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加权平均不等式的一个加强形式 总被引:1,自引:0,他引:1
在不等式理论中 ,加权平均不等式x P11x P22 … x Pnn ≤ (P1x1 P2 x2 … Pnxn P1 P2 … Pn) P1 P2 … Pn (1 )(其中 xi>0 ,Pi>0 ,i=1 ,2 ,… ,n)是一个重要的不等式 ,有着广泛的应用 ,本文将给出此不等式的一个加强形式 .为表述简便 ,令 δk=Σki=1Pi,ξn=Σni=1PixiΣni=1Pi=1δn Σni=1Pixi,ηn=[Πni=1x Pii ]1/Σni=1Pi,则不等式 (1 )变为ηn ≤ξn,(n =1 ,2 ,… ) (2 ) 以下给出加权平均不等式的加强形式 .引理 若α≥ 1 ,则当 x>-1时 ,有(1 x)α≥ 1 αx (3 ) 证明 设 f (x) =(1 x) α-1 -αx ,则 … 相似文献
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应用均值不等式证明不等式的λ方法杨涤尘(湖南娄底师范417000)应用均值不等式证明不等式,有时需要较强的配凑技巧.如果恰当地引入参数λ,结合平均值不等式,通过直接对参数λ赋值,或者结合题设条件,通过解方程或方程组确定λ的值,从而导出要证明的不等式.... 相似文献
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均值不等式的图解 总被引:1,自引:0,他引:1
高中数学第二册 (上 )在习题中指出 :已知a、b都是正数 ,求证 :21 /a 1 /b≤ab≤ a b2 ≤ a2 b22 ,记为H≤G≤A≤Q .即调和平均 (H)≤几何平均(G)≤算术平均 (A) ≤均方根 (Q) .这组公式称为两个正数的均值不等式 ,它们有鲜明的几可背景 .现给出两种图解 .图 1图解Ⅰ 如图 1 ,以a b长的线段为直径作半圆 ,在直径AB上取点C ,作AC=a ,CB =b .过C作垂直于AB的线段交半圆周于D ,连AD ,DB .连OD ,过C作CE⊥OD于E .过O作AB的垂线段交半圆周于F ,连CF .在Rt△ADB中 ,由CD2 =AC·CB ,有CD=ab ;在Rt△COD中 ,由CD2 =DE·O… 相似文献
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设x≥ 0 ,y≥ 0 .作为算术平均———几何平均不等式A ≥G的应用 ,我们把代换A =x y2G =xy叫做均值代换 .在这样的代换下有 :x y =2A ,xy=G2 ,(x -y) 2 =4A2 - 4G2 =4(A G) (A-G)x2 y2 =4A2 - 2G2 =2 (2A2 -G2 )x3 y3=8A3- 6AG2 =2A(4A2 - 3G2 )……由于max(x ,y)≥A≥G≥min(x ,y) ≥ 0 ,因此应用均值代换法证不等式特别利于放缩 ,能起化难为易的作用 ,收事半功倍的效果 .例 1 (美国纽约 ,1 975 )证明 ,对任意正数a≠b之算术平均值A=a b2 与几何平均值B=ab ,有B <(a-b) … 相似文献
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均值不等式是求函数最值及证明不等式的重要工具,所以越来越受到命题者的青睐.均值不等式有什么特点,有什么功能,本文对均值不等式进行了深层次地剖析. 相似文献
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均值不等式是中学数学中的一个重要不等式,它的出现使得函数的最值问题的解决多了一条途径,并且显得更加简洁.同时作为一种工具,均值不等式的应用已渗透到诸多方面,涉及的技巧越来越灵活,涉及的题型也越来越新颖,因而其地位的重要性不言而喻.学好用好均值不等式对提高解证题能力都有一定的积极意义.现就均值不等式的一些常用技巧作一肤浅探讨,不当之处,敬请批评指正. 相似文献
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均值不等式的使用是一个学习难点 ,这里介绍 4个小技巧 ,帮助同学们熟悉并掌握其简单使用 .均值不等式中最常用的是a+b2 ≥ab(a ,b∈R+ ) ,下面以此不等式的应用为例说明 .1 简单累加累乘无需分组 ,对原有各组分别使用均值不等式 ,再做累加累乘即可 ,这应是优先考虑的情况 .例 1 已知a ,b,c >0 ,则a(b2 +c2 ) +b(c2 +a2 ) +c(a2 +b2 )≥ 6abc .解 左边≥a·2bc +b·2ca +c·2ab =6abc.其中等号成立当且仅当a =b =c时成立 .(下面各例等号成立均为a =b =c,为简便计 ,均省略 )例 2 已知a ,b >0 ,则 1a+1b1a2 +1b2 (a3+b3)≥ 8.解 左… 相似文献
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文[1]用列表法证明了算术——几何平均数不等式的推广.本文应用均值不等式的推广证明一些不等式.为了阅读方便,将均值不等式的推广择录如下: 相似文献
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均值不等式是一个重要的不等式.在各种数学竞赛中经常出现与之有关的题目,灵活而巧妙地应用均值不等式,往往可以使一些难题迎刃而解. 相似文献
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本文给出了n个正数x1,x2,…,xn的如下不等式:Ⅱ^nk=1(x^ak+x^-ak)≥A(^a n(x)+A^-an(x))^n, 每个xk≤xa,Ⅱ^nk=1(x^ak+x^-ak)≤(A^an(x)+A^-an(x))^n,每个xk≥e, 其中a&;gt;0,xa=[√4a^2+1+2a]^1/2a,常数e=2.718182818…,An(x)=1/n∑^nk=1xk. 相似文献
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一类分式不等式的证法—柯西均值法陶兴模(重庆市铜梁中学632560)众所周知,柯西不等式(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)(a1b1+a2b2+…+anbn)2(ai∈R,bi∈R,ai=kbi时取等号,i=1,2,3,…... 相似文献
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建立了逆向型Hilbert-Pachpatte不等式,推广和改进了离散型和连续型Pach- patte不等式的逆. 相似文献
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