以线定位作二面角的平面角

求二面角时,通常要作其平面角,常用方法有:1)根据定义;2)通过三垂线定理;3)通过作棱的垂面,如图1.图1　三种方法示意图这三种方法是视已知点Ｐ的位置不同而出现的三种相应的作法.即当点Ｐ在二面角的棱上时,直接根据定义作出平面角;当点Ｐ在二面角的一个半平面内时,可利用三垂线定理作出平面角;当点Ｐ在二面角的二个半平面外时,通过作棱的垂面而作出平面角.其实质是平面角所在的平面是由点Ｐ来定位的(简称以点定位).有了这三种方法,问题似乎全部可解决.但在复杂的图形中,由于点的个数较多,以哪个点作为定位点就难以决定.即使点已选定,平面角…     

无棱二面角求解例析

无棱二面角是立体几何中一类典型问题,1 996和2 0 0 1年全国高考曾两度考过.有些同学由于作不出二面角的棱,从而找不到或作不出二面角的平面角.事实上,常见的无棱二面角主要有两类.以下分别加以例析,供同学们参考.1　找出与二面角的棱平行的已知直线,不必作出二面角的棱若图中两个平面已有一个公共点,依据公理2 ,直线∥平面(或平面∥平面)的性质定理,待求二面角的棱必过该公共点,且平行于已知图中的某一条(或多条)直线,此时,二面角的棱不必作出,只需依据已知直线确定出二面角的平面角.例1　如图1 ,四棱锥P -ABCD底面是正方形,PA⊥平面AB…     

求解二面角问题的基本方法

二面角问题因其需要充分运用立体几何第一章的线线、线面、面面关系 ,具有综合性强 ,灵活性大的特点 ,因此 ,一直成为高考、会考的热点 .求解二面角问题一般可分为直接法和间接法二大类 .1　直接法直接法就是根据已知条件 ,首先作出二面角的平面角 ,再求平面角大小的方法 ,求作二面角平面角的方法主要有 :①利用定义即在二面角α -ｌ- β的棱ｌ上任取一点 ,然后在两个半平面内分别作棱的垂线ａ ,ｂ ,则这两条垂线ａ ,ｂ所成的角即为二面角的平面角 .例 1　在三棱锥Ｐ-ＡＢＣ中 ,∠ＡＰＢ =∠ＢＰＣ=∠ＣＰＡ =6 0°,求二面角Ａ-ＰＢ-Ｃ的余…     

二面角的平面角计算的三个层次

中学立体几何中，二面角的平面角计算既是立几学习中的重点又是难点，也是历年高考命题的热点．二面角的平面角的计算关键是作出平面角，由于作平面角融会了立几中的四个重要定理：三垂线定理及逆定理，面面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理，且作平面角的方法多灵活性大，学生往往难以把握．笔者在教学中，引导学生按照以下三个层次进行学习，收到了较好的效果．１　三垂线定理作平面角此层次的平面角计算问题比较简单，直接利用三垂线定理即可作出平面角．这类问题的特征是已知线线角或线面角求平面角．例１　如图１，河堤斜面与水平面…     

二面角的平面角的一种作法

求二面角的大小是立体几何的重点和难点,也是多年来高考的热点之一．由三垂线定理作出二面角的平面角便是这一热点的中心;而对一些求二面角的复杂问题,学生往往不知所措;笔者根据多年的教学实践,提炼出一种由三垂线定理作二面角的平面角的简易方法——γ垂面法,收到较好效果．现简述如下： 如图１,记面ＭＡＢ为ａ,面ＣＡＢ为β,面ＭＡＣ为γ已知γ⊥β要作二面角 α－ＡＢ－β的平面角,只需过Ｍ点作ＭＮ⊥ＡＣ,Ｎ为垂足．则ＭＮ⊥β,再过Ｎ点作 ＮＯ⊥ＡＢ,Ｏ为垂足,由三垂线定理知：ＭＯ⊥ＡＢ,则ＭＯＮ即为所作的平面角． …     

多方位把握二面角的平面角的求作

二面角的平面角是立体几何中的一个重要内容 ,其求作方法 ,既是学习中的难点 ,也是高考命题的热点 ,其关键是如何根据所给空间图形正确找出二面角的平面角 .作二面角的平面角时 ,有一个最基本的要求 ,就是便于应用和计算 ,因此 ,二面角的平面角并不是随便作出的 ,必须在不同的条件下 ,选择适当的作法 .下面结合二面角的平面角的定义总结出二面角的平面角的七种常用作法 .1　二面角平面角的定义图 1　二面角及其平面角示意图从一条直线出发的两个半平面形成一个二面角 .如图 1,α -ｌ - β是一个二面角 ,在二面角的棱ｌ上取点Ｏ ,过Ｏ在半平…     

求无棱二面角的平面角的常用方法

倘若在给定的二面角中,没有出现二面角的棱,我们约定这类二面角为无棱二面角。求无棱二面角的大小较求有梭二面角的大小而言,有较为特殊的一些思考方法。本文拟对此作一简要概括,供教学中参考。1 直接法所谓直接法,就是通过作出二面角的棱,或借助一些特有的性质直接作出无棱二面角的平面角,由此     

二面角教学中值得探讨的一个问题

教材对二面角的平面角是这样定义的:“以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成角叫做二面角的平面角.”对于这个定义,众多的人认为是:当二面角α-l-β给定之后,定义规定的平面角大小是唯一确定的.与顶点在棱上的取法无关,如图1所示.笔者认为:这样的理解是不够深刻的.为什么要取射线OA、OB都垂直于棱?仅仅是为了保证平面角大小的唯一性吗?事实上,取射线OA、OB与棱l成任意定角θ1,θ2,θ1,θ2∈[0,2π],当二面角α-l-β确定之后,由等角定理容易证明,∠AOB的大小也是唯一确定的,如图2所示,…     

求二面角大小问题的“题眼”──选择好作平面角的一个点

求二面角大小问题的“题眼”──选择好作平面角的一个点５５６０００贵州省黔东南民族师范高等专科学校罗时健求二面角的大小，就是求它的平面角的大小．而求平面角的大小，一般包含三个环节；首先须在二面均上作出它的平面角，然后寻求一个以此平面角为内角的三角形，最...     

二面角计算公式的推广及应用

求二面角大小通常的方法是先作出二面角的平面角 ,把空间问题转化成平面问题加以解决 ,这是立体几何的一个难点 .而当二面角的棱没有事先给出的情形 ,要作出其平面角更显得困难 .为此 ,本文把一些常用的二面角计算公式作了推广 .这样 ,即可依据已知条件 ,无需作出平面角或添加辅助面 (线 ) ,直接确定其二面角的大小 .不难看到 ,采用这些公式对于解决某一类涉及二面角计算的问题相当见效 .设∠ＡＰＢ在平面Ｍ的一侧 ,顶点Ｐ在平面Ｍ上 ,边ＰＡ、ＰＢ与平面Ｍ所成角分别为α ,β(0 ≤α ,β <π2 ) ,在平面Ｍ上的射影分别为ＰＡ1 ,ＰＢ1 .平面…     

巧用公式tanθ=tanα/sinβ速解高考题

求二面角的大小是立几中的重点和难点 ,但有时苦于难作二面角的平面角 ,或平面角虽作出 ,但计算繁琐 .可以发现 ,利用下面的公式 ,常能摆脱上述的困境 .定理　如图 1 ,四面体 P - ABC中 ,PC⊥面 ABC,∠ PAC =α,∠ BAC =β,二面角P - AB - C的大小为θ,则tanθ =tanαsinβ.证明　作 PM⊥ AB于 M,连 CM,则∠ PMC =θ.∵　 tanα =PCAC,　 sinβ =MCAC,tanθ =PCMC,∴　 tanθ =tanαsinβ.应用上述公式求二面角的大小 ,不必作平面角 ,并且计算量少 ,从而使问题简捷解决 .下面以高考题为例说明公式的应用 .图 1　　　　　　…     

用射影法求二面角举例

求二面角的方法很多,其中射影法可以避免作棱及过棱上的点在两个半平面内作棱的垂线,因而有些求二面角问题运用此法事半功倍.下面是运用射影法的几个例子. 1.没有明确的棱所求的二面角的两个面在已给出的图形中没有公共点或只有一个公共点,即没有明确的棱.这时运用射影法既不需要作棱,也不需要作角.     

“无棱”二面角的棱的定位

求二面角大小一直是高考的一个热点,其中“无棱”二面角问题,可以利用面积射影法或空间向量法求解,也可作平面角直接求解．对“无棱”二面角,由于没有给出公共棱,欲作平面角,其关键是先得作公共棱,这历来是同学们解题的难点．本文就二面角的棱的确定问题作些探讨．1找公共点定位特别地,当题目中已经给出二个半平面有一个公共点时,可再另找一个公共点,二点相     

求二面角的几种常用方法

一、求二面岛的平面角的大小 因为二面角是用它的平面角来度量的,所以只要求出它的平面角的大小就行了。 例1.在棱长为口的正方体ABCD一A、B‘C‘D:中,求二面角B一A:C一D 的大小。滋一解1:如图,过B作 BE工A:C垂足为万,连 刀E。由三垂线定理知 A:C土BD,…A:C土平面 刀ED,.’.A:C_上ED,乙┌─────┐│喻 ││‘一‘甘\ │└─────┘BE刀是二面角B一A:C一D的平角。两直角三角形么A:石C“△B五C,B万·A‘C二A iB .BC,︸‘Ul产一no.’。BE二A rB·BC A一C了)一a连EO,由O刀二易证E刀二五刀,誓二得乙BE口二6。’:…     

二面角的平面角的教学体会

根据本人关于二面角的教学实践体会到,从引入二面角的平面角开始,到以后各阶段的应用习题课,由浅入深地逐步强化以下三个方面的内容,将会有利于克服这一教学难点。一剖析定义,紧扣基本概念教材中给出二面角的平面角的定义:“以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角”。在讲授定义概念课和应用习题课时,结合实例进行剖析,要使学生明确定义包含以下两点: 1.平面角的二边,即两条射线分别在两个面上与棱垂直(不妨简称为“垂边”)。正确作出或判断二“垂边”是作出平面角的关     

二面角的平面角的作法

寻找二面角的平面角是解决二面角问题的关键 .本文就寻找二面角的平面角的一些常用方法进行归纳总结 .一准确应用定义定义是解决问题的有力工具 .例 1　如图 1,在△ABC中 ,AD⊥BC于D ,E是线段AD上一点 ,且AE =12 ED .过E作MN∥BC且MN交AB于M ,交AC于N ,以MN为棱将△AMN折成二面角A1 -MN-D ,设此二面角为α(0 <α <π) ,连A1 B、A1 D、A1 C ,求△A1 MN与△A1 BC所成二面角的大小 .图 1图 2分析　这是一个折叠图形问题 .需要充分在平面几何图形中寻找垂直、平行关系 .不难发现在折后图 2中 ,由于A1 E与MN、ED与MN的关…     

立体几何“二面角的平面角”的教学中：“三垂线定理法”的探讨

立体几何教学中有关二面角的大小的计算问题,是立体几何教学中的重点内容之一,也是难点之一.怎样准确而迅速的作出二面角的平面角,是解决问题的关键,如果只想到利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱上任取一点作出二面角的平面角,往往会陷入困境,究其原     

高考复习课堂实录

课题:二面角的求法适用年级:高三年级学期:2006-2007学年度第一学期要点提示以二面角棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做这个二面角的平面角．根．据二面角的定义,二面角有以下求法: 1．作棱的垂面．过棱上任意一点,作出棱的垂直平面,分别与两个面相交于两条射线,此两条射线所成的角即为所求二面角的平面角．若已知二面角的两个面是两个特殊的三角形(如以棱为公共底边的两个等腰三角形或全等三角形)．这时,可以选取棱上的特殊点,如公共底边的中心或公共底边上高的垂足,从特殊点出发根据定义作出二面角的平面角．     

对三种空间角的统一认识

<正>二面角的平面角可以转化为两异面直线所成角(或补角),也可转化为线面角(或补角),三种空间角其实质是统一的.具体认识视角如下:(1)二面角α-l-β的平面角:在棱l上取一点O,然后在两个半平面内分别作过棱l上O点垂线OA、OB,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.     

棱没有给出时二面角大小的求法

求二面角的大小是立体几何中的一个难点,难就难在如何作出二面角的平面角。如果二面角的棱没有给出,其难度会增加许多。本文介绍这类问题的几种求法。1 平移或延长(展)线(面)法 将图形中某些线段或平面进行平移或延