为 {ｘ|ｘ具有的公共属性 }.其中竖线前面的字母ｘ称为集合的代表元 .一般地代表元ｘ主要以数、点、集合等形式出现 …