集合与函数

1　基本知识　1 )元素与集合的关系 .判断一个对象是否为某个集合的元素 ,就是检验这个对象是否具备这个集合的元素所共有的属性 .2 )两集合之间的关系 .两集合之间的关系主要是“相等”、“包含”、“真包含”关系 .3)映射 .映射是数学中的一个基本概念 ,几乎每一个数学分支都要用到它 .设Ａ和Ｂ是给定的两个集合 ,如果有一个规则 ｆ ,使得对于每一个ｘ∈Ａ ,通过 ｆ ,唯一确定一个 ｙ∈Ｂ ,那么 ,就称 ｆ是Ａ到Ｂ的一个映射 ,记为ｆ :Ａ| →Ｂ .我们称 ｙ为ｘ在 ｆ作用下的象 ,记作 ｙ =ｆ(ｘ) ,并用符号ｆ :ｘ| →ｙ表示 ,称ｘ为ｙ的一个…     

高考数学模拟题

本试卷分第Ⅰ卷 (选择题 )和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分 ,共 150分 .考试时间 12 0分钟 .第Ⅰ卷 (选择题共 6 0分 )选择题 :本大题共 14小题 ;第 1— 10题每小题 4分 ,第 11— 14题每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1　设Ｉ为全集 ,Ａ Ｉ ,Ｂ Ａ ,则下列结论错误的是(　　 )(Ａ) Ｂ Ａ .　　　　　　 (Ｂ)Ａ∩Ｂ =Ｂ .(Ｃ)Ａ∩ Ｂ = . (Ｄ) Ａ∩Ｂ = .2　已知集合Ａ ={1,2 ,3,4 },集合Ｂ ={- 1,- 2 },设映射ｆ :Ａ→Ｂ ,如果集合Ｂ中的元素都是Ａ中元素在映射ｆ下的象 ,那么这样的映射存在(…     

例说映射概念及应用

映射是近代数学的一个重要的基本概念, 它是一种常用的数学思想,同时也是高中数学中函数的基础以及换元思想的理论依据.充分掌握和利用映射概念及思想,对于解决某些数学问题是必要的. 高中数学教材对映射概念是这样描述的: 一般地,设A,B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,这样的对应     

话说映射

试验修订本第一册(上)在P47指出:“一般地,设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:A→B.”     

关于新教材词汇对照表的几点商榷

《全日制普通高级中学教科书 (试验修订本 )·数学》第一册 (上 )的附录“部分中英文词汇对照表”(以下简称对照表 ) ,在中学数学教材编写史上是一个开创性的尝试 .它有利于数学教育“面向现代化 ,面向世界 ,面向未来” ,有利于全面提高学生的文化素养 .在使用过程中 ,我们发现对照表中有些瑕疵 ,现提出商榷意见 ,就正于专家 .1　值域的英文名应为ｒａｎｇｅ[1 ]教材定义 :象的集合Ｃ(Ｃ Ｂ)叫做函数ｆ:ＡＢ的值域 .显然 ,值域只是函数ｆ中第二个集合Ｂ的子集 .正如文 [2 ]所说 :“国内许多教材或者没有给第二个集合以一个名称 ,或者把二…     

用一一映射解计数问题

用一一映射解计数问题张进兴（华东师范大学数学系２０００６２）对于集合Ａ与集合Ｂ，如果存在集合Ａ到Ｂ的一一映射ｆ，则可将集合Ａ中的元素ａ与它在Ｂ中的象ｆ（ａ）配成一对（ａ，ｆ（ａ））．显然，Ａ中的每个元素一定出现且只出现在一个对子中，Ｂ的元素也一样．因...     

例说函数概念的理解

函数是由对应法则、定义域、值域三部分构成 ,这是高一同学学习函数后都知道的 ,但要达到正确运用函数概念解决问题的水平 ,对函数概念仅处于一种表面的认识是不够的 .下面举几个例子说明 .题 1　函数 ｙ =(2 +ｘ) (3-ｘ)的定义域为集合Ａ ,函数 ｙ =ｌｇ(ｋｘ2 + 4ｘ +ｋ + 3)的定义域为集合Ｂ ,当Ｂ Ａ时 ,求实数ｋ的取值范围 .有的同学认为 ,因为Ｂ Ａ ,所以对集合Ｂ应该分成空集和非空集两类情况来处理 .从集合的角度看 ,的确应该这样做 ,那么在本题中到底该不该这样做呢 ?我们先来看看“函数”的定义 :如果Ａ ,Ｂ是非空的数集 ,那么…     

间接法解2000年高考选择题

由于数学选择题具有结论唯一的特殊命题结构 ,决定了解选择题除了可用直接法解答外 ,还可使用特殊的方法 ,避免“小题大做” ,2 0 0 0年高考 12道选择题中至少有 6道题可用间接法快速解答 .本文简要分析如下 :1　结论代入法将四个选择支的结论分别代入题中检验相关信息得出正确答案 .( 1)设集合Ａ和Ｂ都是自然数集合Ｎ ,映射 ｆ :Ａ→Ｂ把集合Ａ中的元素ｎ映射到集合Ｂ中的元素2 ｎ ｎ ,则在映射下 ,象 2 0的原象是 (　　 )(Ａ) 2 .　 (Ｂ) 3.　 (Ｃ) 4.　 (Ｄ) 5.解　象 2 0的原象ｎ是方程 2 ｎ ｎ =2 0的解 ,由 2 4 <2 0 <2 5观察四个选择…     

映射与函数

我们知道 ,对于两个集合Ｘ ,Ｙ ,若有一种对应关系 ｆ ,使得Ｘ中的每个元素ｘ ,能在Ｙ中找到一个唯一的元素ｙ与之对应 ,则称这种对应关系 ｆ是从Ｘ到Ｙ的一个映射 .与映射有关的问题中有一类是关于映射的计数问题 .例 1　 (第二届希望杯高一试题 )如果集合Ｍ ,Ｎ各有ｍ ,ｎ个元素 ,那么 ,从Ｍ到Ｎ可能建立的映射个数是 (　　 )(Ａ)ｍ ｎ .　　　 (Ｂ)ｍｎ .(Ｃ)ｍｎ. (Ｄ)ｎｍ.解　对于Ｍ中的每一个元素 ,从Ｍ到Ｎ都可以建立ｎ个不同的对应 .因Ｍ中有ｍ个元素 ,故从Ｍ到Ｎ可能建立的映射的个数是ｎ·ｎ·…·ｎｍ个=ｎｍ.故应选 (Ｄ) .例 …     

函数

2.1　映射与函数、反函数内容概述1 .对映射概念 ,可以理解为下述三点 :( 1 ) A中每一个元素必有唯一的象 ;( 2 )对于 A中的不同元素 ,在 B中可以有相同的象 ;( 3)允许 B中元素没有原象 .即映射必须是“多对一”或“一对一”的对应形式 ,但不能“一对多”.(“一对一”的映射叫“一、一映射”)2 .函数( 1 )函数有如下特征 :1函数是由一个非空数集A到另一个非空数集 B的映射 ;2原象集合 A叫做函数 y =f ( x)的定义域 ,象的集合 C叫做函数 y =f ( x)的值域 ,显然 C B;3定义域、对应法则、值域是构成函数的三要素 .三要素中只要有一个不同…     

1999年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)试题及解答

第Ⅰ卷（参考公式,略）１．选择题（１）如图,Ｉ是全集,Ｍ、Ｐ、Ｓ是Ｉ的３个子集,则阴影部分所表示的集合是（　　）．　（Ａ）（Ｍ∩Ｐ）∩Ｓ　（Ｂ）（Ｍ∩Ｐ）∪Ｓ　（Ｃ）（Ｍ∩Ｐ）∩Ｓ　　　（Ｄ）（Ｍ∩Ｐ）∪Ｓ（２）已知映射ｆ：Ａ→Ｂ,其中,集合Ａ＝｛－３,－２,－１,１,２,３,４｝,集合Ｂ中的元素都是Ａ中元素在映射ｆ下的象,且对任意的ａ∈Ａ,在Ｂ中和它对应的元素是｜ａ｜,则集合Ｂ中元素的个数是（　　）．　（Ａ）６　　（Ｂ）５　　（Ｃ）４　　（Ｄ）７（３）若函数ｙ＝ｆ（ｘ）的反函数是ｙ＝ｇ（ｘ）,…     

映射的应用

映射的应用武汉市教研室裴光亚对于映射ｆ：Ａ→Ｂ，如果集合Ｂ中每一个元素在集合Ａ中都有原象，就称为满射；如果集合Ａ中不同的元素在Ｂ中有不同的象，就称为单射；既是满射又是单射的映射称为双射，又叫一一对应．这时两个集合可以看成同一个事物，一个集合的问题可以...     

高中函数定义的商榷

人民教育出版社高中数学课本的历次改版中,修订次数最多的部分恐怕要算函数概念,从全日制十年制学校高中课本（１９７９年版）用单值对应、逆对应定义函数、反函数,到六年制重点中学高中课本（１９８２年版）改用映射、逆映射来定义;从高级中学代数第一册（甲种本,１９８３年版）及此前各版将值域限定为上域,到高级中学课本代数上册（必修,１９９０年版）,取消这个限制,并删去一一映射、逆映射二小节,而改用自变量与函数的相互转化来定义反函数;最后,全日制普通高级中学教科书（试验本,１９９６年版）又补上一一映射一节,但反…     

120 多项式相等

１　类比迁移,引入课题──类比 我们已经学习了： ①两实数的相等：ａ＝ｂ ａ—ｂ=０ ②两集合的相等; Ａ＝Ｂ Ａ　Ｂ,Ｂ　Ａ ③两函数的相等：已知ｙ＝ｆ（ｘ）（ｘ∈Ａ）;ｙ＝ｇ（ｘ）（ｘ∈Ｂ）,ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）Ａ＝Ｂ且Ａｘ∈Ａ都有ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）． 至此让学生形成这样的印象：同类的对象之间,考虑它们的相等是可能的．那么我们刚学的多项式能定义相等吗？ 评　数学中的许多概念,与前述的杨念常有着紧密的联系．一些重要概念,往往是前述的相关概念和谐扩展的结果,如相等．试想;数学中曾讨论过多少同类对象间的相等（…     

分段函数——高考数学新视点

分段函数问题近年在高考试题中频繁出现 ,业已成为高考数学的一个热点 .但现行教材与复习资料对这类问题尚无系统介绍 ,现对其做一归纳整理 ,供同学们复习时参考 .1　分段函数的概念定义　一个函数在它的定义域中 ,对于自变量x的不同取值范围 ,对应法则不同 ,这样的函数叫做分段函数 .由定义可知 ,分段函数是“一个”函数 ,而不是几个函数 ,它是由各段上的解析式 (对应法则 )用符号“{”合并而成的一个整体 ,其定义域是各段自变量集合的并集 ,值域是各段函数值集合的并集 .2　分段函数考题的类型2 .1　分段函数的解析式 .例 1　 (2 0 0 0年…     

高三复习综合测试题

选择题 (共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .每小题给出四个选项 ,只有一项符合题目要求 )1　“ｘ∈Ａ∩Ｂ”不成立的意思是指 (　　 )(Ａ)ｘ Ａ且ｘ Ｂ . (Ｂ)ｘ Ａ∪Ｂ .(Ｃ)Ａ∈Ａ∪Ｂ . (Ｄ)ｘ∈Ａ但ｘ Ｂ .2　曲线Ｃ是定义在Ｒ上的奇函数 ｙ =ｆ(ｘ)的图象 ,则下列说法正确的是 (　　 )(Ａ)曲线Ｃ与直线ｘ =1可能有两个交点 .(Ｂ)曲线Ｃ与直线ｘ =1有且只有一个交点 .(Ｃ)曲线Ｃ与直线 ｙ =1不可能有两个以上交点 .(Ｄ)曲线Ｃ与直线 ｙ =1有且只有一个交点 .3　设 ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的任一增函数 ,Ｆ(ｘ) =ｆ(ｘ) -ｆ(-ｘ) ,那么…     

2002年全国各地高考数学模拟试题集锦 函数、不等式、数列

选择题1　ａ ,ｂ是实数 ,集合Ａ ={ａ,ｂａ ,1} ,Ｂ ={ａ2 ,ａ +ｂ,0 } ,若Ａ =Ｂ ,则ａ2 0 0 1+ｂ2 0 0 2 =(　　 )(Ａ) 1.　　 (Ｂ) - 1.　　 (Ｃ) 0 .　　 (Ｄ)± 1.2　 (义乌市第二次质量检测 )已知集合Ａ ={ｘ|(ｘ+1) 2 =ａｘ ,ｘ∈Ｒ} ,且Ａ Ｒ+ ,则实数ａ的取值范围是 (　　 )(Ａ) (0 ,+∞ ) . (Ｂ) (2 ,+∞ ) .(Ｃ) (4,+∞ ) . (Ｄ) (-∞ ,0 )∪ [4 ,+∞ ) .3　 (黄冈市 6月份质量检测 )已知集合Ａ ={ 1,2 ,3} ,Ｂ ={ - 1,0 ,1} ,满足条件 ｆ(3) =ｆ(1) +ｆ(2 )的映射 ｆ :Ａ→Ｂ的个数是 (　　 )(Ａ) 2 .　　　 (Ｂ) 4 .　　　 (…     

浅谈中学代数中代数运算概念的教学

代数运算是近代算学中一个很重要的概念。下面是它的一个定义(不是函数观点的定义): 令M是一个集合,这个集合至少含有一个元素。若是有一个确定的法则,通过它对于集合M中一对有次序的元素a与b,能够得到集合M的一个确定的元素c与之对应,那么这个法则叫做集合M的一个代数运算。     

一道课本习题的引申及其应用

题 :已知一个圆的直径的端点是Ａ (ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,求证 :圆的方程是(ｘ -ｘ1) (ｘ -ｘ2 ) + (ｙ -ｙ1) (ｙ -ｙ2 ) =0 .这是人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书 (试验本 )数学第二册 (上 ) (必修 )Ｐ82 第 3题 .把该题当结论应用 ,已有多文论及 ,本文将给出该题的推论和相应结论的应用 .推论　设直线ｌ∶Ｆ(ｘ ,ｙ) =0与二次曲线Ｇ(ｘ ,ｙ) =0交于不同的两点Ａ(ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,由Ｆ(ｘ ,ｙ) =0Ｇ(ｘ ,ｙ) =0 分别消去 ｙ ,ｘ得 ｆ(ｘ) =0 ,ｇ(ｙ) =0 ,并使 ｆ(ｘ) ,ｇ(ｙ)的二次项系数相等 ,则以ＡＢ为直径…     

求映射的个数问题分类导析

求映射的个数问题在前几年经常被选入各级各类竞赛试题中 ,随着当今高考试题变知识立意为能力立意 ,这类题目现在频频出现在全国各省市高考模拟试题中 ,多以选择题或填空题的形式出现 ,充当“小题把关”的重要角色 .这类问题极富思考性和挑战性 ,学生求解起来颇感困难 ,考试时经常弃而不答 ,令人惋惜 !下面笔者从全国部分省市高考模拟试卷中精选出八道典型例题并予以分类导析 ,旨在探索题型规律 ,总结解题方法 .1　一般映射的个数问题　求一般映射的个数问题主要依据是映射的定义 ,在 ｆ :Ａ→Ｂ中 ,集合Ａ中的元素在Ｂ中必有唯一的象 ,而Ｂ…