综合题新编

题 2 4　已知平行四边形ＡＢＣＤ ,Ａ (-2 ,0 ) ,Ｂ(2 ,0 ) .且 |ＡＤ| =2 .1)求平行四边形ＡＢＣＤ对角线交点Ｅ的轨迹方程 .2 )过Ａ作直线交以Ａ ,Ｂ为焦点的椭圆于Ｍ ,Ｎ两点 .且 |ＭＮ| =832 ,ＭＮ的中点到ｙ轴的距离为 43,求椭圆的方程 .3)与Ｅ点轨迹相切的直线ｌ交椭圆于Ｐ ,Ｑ两点 .求 |ＰＱ|的最大值及此时ｌ的方程 .解　 1)设Ｅ(ｘ ,ｙ) ,连ＯＥ ,则ＯＥ 　∥=12 ·ＡＤ .∴ |ＯＥ| =1.∴ｘ2 ｙ2 =1(ｙ≠ 0 ) .2 )由圆锥曲线的统一定义可知 :|ＭＡ|=ａ ｅｘ1,|ＮＡ| =ａ ｅｘ2 .∴ |ＭＮ| =2ａ ｅ(ｘ1 ｘ2 ) =832 .∵ｃ=2 ,∴…     

关于圆锥曲线的一类轨迹

文[1]给出了圆锥曲线与等差数列的一个性质,文[2]给出了圆锥曲线与等比数列的一个性质,本文给出圆锥曲线的一类轨迹问题,其中|OA|,|OB|,|OP|构成以|OP|为斜边的直角三角形的三边长.图1定理1图定理1设椭圆C1:xa22 yb22=1(a>b>0),椭圆C2:mx22 ny22=1(m>n>0),过原点O引射线分别交C1,C2于A,B两点,P为射线上的一点,则|OA2| |OB|2=|OP|2的充要条件是P点的轨迹为C3:1x2a2 by22 mx221 yn22=1.证设直线AB的参数方程为:x=tcosθ,y=tsinθ,其中θ(0≤θ≤π)为直线AB的倾斜角,t为参数,|t|的几何意义为原点O到直线上相应的距离(下同).设A,B…     

一组有趣的圆锥曲线轨迹方程

文[1]的结论令人赏心悦目,颇有趣味,现将该文中条件“|OA|2 |OB|2=|OP|2”改成“1/|OA|2 1/|OB|2=1/|OP|2”与“|OP|2=|OA||OB|”之后,结论同样喜人.定理1设椭圆C1:Ax2 By2=1(0相似文献   

关于"圆锥曲线的一类定值问题"的再探讨

文 [1 ]证明了如下三个结论 :结论 1　已知抛物线ｘ2 =-2ｐ(ｙ-ｂ)上一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,过Ｐ作倾斜角互补的两条直线ＰＭ ,ＰＮ分别与抛物线交于异于Ｐ的两点Ｍ ,Ｎ ,则直线ＭＮ的斜率为定值ｘ0Ｐ.结论 2　已知椭圆ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1上一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,过Ｐ作倾斜角互补的两条直线ＰＭ ,ＰＮ分别与椭圆交于异于Ｐ的两点Ｍ ,Ｎ ,则直线ＭＮ的斜率为定值ｂ2 ｘ0ａ2 ｙ0.结论 3　已知双曲线 ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1上一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,过Ｐ作倾斜角互补的两条直线ＰＭ ,ＰＮ分别与双曲线交于异于Ｐ的两点Ｍ ,Ｎ ,则直线ＭＮ的斜率为定值 -ｂ2 …     

综合题新编选登

题 3 5　 三角形ＡＢＣ中 ,三内角为Ａ ,Ｂ ,Ｃ ,复数ｚ =52 ｓｉｎＡ +Ｂ2 +ｉｃｏｓ Ａ -Ｂ2 ,|ｚ| =324 .1)求ｔａｎＡ·ｔａｎＢ的值 ;2 )当Ｃ取最大值时 ,存在动点Ｍ使 |ＭＡ| ,|ＡＢ| ,|ＭＢ|成等差数列 .试通过建立适当的坐标系 ,求|ＭＣ||ＡＢ| 的最大值 .解　 1) |ｚ| 2 =52 ｓｉｎ Ａ +Ｂ22 +ｃｏｓ2 Ａ -Ｂ2 =98,即 10ｓｉｎ2 Ａ +Ｂ2 + 8ｃｏｓ2 Ａ -Ｂ2 =9,10·1-ｃｏｓ(Ａ +Ｂ)2 + 8·1+ｃｏｓ(Ａ -Ｂ)2 =9,∴ 4ｃｏｓ(Ａ -Ｂ) - 5ｃｏｓ(Ａ +Ｂ) =0 ,4ｃｏｓＡｃｏｓＢ + 4ｓｉｎＡｓｉｎＢ -5ｃｏｓＡｃｏｓＢ + 5ｓｉｎＡ…     

新题征展(66)

A题组新编1.已知⊙C:(x+3)2+y2=R2(R>0)和⊙D:(x-3)2+y2=1,动圆M与⊙C,⊙D均相切,圆心M的轨迹为E.(1)当R=1时,E的方程是;(2)当R=3时,E的方程是;(3)当R=5时,E的方程是;(4)当R=7时,E的方程是;(5)当R=9时,E的方程是.2.已知:椭圆:x225+y216=1,F1、F2分别为左、右焦点,点A(1,m),点P为椭圆上动点.(1)当m=5时,|PA|+|PF2|的最小值是;(2)当m=1时,|PA|+53|PF2|的最小值是;(3)当m=1时,|PA|+|PF2|的最小值是.3.△ABC中,三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(-1,2),C(1,0),点P(x,y)在△ABC内部及边界运动,(1)z=ax-y取最小值的唯一最优解是(-1…     

一动点到两定点距离的和、差、积、商问题的系列探讨

<正>一、问题提出我们已知道:一动点M到两定点F_1、F_2距离之和|MF_1|+|MF_2|=2a(a>0).若2a=|F_1F_2|,则动点轨迹M为线段F_1F_2,若2a>|F_1F_2|,则动点轨迹为一个椭圆.一动点M到两定点F_1、F_2距离之差的绝对值||MF_1|-|MF_2||=2a(a>0).若2a=|F_1F_2|,则动点轨迹M为两条射线,若2a<|F_1F_2|,则动点轨迹为双曲线.一动点M到两定点F_1、F_2距离之积     

使用一高考试题的体会

恢复高考已经二十五年 ,二十五年来高考命题工作处在不断改革发展中 ,取得了社会公认的成绩 .笔者在实践中深切的体会到当今数学考题的一个显著特点———部分试题思维入手易 ,而完成全题难 ,即柔中带钢 .现通过使用的一个高考试图 1题揭示这一特点 .题目 (2 0 0 0年春季北京、安徽高考试题 )如图 1 ,设Ａ和Ｂ为抛物线ｙ2 =4ｐｘ(ｐ >0 )上原点以外的两个动点 ,已知ＯＡ ⊥ＯＢ ,ＯＭ ⊥ＡＢ ,求点Ｍ的轨迹方程 ,并说明它表示什么曲线 .1　解题受阻情况展示思路 1　分别写出直线ＡＢ、ＯＭ的方程 ,消去有关参变量得轨迹方程 ,学生感觉入手易…     

一道椭圆错例引发的思考

在椭圆教学中,我们曾选用北京四中高中数学讲义《解析几何》Ｐ141例6.即例题　已知Ｆ1,Ｆ2是椭圆ｘ2100 ｙ264=1的两个焦点,Ｐ是椭圆上一点,且∠Ｆ1ＰＦ2=23π,求△Ｆ1ＰＦ2的面积.图1　例题图解　设|ＰＦ1|=ｍ,|ＰＦ2|=ｎ.∵Ｓ△Ｆ1ＰＦ2=12ｍｎｓｉｎ23π=34ｍｎ,∴欲求Ｓ△Ｆ1ＰＦ2,只需求出ｍｎ的值.　　由已知椭圆方程ｘ2100 ｙ264=1,知ａ=10,ｂ=8,ｃ=6,ｍ ｎ=2ａ=20,ｍ2 ｎ2-2ｍｎｃｏｓ23π=|Ｆ1Ｆ2|2=4ｃ2=144.即　(ｍ ｎ)2=400,ｍ2 ｎ2 ｍｎ=144.∴ｍｎ=256,从而Ｓ△Ｆ1ＰＦ2=34×256=643.分析上面的解法过程确无疏漏之处,但是椭圆…     

综合题新编选登

题 1 1　已知复数 -4 ,4,ｚ0 分别对应复平面内的点Ａ ,Ｂ ,Ｃ ,ｚ0 不在实轴上 ,|ｚ0 |=8.1 )求△ＡＢＣ的外接圆圆心Ｍ的轨迹Ｃ ;2 )若Ｎ是圆 (ｘ -4 ) 2 ( ｙ -ｂ) 2 =4上的动点 ,求 |ＭＮ|ｍｉｎ=ｆ(ｂ)的最大值 ;3 )若二次方程 2ｘ2 ( 2ｍ 4 )ｘ ｍ2 4=0有实根 ,且抛物线 ( ｙ-ｎ) 2 =92 (ｘ ｍ)与轨迹Ｃ有两个不同的交点 ,求实数ｎ的取值范围 .解　 1 )设ｚ0 =ｘ0 ｙ0 ｉ (ｘ0 ,ｙ0 ∈Ｒ) ,则ＡＣ的中点坐标为 ( ｘ0 -42 ,ｙ02 ) ,∴ＡＣ边的中垂线方程为ｙ-ｙ02 =-ｘ0 4ｙ0(ｘ -ｘ0 -42 ) ( 1 )又ＡＢ边的中垂线方程为ｘ =0 …     

对高考数学浙江卷理17题(文19题)的探析

由传统题改编而成的数学高考试题,在历年的高考试题中屡见不鲜.今年高考浙江卷中的理17题(文19题)的第2小题就是这一类型的试题,下面我们对此题作一些探讨,以期对大家有所帮助.浙江卷中的理17题(文19题)的第2小题如下:图1题1图题1如图1,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F1F2在x轴上,长轴A1A2的长为4,左准线l与x轴的交点为M,|MA1|∶|A1F1|=2∶1.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若直线l1∶x=m(|m|>1),P为l1上的动点,使∠F1PF2最大的点P记为Q,求点Q的坐标(用m表示).1题源探析1986年全国高等学校统一招生考试理工类数学第五题如下:图2题2图题2在y轴…     

圆锥曲线中的一个距离问题

设抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ ,椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1和双曲线ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1,Ｍ (ｘ ,ｙ)是曲线上的动点 ,Ａ(ｎ ,0 )是它们过焦点的一条对称轴上的一定点 ,求 |ＭＡ |的最小值是圆锥曲线教学中常遇到的一个问题 ,也是用方程根的判别式难以解决的问题 .本文以它们统一的极坐标方程对其加以研究 .设焦点Ｆ为极点 ,Ｆｘ为极轴 .Ｍ(ρ ,θ) (ρ >0 ) ,则极坐标方程为 ρ =ｅｐ1-ｅｃｏｓθ.为方便运算 ,以Ｆ点为新原点 ,相应的直角坐标系ｘ′Ｆ ｙ′里 ,Ｍ点坐标为Ｍ(ｘ′ ,ｙ′) .图 1　二次曲线如图 1,极坐标系下Ａ点坐标设为Ａ (ｍ ,0 ) ,…     

由圆生成三种圆锥曲线

众所周知 ,三种圆锥曲线 (椭圆、双曲线、抛物线 )可以看成是平面内到定点和到定直线的距离之比为正常数e的动点轨迹 :当 0 1时为双曲线 ,有趣的是 ,在圆中 ,我们也可以通过适合某种条件的动点的轨迹来生成这三种圆锥曲线 ,有如下一个结论 .定理　给定圆O :x2 +y2 =r2 (r >0 ) ,A (a ,0 ) ,B (b ,0 ) (b≠0 ,b≠a)是x轴上的两个定点 ,P是圆O上的一个动点 ,Q是P在y轴上的射影 ,直线AP与BQ的交点为M ,则点M的轨迹 :( 1 )当 |a-b| =r时为抛物线 ;( 2 )当 |a -b| >r且b≠a2 -r22a 时为椭圆 ,当b =a…     

圆锥曲线定义与范围联用事半功倍

高级中学试验修订本数学第二册 (上 )第八章介绍了圆锥曲线的定义和范围 ,在解决有关问题时 ,若能灵活运用它们 ,则可事半功倍 .例 1　 ( 1 998年希望杯赛题 )Ｅ ,Ｆ是椭圆ｘ24 + ｙ2 =1的左 ,右焦点 ,Ｐ是椭圆上的动点 ,则 |ＰＥ|·|ＰＦ|的最小值是 .解　由椭圆第二定义知 |ＰＥ|·|ＰＦ| =ｅ| ａ2ｃ-ｘＰ|·ｅ| ａ2ｃ+ｘＰ| =|ａ -ｅｘＰ|·|ａ +ｅｘＰ| =|ａ2 -ｅ2 ｘＰ2 | =| 4- 34ｘ2 Ｐ| .由椭圆范围知ｘ2 Ｐ≤ａ2 =4 .∴ |ＰＥ|·|ＰＦ|ｍｉｎ =| 4- 34·4 | =1 .例 2　 ( 2 0 0 2年全国高考题 )点Ｐ( 1 ,0 )到曲线 ｘ =ｔ2ｙ =2ｔ(…     

负侧相加正侧减 异侧取正同侧负

应用焦半径解题 ,在高考中屡见不鲜 ,怎样又快又准地写出焦半径公式呢 ?笔者在教学中总结其方法如下 :设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )上的任意一点 ,Ｆ1(-ｃ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ,0 )是焦点 ,易知椭圆的焦半径公式是 |ＰＦ1| =ａ +ｅｘ0 ,|ＰＦ2 | =ａ -ｅｘ0 .设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是双曲线 ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1(ａ >0 ,ｂ >0 )上的任意一点 ,Ｆ1(-ｃ ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ ,0 )是焦点 ,易知双曲线的焦半径公式是 |ＰＦ1| =|ａ +ｅｘ0 | ,|ＰＦ2 | =|ａ -ｅｘ0 | .椭圆和双曲线的焦半径公式均是 :当焦点Ｆ1在负半轴上时 ,公式为“ａ +ｅ…     

一道椭圆试题的研究

1一道试题及疑问如图1,已知A,B,C是长轴长为4的椭圆上的三点,点A是长轴的一个端点,BC过椭圆中心O,且AC·BC=0,|BC|=2|AC|,(1)建立适当的坐标系,求椭圆方程;(2)如果椭圆上有两点P,Q,使∠PCQ的平分线垂直于AO,证明:存在实数λ,使PQ=λAB.该题的解答如下:(1)以O为原点,OA为x轴建立直角坐标系,如图2,设椭圆方程为x42 by22=1.由条件易知△AOC为等腰三角形,C(1,1),B(-1,-1),将C点坐标代入椭圆方程得b2=34,故椭圆方程为x42 34y2=1;(2)由于∠PCQ的平分线垂直于AO,设PC的斜率为k,则QC的斜率为-k,因此PC,QC的直线方程分别为y=k(x-…     

巧用圆锥曲线的定义求动点轨迹方程

在解析几何教学中 ,求动点的轨迹方程历来是教学重要专题之一 ,而椭圆曲线的两种定义又是研究圆锥曲线各种性质的基本出发点 ,如果在求动点的轨迹方程中充分利用圆锥曲线定义 ,常常会达到言简意明、异曲同工的效果 .下面就其运用作一些举例介绍 ,以飨读者 .1　运用第一定义求动点轨迹方程例 1　如图 1,已知椭圆 x2a2 + y2b2 =1(a >b >0 ) ,点P为其上一点 ,F1,F2 为椭圆的焦点 ,∠F1PF2的外角平分线为l,点F2 关于l的对称点为Q ,F2 Q交l于R ,当P在椭圆上运动时 ,求动点R的轨迹方程 .解　∵l为∠F1PF2 的外角平分线 ,且F2 ,Q两点关于l…     

对一道课本习题的探讨所得

高中平面解析几何必修课本的几种版本的总复习题都有这样的一道题 :证明 :等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项 .教参给其提供了两种解法 ,这里再介绍两种解法 .解法 1　设等轴双曲线方程为 x2 - y2 =a2 ,则离心率 e =2 ,P( x,y)为其上任一点 ,F1、F2 为左右焦点 ,O为坐标原点 ,| PF1| =r1,| PF2 | =r2 ,由双曲线的焦半径知 :r1.r2 =| a ex| .| a - ex|　 =| a2 - ex2 | =| a2 - 2 x2 |　 =| x2 - y2 - 2 x2 | =| - x2 - y2 |　 =x2 y2 =| OP| 2 .图 1解法 2　如图 1 ,由高中解几课本 P6例 2 (或叫三…     

新题征展(63)

A　题组新编1 .( 1 )动点 M( x,y)满足( x - sinα) 2 + ( y - cosα) 2 =| xsinα+ ycosα- 1 | ,判断动点 M的轨迹类型 ;( 2 )动点 M( x,y)满足( x - sinα) 2 + ( y - cosα) 2 =| xsinα+ ycosα- 2 | ,判断动点 M的轨迹类型 ;( 3)动点 M( x,y)满足( x - sinα) 2 + ( y - cosα) 2 =2 | xsinα+ ycosα- 2 | ,判断动点 M的轨迹类型 ;( 4 )动点 M( x,y)满足2 ( x - sinα) 2 + ( y - cosα) 2 =| xsinα+ ycosα- 2 | ,判断动点 M的轨迹类型 .2 .( 1 )过点 P( 1 ,2 )的直线与 x、y轴的正半轴分别交于点 A、B,试求 S△ AOB 的最小…     

圆锥曲线上的点对焦点张角的性质

本文介绍椭圆或双曲线上的点对焦点的张角的一个性质 ,将它们用之解题是比较方便的 .定理 1　点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ>0 )上的点 ,Ｆ1(-ｃ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ,0 )是左、右焦点 ,则有1)∠Ｆ1ＰＦ2 是直角的充要条件是ｘ20 =ｃ4 -ｂ4ｃ2 ;2 )∠Ｆ1ＰＦ2 是锐角的充要条件是ｘ20 >ｃ4 -ｂ4ｃ2 ;3)∠Ｆ1ＰＦ2 是钝角的充要条件是ｘ20 <ｃ4 -ｂ4ｃ2 .证　在△Ｆ1ＰＦ2 中 ,|ＰＦ1|=ａ ｅｘ0 ,|ＰＦ2 |=ａ -ｅｘ0 ,ｃｏｓ∠Ｆ1ＰＦ2 =|ＰＦ1|2 |ＰＦ2 |2 - |Ｆ1Ｆ2 |22 |ＰＦ1||ＰＦ2 |,1)∠Ｆ1ＰＦ2 是直角 |ＰＦ1|2 |Ｐ…