定比分点坐标公式教学一得

在解析几何里,有一个定比分点坐标公式,不难发现,它与平面几何中的平行于梯形、三角形底边的截线问题,以及立体几何中的平行于柱、锥、台底面的截面问题具有很明显的相似之处,在此我们不妨将它们分别定义为定比分点截线问题、定比分线截面问题和定比分面截体问题．     

巧用定比分点公式证明不等式

对于形如ｘ1 ≤ｘ≤ｘ2 的不等式 ,如果利用定比分点公式来证明 ,往往会收到很好的效果 .具体方法如下 :把ｘ1 ,ｘ ,ｘ2 分别对应数轴上的三点Ｐ1 ,Ｐ ,Ｐ2 ,Ｐ是有向线段Ｐ1 Ｐ2 的分点 ,由定比分点公式 :λ= Ｐ1 ＰＰＰ2=ｘ -ｘ1 ｘ2 -ｘ.如果λ >0 ,则Ｐ是Ｐ1 Ｐ2 的内分点 ,此时ｘ1 <ｘ <ｘ2 ;当λ =0时 ,有ｘ =ｘ1 ;当λ不存在时有ｘ =ｘ2 .因此当λ≥ 0时 ,即可证明ｘ1 ≤ｘ≤ｘ2 .下面通过举例加以阐述 .例 1　已知 |ａ| <1,|ｂ| <1.证明 :- 1<ａ ｂ1 ａｂ<1.证　设 - 1,ａ ｂ1 ａｂ,1分别对应数轴上的三点Ｐ1 ,Ｐ ,Ｐ2 ,Ｐ是Ｐ1 …     

定比分点公式的向量形式及其应用

向量代数中 ,关于线段的定比分点公式有两种形式 :一种是坐标形式 ,一种是向量式 ,由于受传统习惯思维的影响 ,我们在解决有关问题时 ,往往倾向于用坐标形式的公式 ,但其实向量式在应用时更具有整体、便捷的优越性 .下面推导定比分点向量公式 :图 1　定比分点示意图如图 1 ,在平面内任取一点O ,设OA→ =a ,OB→ =b ,OC→ =c,C分别AB→ 所成的比为m ,即AC→ =mCB→ .∵AC→ =OC→ -a ,　CB→ =b -OC→ .∴ (OC→ -a) =m(b -OC→ ) .OC→ =a +mb1 +m =11 +ma + m1 +mb ( 1 )公式 ( 1 )就是线段的定比分点公式的向量形式 .1　对公…     

用定比分点向量公式的特点解高考题

在一些涉及到共起点且终点共线的三个向量之间的关系的问题时,我们可以巧妙利用定比分点向量公式的特点,使这一类问题得以简捷快速的解决．本文通过举例来说明．     

定比分点坐标公式引出的另几个结论

文 [1 ]给出了定比分点坐标公式引出的几个结论 ,在各类数学问题中还有许多与此公式相类似的结果 ,笔者进行了一些探索 ,又得到如下几个结论供同行参考 .结论 1　设Ｐ ,Ａ ,Ｂ ,Ｍ是以Ｏ点为圆心 ,Ｒ为半径的圆周上的四个点 ,∠ＰＯＡ =α ,∠ＰＯＢ =β(约定∠ＰＯＡ表示始边ＯＰ绕着Ｏ点旋转到终边ＯＡ所成的角 ,逆时针旋转为正角 ,顺时针旋转为负角 ) .ＡＭ∶ＭＢ =λ ,则　∠ＰＯＭ =α λβ1 λ .图 1　圆证　如图 1 ,设∠ＰＯＡ =α (弧度 )∠ＰＯＢ =β (弧度 ) ,∠ＰＯＭ =ｘ (弧度 ) ,∵λ =ＡＭＭＢ=ＰＭ -ＰＡＰＢ -ＰＭ=ｘＲ …     

巧用线段的定比分点公式解题

线段的定比分点是指 :Ｐ1Ｐ2 是直线ｌ上的有向线段 ,点Ｐ是直线ｌ上除Ｐ1,Ｐ2 外的任意一点 ,点Ｐ把有向线段Ｐ1Ｐ2 分成两条有向线段Ｐ1Ｐ和ＰＰ2 ,且两线段的比为 Ｐ1ＰＰＰ2=λ ;若Ｐ1,Ｐ2 ,Ｐ的坐标分别为(ｘ1,ｙ1) ,(ｘ2 ,ｙ2 ) ,(ｘ ,ｙ) ,则λ =ｘ -ｘ1ｘ2 -ｘ或λ =ｙ - ｙ1ｙ2 - ｙ,从而有分点的坐标公式ｘ =ｘ1 λｘ21 λｙ =ｙ1 λｙ21 λ(λ≠ - 1) .其中当λ >0时 ,Ｐ为内分点 ,特别当λ =1时 ,Ｐ为中点 ;当λ <0时 ,Ｐ为外分点 .巧用线段的定比和分点公式解一些代数题 ,简捷方便 ,快速准确 .请看下面例子 .例 1　如果式子中…     

定比分点公式的向量形式及应用

众所周知，向量法是解决平面几何问题的重要方法，而定比分点公式是解析几何中应用非常广泛的重要公式．本文介绍定比分点公式的向量形式及其在解决平面几何问题中的应用，供大家参考。     

向量的定比分点公式的应用

平面向量是新教材的一个亮点,它应用广泛.向量的定比分点公式结构美观,用它来解决国内外一些数学竞赛题,别有一番风味.本文列举数例,以飨读者.向量的定比分点公式:设O是平面上任意一点,P1→P=λPP→2,则→OP=OP→1+λ.OP→21+λ.推论设O是平面上任意一点,P1→P=t PP→,则→OP=(1-t)OP→+t OP→.     

对“定比分点公式的向量形式及其应用”的一处质疑

“定比分点公式的向量形式及其应用”一文发表在本刊2004年1月第1期，它对向量的教学有一定的启示和帮助．但笔者通过研究，对该文给出的如下定理有所质疑．     

视交点为定比分点

定比分点公式揭示了直线上点的位置与数量变化之间的转化关系,有些问题涉及交点,若我们视交点为分点,灵活应用定比分点公式去解题,往往可使解题过程既简洁又奇妙.     

线段的定比分点（课堂实录）

1　教材分析　本节课是在有向线段数量和两点距离公式基础上研究 ,是进一步学习直线的方程的基础 ,起着承上启下的作用 ,是进行素质教育和创新教育的好素材 ;线段的定比分点坐标公式 (包括中点公式 )是一个重要的基本公式 ,在数学解题中得到广泛的应用 ,因此地位重要 ,务必使学生弄懂学扎实 .但由于学生第一次接触这个新的概念 ,对它们的含义理解不清 ,因而不会正确运用 ,导致本节课是全章难点之一 .通过对本节课的教学和研究 ,可以进一步提高学生分析问题和解决问题的能力 ,渗透数形结合、等价转化、分类讨论的数学思想 ,培养学生的内在联…     

二次曲线定比分点弦的存在定理

文 [1 ][2 ]分别给出了求二次曲线定比分点弦所在直线方程的消去法和较为简洁的解方程方法 ,本文就二次曲线定比分点弦存在区域作一探讨 ,以使这类问题进一步完善 .设定 :Ｆ(ｘ ,ｙ) =Ａｘ2 +2Ｂｘｙ+Ｃｙ2 +2Ｄｘ+2Ｅｙ+Ｆ ,　φ(ｘ,ｙ) =Ａｘ2 +2Ｂｘｙ+Ｃｙ2 ,ｆ1 (ｘ,ｙ)=Ａｘ+Ｂｙ +Ｄ ,　ｆ2 (ｘ ,ｙ) =Ｂｘ+Ｃｙ +Ｅ ,Ｉ2 =Ａ　ＢＢ　Ｃ ,Ｉ3=Ａ　Ｂ　ＤＢ　Ｃ　ＥＤ　Ｅ　Ｆ.定理　过Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )的直线交二次曲线Ｆ(ｘ ,ｙ) =0于Ｐ1 、Ｐ2 两点 ,点Ｐ分Ｐ1 Ｐ2 的比为λ ,则Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )满足　Ｆ(ｘ0 ,ｙ0 ) Ｉ2 Ｆ(ｘ0 ,ｙ0 ) -…     

反思"定比分点法"的一个流行误解

拓展“定比分点”的功能，用来处理一类不等关系（特别是连不等式a≤b≤c）问题，在中学数学界俗称“定比分点法”．比如，课本例题中的真分数不等式；b〉a〉0，m〉0推出a/b〈a＋m/b＋m.     

例谈“定比分点坐标公式引出的结论”的运用

文 [1 ]由线段的定比分点坐标公式类比出丰富的结论 ,可把这些结论综述为 :定理 1　设梯形中平行于底边的截线及上、下底边长分别为ａ0 ,ａ1,ａ2 ,用λ1,λ2 分别表示截得的上梯形与下梯形的高、面积的比 ,则ａｉ0 =ａｉ1 λｉａｉ21 λｉ (ｉ=1 ,2 ) .定理 2　设台体 (指棱台或圆台 )中平行于底面的截面及上、下底面面积分别为Ｓ0 ,Ｓ1,Ｓ2 ,用λ1,λ2 ,λ3分别表示截得的上台体与下台体的高、侧面积、体积的比 ,则(Ｓ0 ) ｉ=(Ｓ′1) ｉ λｉ(Ｓ2 ) ｉ1 λｉ(ｉ=1 ,2 ,3) .下面再给出定理 1 ,2的简洁证明 .定理 1的证明　延长梯形的两腰…     

《用定比分点解题的常见类型》一文的一点瑕疵

文[1]例谈了用定比分点解题，对笔者很有启发，但文中例3和例4的解法有不妥之处，今冒昧提出，与大家共同讨论．