一元二次方程与一类高次方程之间的有趣结论的推广

文 [1]介绍了一元二次方程与一类高次方程之间的有趣结论。本文将该结论作出推广 .为了方便 ,首先抄录文 [1]的结论 :“定理　若ｘ0 是方程ｘ2 -ｂｘ -ｃ =0的根 ,则ｘ0 也一定是方程ｘｎ-ａｎ 1 ｘ -ａｎｃ =0的根 (其中ａｎ,ａｎ 1 是数列 {ａｎ}中的第ｎ项和第ｎ 1项 ,数列{ａｎ}满足递推关系ａｎ 1 =ｂａｎ ｃａｎ-1 ,ａ1 =0 ,ａ2 =1,ｎ∈Ｎ ,ｎ≥ 2 ) .”上述定理的推广如下 :定理 1　若ｘ0 是方程ｘ2 -ｂｘ -ｃ =0的根 ,则ｘ0 必是方程ｘｎ-ａ2 ｎ 1 ｘ -ａ2 ｎｃ=0的根 ,其中ａｎ 和ａｎ 1 是数列 {ａｎ}中的第ｎ项和第…     

递推数列an＋1-p＋q／an的通项公式及其性质

文 [1]中给出并证明了以下命题 .命题　设ａ ,ｂ∈Ｒ ,且实数ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｎ 满足ｘ1=ａ ｂｘｎ,ｘ2 =ａ ｂｘ1,…ｘｎ=ａ ｂｘｎ - 1.则当ｎ为奇数时 ,ａ1=ａ2 =… =ａｎ;当ｎ为偶数时 ,ａ1=ａ3 =… =ａｎ- 1,ａ2 =ａ4 =…=ａｎ.上述命题实际上给出了满足ａｎ 1=ｐ ｑａｎ 的数列 {ａｎ}的一个性质 .经研究 ,本文拟给出满足ａｎ 1=ｐ ｑａｎ的数列 {ａｎ}的通项公式 ,并以此为基础给出比文 [1]更为深刻的结论 .现在记 ｆ(ｋ) =Ｃ1ｋｂｋ- 1 Ｃ3 ｋ 1ｂｋ - 2 … Ｃ2ｋ- 3 2ｋ- 2 ｂ1 Ｃ2ｋ- 12ｋ- 1ｂ0 (ｋ≥ 1,ｋ∈…     

等差数列的又一个性质

结论　已知数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}是两个公差均不为零的等差数列 ,如果ａｋ1=ｂｌ1=ｃ1,ａｋ2 =ｂｌ2 =ｃ2 ,其中ｋ1,ｋ2 ,ｌ1,ｌ2 ∈Ｎ ,且ｋ1<ｋ2 ,ｌ1<ｌ2 ,那么等差数列ｃ1,ｃ2 ,…中的各项一定是数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}的公共项 .证　设数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}的公差分别是ｄＡ 与ｄＢ,且ｄＡ≠ 0 ,ｄＢ≠ 0 .等差数列ｃ1,ｃ2 ,…中的第ｎ项可表示为ｃｎ=ｃ1+ (ｎ - 1 ) (ｃ2-ｃ1) ,ｎ∈Ｎ .下面证明ｃｎ 是数列 {ａｎ}中的某一项 .数列 {ａｎ}的通项公式是ａｎ=ａ1+ (ｎ -1 )ｄＡ,令ａ1+ (ｘ - 1 )ｄＡ=ｃｎ=ｃ1+ (ｎ - 1 ) (ｃ2 -ｃ1)=ａ…     

数列中的充要条件

充要条件是高中数学的一个重要概念 ,很多知识可以和它相联系 ,数列也不例外 .现总结一下 ,供同学们学习数列时参考 .命题 1　数列 {ａｎ}为等差数列的充要条件是它的通项公式为ａｎ=ａ·ｎ ｂ (ａ ,ｂ为常数 ,ｎ∈Ｎ ) .命题 2　已知数列 {ａｎ} ,Ｓｎ 为其前ｎ项和 ,则数列为等差数列的充要条件是Ｓｎ=ａｎ2 ｂｎ (ａ ,ｂ为常数 ,ｎ∈Ｎ ) .命题 3　数列 {ａｎ}为等差数列的充要条件是2ａｎ=ａｎ 1 ａｎ - 1(ｎ∈Ｎ 且ｎ≥ 2 ) .命题 4　三数ａ ,ｂ ,ｃ成等差数列的充要条件是ｂ =ａ ｃ2 .命题 5　已知数列 {ａｎ}的前ｎ项和Ｓｎ=…     

保加利亚教育科学部第50届数学奥林匹克试题(待续)

1　已知数列 {ａｎ}适合ａ0 =4 ,ａ1=2 2 ,且ａｎ- 6ａｎ - 1 ａｎ - 2 =0 (ｎ≥ 2 ) ,证明 :存在两个正整数数列 {ｘｎ}和 { ｙｎ}满足ａｎ=ｙ2 ｎ 7ｘｎ- ｙｎ(ｎ≥ 0 ) .解　 [方法 1]由特征方程ｘ2 - 6ｘ 1=0 ,求其特征根为 3± 2 2 ,应用待定系数法 ,求其通项公式ａｎ=8 5 24 (3 2 2 ) ｎ 8- 5 24 (3- 2 2 ) ｎ(ｎ≥ 0 ) .取 ｙ0 =1,ｙ1=9,ｙｎ=6 ｙｎ - 1- ｙｎ - 2 (ｎ≥ 2 ) .用求ａｎ 同样的方法可求得ｙｎ=2 324 (3 2 2 ) ｎ 2 - 324 (3- 2 2 ) ｎ(ｎ≥ 0 ) .令ａ- 1=2 ,则 ｙ20 7=8=ａ- 1ａ0 且可证ｙ2 ｎ 7=ａｎ -…     

纠正一个错误

文 [1]指出 :“设两等差数列 {ａｍ ｂ}和 {ｃｎ ｄ}(ａ ,ｂ ,ｃ ,ｄ∈Ｚ)公差分别为ａ和ｃ ,其相同项组成的新数列为 {ｘｎ}(ｎ∈Ｎ) ,又设ｘ∈ {ｘｎ},当ａ·ｃ<0即公差值一正一负时 ,两数列中的数分别一增一减 ,除可能有一项相同外 ,不会出现新的相同项 ,否则与单调数列的概念矛盾 .因此若新列中各元素均为两数列中的相同项 ,须要ａｃ >0即ａ ,ｃ >0或ａ ,ｃ <0 .”笔者认为 ,上述结论是错误的 ,反例如下 :数列{- 10 1 ｎ}的公差为 1,数列 {10 1-ｎ}的公差为- 1,数列 {- 10 1 ｎ}与数列 {10 1-ｎ}的前 2 0 1项均相同 (只不过排列顺序不…     

两个不等式的指数推广

贵刊文[1]给出以下两个不等式:1　设ｘｉ∈Ｒ (ｉ=1,2,…,ｎ),且ｘ211 ｘ21 ｘ221 ｘ22 … ｘ2ｎ1 ｘ2ｎ=ａ(0<ａ<ｎ),求证:ｘ11 ｘ21 ｘ21 ｘ22 … ｘｎ1 ｘ2ｎ≤ａ(ｎ-ａ)(1)2　设ｘｉ∈Ｒ (ｉ=1,2,…,ｎ),且ｘ11 ｘ1 ｘ21 ｘ2 … ｘｎ1 ｘｎ=ａ(0<ａ<ｎ),求证:ｘ211 ｘ1 ｘ221 ｘ2 … ｘ2ｎ1 ｘｎ≥ａ2ｎ-ａ(2)笔者受该文的启发,将上述两个不等式从变量的指数上予以推广,得到下面几个命题.　命题1　设ｘｉ∈Ｒ (ｉ=1,2,…,ｎ),ｍ,ｋ∈Ｎ,且ｍ≥2,1≤ｋ≤ｍ-1,且ｘｍ11 ｘｍ ｘｍ21 ｘｍ2 … ｘｍｎ1 ｘｍｎ=ａ(0<ａ<ｎ),则有:ｘｋ11 ｘｍ…     

综合题新编

题 2 1　已知数列 {ａｎ}的通项ａｎ 是关于ｘ的不等式ｎ(ｎ -ｘ) >ｎ - 2ｘ (ｎ∈Ｎ)的解集中整数的个数 .1)求ａｎ;2 )设数列 { 1ａ2 ｎ}的前ｎ项和为Ｔｎ,试比较Ｔｎ 与3ｎ2ｎ 1的大小 .解　 1)原不等式等价于ｎ(ｎ -ｘ)≥ 0ｎ - 2ｘ <0 或ｎ(ｎ -ｘ)≥ 0 ,ｎ - 2ｘ≥ 0 ,ｎ(ｎ -ｘ) >(ｎ - 2ｘ) 2 ,解得 0 <ｘ≤ｎ ,∵ｎ∈Ｎ ,∴ａｎ=ｎ .2 )由题意ｎ =1时 ,Ｔ1=1,3ｎ2ｎ 1=1.∴Ｔ1=3ｎ2ｎ 1,ｎ =2时 ,Ｔ2 =1 12 2 =54 ,而 3ｎ2ｎ 1=65 ,∴Ｔ2 >3ｎ2ｎ 1.ｎ =3时 ,Ｔ3 =1 12 2 132 =4 936 ,3ｎ2ｎ 1=97,∴Ｔｎ>3ｎ2ｎ …     

由几种典型的递推式构造新数列求通项的方法

已知数列的递推式求其通项公式的方法一般有三种 :“归纳、猜想、证明”、“错位相消 (约 )法”以及构造法 .本文将针对六种最典型的递推式 ,谈谈构造新数列求数列的通项公式的方法 .类型 1　ａｎ +1=ｑａｎ+Ｐｋｎｋ+Ｐｋ - 1ｎｋ- 1+… +Ｐ1ｎ +Ｐ0 (ｑ≠ 0 ,1,ｋ∈Ｎ) .例 1　数列 {ａｎ}中 ,ａ1=1,ａｎ +1=2ａｎ+ 3,求ａｎ.解　令ａｎ +1+ｘ =2 (ａｎ+ｘ) ,可得ｘ =3,故ａｎ+1+ 3=2 (ａｎ+ 3) .又ａ1+ 3=4 ,可见 ,数列 {ａｎ+ 3}是首项为 4 ,以 2为公比的等比数列 ,从而 ,ａｎ+ 3=4·2 ｎ - 1,得ａｎ=2 ｎ +1- 3.例 2　数列 {ａｎ}中 ,…     

一类数列的通项公式

众所周知 ,当一个数列用两个函数式表示 ,即ａｎ =ｆ(ｎ) ,ｎ=2ｋ- 1ｇ(ｎ) ,ｎ=2ｋ 　 (ｋ∈Ｎ)时 ,可合并写成ａｎ =1 (- 1 ) ｎ 12 ｆ(ｎ) 1 (- 1 ) ｎ2 ｇ(ｎ)　 (ｎ∈Ｎ)　① ,那么当一个数列用三个函数式表示 ,即ａｎ =ｆ(ｎ) ,ｎ=3ｋ- 2ｇ(ｎ) ,ｎ=3ｋ - 1ｈ(ｎ) ,ｎ =3ｋ(ｋ∈Ｎ)时 ,能合并写成一个表达式吗 ?对更一般的情况又会怎样呢 ?1　发现过程表达式①中 ,1 ,- 1可视为方程ｘ2 =1的两个根 ,1 (- 1 ) ｎ 12 ,1 (- 1 ) ｎ2 的分母 2正好是方程ｘ2 =1中未知数ｘ的次数 .注意到共性 :当ｎ 1 =2ｋ时 ,ａｎ =ｆ(ｎ) ,对应写成1…     

一阶二次递归数列的部分结论

在数列 {ａｎ}中 ,若已知ａ1,且满足　　ａｎ +1=ｐａ2 ｎ+ ｑａｎ+ｒ (1)其中 ｐ ,ｑ ,ｒ为常数 ,ｐ≠ 0 ,则数列 {ａｎ}叫做常系数一阶二次递归数列 ,(1)式叫做该数列的递归方程 .1　当 ｑ =ｒ =0时 ,递归方程为　　　ａｎ +1=ｐａ2 ｎ (2 )结论 1　满足 (2 )式的列 {ａｎ}的通项公式为ａｎ=1ｐ(ｐａ1) 2ｎ - 1.此结论用数学归纳法易得 ,证明从略 .2　当 ｑ =0 ,ｒ≠ 0时 ,递归方程为　　　ａｎ +1=ｐａ2 ｎ+ｒ (3)若 ｐ =1,ｒ =- 2 ,递归方程为　　　ａｎ +1=ａ2 ｎ- 2 (4)结论 2　数列 {ａｎ}若满足递归方程 (4) ,则令ａ1=ｍ + 1ｍ,可得…     

数学日记三则——递推数列通项的求解

3月 1 9日　星期一今天 ,在“递推数列”的学习中 ,有一个例题 ,通过大家共同讨论 ,得到三种解法 .例题　已知数列 {ａｎ}满足 :ａ1=1,ａｎ 1=2ａｎ 1,求该数列的通项ａｎ.解法 1　由已知可得　ａ1=1,ａ2 =3,ａ3=7,ａ4=15 ,由此猜测ａｎ=2 ｎ- 1.用数学归纳法证明 :①当ｎ =1时 ,猜想显然成立 .　②假设ｎ =ｋ时猜想成立 ,即ａｋ=2 ｋ- 1.当ｎ =ｋ 1时 ,ａｋ 1=2ａｋ 1=2 (2 ｋ- 1) 1=2 ｋ 1- 1.可见当ｎ =ｋ 1时命题也成立 .综合① ,②知 ,对于一切自然数ｎ命题均成立 .解法 2　由已知有ａｎ=2ａｎ - 1 1,ａｎ- 1=2ａｎ - 2 1,… ,ａ…     

对一类和式的估值

设 {ａｎ}为递增的正项等差数列 :ａｎ=ａ1 (ｎ -1)ｄ ,ｎ∈Ｎ ,其中ａ1 ,ｄ >0 ,本文讨论和式 ｎｋ =1 ａｋ=ａ1 ａ2 … ａｎ的估值不等式与近似值公式 ,并举例说明其应用 .定理 1　设ｄ≤ 10ａ1 ,则对任意ｎ∈Ｎ ,有　　ｍｎ≤ ｎｋ =1 ａｋ≤Ｍｎ (1)当且仅当ｎ =1时式中等号成立 ,其中ｍｎ =4ａｎ 3ｄ6ｄ ａｎ ｄ2 4ａｎ　 -(4ａ1 -3ｄ6ｄ ａ1 ｄ2 4ａ1) ,Ｍｎ =4ａｎ 3ｄ6ｄ ａｎ ｄ2 4ａｎ　 -ｄ3192 0ａ2ｎ ａｎ-(4ａ1 -3ｄ6ｄ ａ1　 ｄ2 4ａ1-ｄ3192 0ａ31 ａ1) .定理 1的证明要用到下面两个引理 .引理 1　设ｘ≥ 110…     

综合题新编选登

题 4 3　已知 ｆ(ｘ) =-ｘ3+ａｘ在 (0 ,1)上是增函数 ,1)求实数ａ的取值范围Ａ ;2 )当ａ取Ａ中最小值时 ,定义数列 {ａｎ}满足ａ1=ｂ∈ (0 ,1) ,且 2ａｎ +1=ｆ(ａｎ) ,试比较ａｎ 与ａｎ +1的大小 .3)在 2 )的条件下 ,问是否存在正实数ｃ ,使得 0<ａｎ+ｃａｎ-ｃ<2对于一切ｎ∈Ｎ恒成立 ?若存在 ,求出ｃ的取值范围 ,否则说明理由 .解　 1)设 0 <ｘ1<ｘ2 <1,则　ｆ(ｘ1) - ｆ(ｘ2 ) =-ｘ31+ａｘ1+ｘ32 -ａｘ2=(ｘ2 -ｘ1) (ｘ21+ｘ1·ｘ2 +ｘ22 -ａ) .由题意知　ｆ(ｘ1) - ｆ(ｘ2 ) <0且ｘ2 -ｘ1>0 ,∴ｘ21+ｘ1·ｘ2 +ｘ22 -ａ <0而ｘ21+ｘ1…     

用一个数列题的求解来看此题的设计

1　一个数列例题例题　在数列 {ａｎ}中 ,Ｓｎ 1 =4ａｎ 2 ,ａ1 =1 .(ｎ∈Ｎ)(1 )设ｂｎ =ａｎ 1 - 2ａｎ,求证 :数列 {ｂｎ}是等比数列 .(2 )设ｃｎ =ａｎ2 ｎ,求证 :数列 {ｃｎ}是等差数列 .(3 )求数列 {ａｎ}的通项公式及前ｎ项和公式 .如果按部就班地做 ,这道题并不难 .但是若抛开 (1 )、(2 )问直接解答 (3 )就需要坚实的数列基础知识 ,分析如下 :解　由Ｓｎ 1 =4ａｎ 2　　① ,知Ｓｎ 2 =4ａｎ 1 2②② -①得 :Ｓｎ 2 -Ｓｎ 1 =4(ａｎ 1 -ａｎ)即 :　　　ａｎ 2 =4(ａｎ 1 -ａｎ)转化为已知首项ａ1 =1及连续三项的递推关系式 ,求ａｎ …     

综合题新编选登

题 37　 数列 {ａｎ}是正项等差数列 ,对任意ｋ∈Ｎ ,试证明 :(Ⅰ )ｌｏｇ0 .2 ａｋ+1≤ 12 (ｌｏｇ0 .2 ａｋ+ｌｏｇ0 .2 ａｋ +2 ) ,(Ⅱ ) ａｋ+12ａｋ1≥ (ｋ + 1)ａ2 -ｋａ1.证　 (Ⅰ )所证不等式等价于ａ2 ｋ +1≥ａｋ +2 ａｋ.设数列 {ａｎ}的公差为ｄ ,则ａ2 ｋ +1-ａｋ+2 ａｋ=(ａ1+ｋｄ) 2 - [ａ1+ (ｋ + 1)ｄ][ａ1+ (ｋ - 1)ｄ]=ｄ2 ≥ 0 .当且仅当ｄ =0 ,即ａｋ=ａｋ+1时等号成立 ,∴ｌｏｇ0 .2 ａｋ+1≤ 12 (ｌｏｇ0 .2 ａｋ+ｌｏｇ0 .2 ａｋ+2 ) .(Ⅱ )由 (Ⅰ )得 ａｋ+2ａｋ+1≤ ａｋ+1ａｋ,∴ ａｋ+2ａｋ+1≤ ａ2ａ1,ａｋ+1…     

等差数列的又一个有趣性质

在文 [1]中介绍并证明了———等差数列的一个有趣性质 :性质Ａ　若ａ1,ａ2 ,ａ3 ,… ,ａｎ,ａｎ 1成等差数列(2≤ｎ∈Ｎ) ,则有恒等式Ｃ0 ｎａ1-Ｃ1ｎａ2 Ｃ2 ｎａ3 -… (- 1) ｋＣｋｎａｋ 1 … (- 1) ｎ - 1Ｃｎ - 1ｎ ａｎ (- 1) ｎＣｎｎａｎ 1=0 .显然 ,性质Ａ对含有 (ｎ 1)项的等差数列都成立 (2≤ｎ∈Ｎ) .此外 ,我们还发现了酷似性质Ａ的———等差数列的又一个有趣性质 :性质Ｂ　若Ｓｎ 是等差数列 {ａｎ}的前ｎ项和 ,则当 3≤ｎ∈Ｎ时 ,恒有等式Ｃ1ｎＳ1-Ｃ2 ｎＳ2 Ｃ3 ｎＳ3 -… (- 1) ｋ- 1ＣｋｎＳｋ … (- …     

等差数列中两类“特征数列”

设等差数列 {ａｎ}的前ｎ项和为Ｓｎ,公差为ｄ ,则有以下两类“特征数列” :( 1)若ａ1>0 ,ｄ <0 ,则Ｓｎ 无最小值 ,Ｓｎ有最大值 ,且Ｓｎ 有最大值ＳＮ 时ａｉ>0 ( 1≤ｉ≤Ｎ) ,我们把 {ａｎ}称为首项为正、公差为负的递减等差数列 ;( 2 )若ａ1<0 ,ｄ >0 ,则Ｓｎ 无最大值 ,Ｓｎ有最小值 ,且Ｓｎ 有最小值ＳＮ 时ａｉ<0 ( 1≤ｉ≤Ｎ) ,我们把 {ａｎ}称为首项为负、公差为正的递增等差数列 .分析　Ｓｎ =ｎａ1+ ｎ(ｎ -1)2 ｄ =ｄ2 ｎ2 +(ａ1-ｄ2 )ｎ ,Ｓｎ 为ｎ的二次函数 ,其图象为抛物线 ,对称轴为ｘ0 =12 -ａ1ｄ,当ａ1 与ｄ异号时ｘ0 >0…     

二次三项式训练题

1　求证:对于所有的ａ,方程(ａ3-2ａ2 7ａ)ｘ2-(ａ3 4ａ2 9ａ 6)ｘ 5ａ2 4=0至少有一根.2　求证:如果2ａ 3ｂ 6ｃ=0,那么二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ=0在区间(0,1)内至少有一根.3　令ｘ1,ｘ2是方程ｘ2 ａｘ ｂ=0的二根,ｂ≠0.求方程ｂｘ2 ａ(ｂ 1)ｘ (ｂ-1)2 ａ2=0的根.4　在ａ,ｂ,ｃ间有何种关系时,方程组ａｘ2 ｂｘ ｃ=0ｂｘ2 ｃｘ ａ=0ｃｘ2 ａｘ ｂ=0有解?5　求证:如果ａ,ｂ,ｃ是一个三角形的边长,那么方程ｂ2ｘ2 (ｂ2 ｃ2-ａ2)ｘ ｃ2=0没有实根.6　求证:ｓ=ｐ1 ｐ2 … ｐｎ 1时,ｎ个方程ｘ2 ｘ ｐ1=0,ｘ2 ｘ ｐ2=0,…,ｘ2 ｘ ｐｎ-1=0,ｘ2 …     

谈虚根成双定理的类比——中学数学笔谈之十六

我们都知道,对于一个代数方程ｆ(ｘ)≡Ａ0ｘｎ Ａ1ｘｎ-1 … Ａｎ=0(Ａ0≠0,ｎ≥2)(1)有下面的虚根成双定理:定理1　设方程(1)的系数都∈Ｒ(实数集),如果(1)有一根ｘ0=ａ0 ｂ0ｉ∈Ｃ(复数集),其中ａ0,ｂ0∈Ｒ,ｉ=-1是虚数单位,则ｘ0=ａ0-ｂ0ｉ也是(1)的根.在“笔谈”十五...