一元二次方程与一类高次方程之间的有趣结论的推广

文 [1]介绍了一元二次方程与一类高次方程之间的有趣结论。本文将该结论作出推广 .为了方便 ,首先抄录文 [1]的结论 :“定理　若ｘ0 是方程ｘ2 -ｂｘ -ｃ =0的根 ,则ｘ0 也一定是方程ｘｎ-ａｎ 1 ｘ -ａｎｃ =0的根 (其中ａｎ,ａｎ 1 是数列 {ａｎ}中的第ｎ项和第ｎ 1项 ,数列{ａｎ}满足递推关系ａｎ 1 =ｂａｎ ｃａｎ-1 ,ａ1 =0 ,ａ2 =1,ｎ∈Ｎ ,ｎ≥ 2 ) .”上述定理的推广如下 :定理 1　若ｘ0 是方程ｘ2 -ｂｘ -ｃ =0的根 ,则ｘ0 必是方程ｘｎ-ａ2 ｎ 1 ｘ -ａ2 ｎｃ=0的根 ,其中ａｎ 和ａｎ 1 是数列 {ａｎ}中的第ｎ项和第…     

一个有趣的结论

1　问题的提出 :1 995年文科第 2 6题如下 :已知椭圆x22 4+y21 6=1 ,直线l:x =1 2 ,P是l上一点 ,射线OP交椭圆于点R ,又点Q在OP上且满足｜OQ｜·｜OP｜=｜OR｜2 .当点在l上移动时 ,求点Q的轨迹方程 ,并说明轨迹是什么曲线 .其答案是 :Q的轨迹方程为(x -1 ) 2 +y223=1 (其中x ,y不同时为 0 ) .从上面答案我们也许看不出什么有趣的东西 ,但将上面答案展开得 :x22 4+y21 6=x1 2 ,并对比已知条件中两条曲线的方程就不能不引起一个对数学问题感兴趣的人的思考了 .无独有偶的是 1 995年高考理科第 2 6题 :已知椭圆x22 4+y21 6=1 ,直线l:x1 …     

一类特殊的高次方程的判别式

历史上二、三次方程的根的判别式脱颖于方程的根式解,因此判别式不仅能用来判断方程根的性态,而且还可直接用于方程根的计算。但是这样的讨论会由于方程次数的增加而显得无能为力。本文将用分析     

一类高次方程求解规律的探索

1问题的提出在刊物中经常见到这样一道例题：已知zEC且卜一1，求方程Z’＋z一1的解．用三角法或取模法都可求出方程的解是z一步J3＿、＿＿＿＿＿＿．＿＿＿＿＿＿士今并i．最近笔者又见到一道同类题：已知复数z满足IZD一1且z’＋z一1，求Z．做后发现无解，于是产生了如下的想法——若ZEC，nEN且卜9—1，则当n取何值时，方程ed＋z—1有解？这里有无一定的规律？本文就这个问题作一点粗浅的探讨．2规律的振金上述问题从纯代数角度探讨有一定的难度，下面从几何角度作探讨．分析如图，设点Z、Z。、A分别表示复数z、Af、1，则点Z、Z＂、…     

一类实系数高次方程的求解

有这样一个有趣的问题 :下面的多项式各不相同 ,但都有类似的分解形式( 1 )x3+ 4x2 + 8x+ 8=(x2 + 2x+ 4 ) (x+ 2 )( 2 )x4+ 4x3+ 1 2x2 + 1 6x+ 1 6=(x2 + 2x+ 4 ) (x2 + 2x+ 4 )( 3)x5+ 4x4+ 1 2x3+ 2 4x2 + 32x+ 32 =(x3+ 2x2 + 4x + 8) (x2 + 2x + 4 )( 4 )x3+ 6x2 + 1 8x+ 2 7=(x2 + 3x+ 9) (x + 3)( 5 )x4+ 6x3+ 2 7x2 + 5 4x+ 81 =(x2 + 3x + 9) (x2 + 3x + 9)( 6)x5+ 6x4+ 2 7x3+ 81x2 + 1 62x+ 2 4 3=(x3+ 3x2 + 9x+ 2 7) (x2 + 3x+ 9)观察各式左端 ,发现首尾等距的两项系数ai与ai- 1 同除以i后成等比数列 ,猜想这就是多项式有如此…     

一个圆锥曲线有趣的结论

命题:过椭圆x2/a2+y2/b2=1,a＞b＞0的长轴上一点D(k,0)作弦AB,椭圆的长轴的延长线上一点N(q,0).问当k,q满足什么关系时能使∠ANO=∠BNO.……     

一类系数为组合数的高次方程

一类系数为组合数的高次方程盘锦市高级中学贾维玉问题１解方程能看出方程的系数是组合数（ｋ＝１３，５，７）是解答该问题的关键．不妨先证明一面的推广结论．证明先求方程（Ｉ）的实根．（３）上面已求得了（Ｉ）的ｎ—１个实根．注意到（Ｉ）是关于了的ｎ—ｌ次方程，...     

关于一类高次方程实根的一个猜想与证明

《数学通报》１９９７年７月号问题第１０８３题“试求方程ｘ８＝２１ｘ＋１３的二个实根”,供题作者的解答是先令ｔ是二次方程ｘ２－ｘ－１＝０的任一实根,然后证明ｔ就是方程ｘ８＝２１ｘ＋１３的实根,故ｔ＝（１±５）／２就是方程的两个实根,再说明方程ｘ８＝２１ｘ＋１３只有两个实根,解答正确巧妙;笔者感兴趣的问题是：这一类形如“ｘｎ＝Ａｘ＋Ｂ（ｎ∈Ｎ,ｎ≥２）”的高次方程均有实根ｘ＝（１±５）／２,其一次项系数与常数项有何规律？请看下面的探索、归纳、猜想与证明;１　探索将方程ｘ８＝２１ｘ＋１３　变形为ｘ８－…     

双圆四边形的一些有趣结论

既有内切圆,又有外接圆的四边形,称为双圆四边形。双圆四边形有一系列有益的结论,其中有几个结论曾作为竞赛题展现在数学爱好者面前,掌握这那结论,可以加深对这类几何图形的了解,增进学习兴趣。本文把这些结论介绍如下,供教学和课余活动的参考。结论1.双圆四边形的对边之和相等。     

二次函数图象的一个有趣结论

笔者最近对二次函数的图象作了研究,得到了一组重要而有趣的结论,现论述如下,供读者参考.定理设二次函数y=ax2+bx+c(ac≠0,Δ=b2-4ac>0)的图象和x轴的两个交点为A,     

关于双曲线的一个有趣结论

笔者研读文[1]后深受启发，对双曲线的性质也进行了研究，发现了一个有趣的结论，同时也得到了离心率为2的双曲线的一条独特性质，现将结果共享如下．     

二次函数图象的一个有趣结论

笔者最近对二次函数的图象作了研究,得到了一组重要而有趣的结论,现论述如下,供读者参考．     

一类有趣的数列

设数列{an}满足条件 an=a1 a2 … an-1 (n≥2)①当n=2时,由①式可得,an=a1．易知,对任意的自然数i(i=1、2、3、…),若 a1=0,则ai=0;若a1≠0,则ai≠0．所以,下面我们不妨假设a1≠0．     

直角三角形中的三个有趣结论

直角三角形斜边上的高线把原直角三角形分割成两个三角形,这两个三角形与原直角三角形的外接圆半径存在有趣的结论,同样,关于斜边上的中线、角平分线,也有类似的有趣结论.     

直角三角形中的三个有趣结论

直角三角形斜边上的高线把原直角三角形分割成两个三角形,这两个三角形与原直角三角形的外接圆半径存在有趣的结论,同样,关于斜边上的中线、角平分线,也有类似的有趣结论．     

双曲线渐近线的一组有趣结论

本文介绍双曲线渐近线的几个有趣结论与应用,供同学们学习参考．不妨设双曲线方程为：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0）,e是双曲线的离心率.     

一类有趣不等式的拓展与加强

本文先从3个有趣的代数不等式出发,联系一道数学征解题,给出了这类不等式的一个统一加强形式;进而联系两道数学竞赛试题,给出了类似的加强,获得了一些有趣的代数不等式.这些不等式有助于我们加深对代数运算规律的认识.1探究问题展示     

一类有趣的三角不等式

最近,本文作者通过研究、探索,发现了一类新颖、奇特的三角不等式．定理１在△ＡＢＣ中,有ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＞３４．（１）证∵ｃｏｓＢ－Ｃ２－ｓｉｎＡ２＝２ｓｉｎＢ２ｓｉｎＣ２＞０,∴ｃｏｓＢ－Ｃ２＞ｓｉｎＡ２,∴ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓ...     

一类恒等式的有趣证法

通常,恒等式的证明都是从等式的一边出发,经过恒等变形化简到与另一边相等;或两边同时作恒等变形化简得到相等的结果.但对于某些与组合数有关的恒等式来说,还有另一种有趣的证法,如下面几例: 一、Cmn=Cnn-m 这是组合数的一个性质,为了证明这个性质,我们来解下面的应用题: “n个学生参加义务劳动,其中m(m≤n)个学生扫地,其余的学生除草,问有多少种不