用割补法求解析几何中图形面积的尝试

解析几何中 ,由于二次曲线的方程皆为二次方程 ,在涉及到与它们有关的面积问题时 ,如果采用常规思路 ,即求边长 ,求高 ,往往运算量较大 .如果运用我们熟知的面积割补法来处理 ,有时会收到事半功倍的效果 .例 1　如果Ｃ是椭圆ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1上第一象限内的任一点 ,Ａ ,Ｂ分别是椭圆与ｘ轴 ,ｙ轴正半轴的交点 ,求Ｓ△ＡＢＣ的最大值 .图 1　例 1解答用图简析 :此题有多种解法 ,如因为ＡＢ之长是定值 ,只需求出Ｃ到ＡＢ之距的最大值 ,设出Ｃ的参数坐标 (ａｃｏｓα ,ｂｓｉｎα) ,利用点到直线的距离公式将其转化为一个函数问题 .还可利用…     

圆锥曲线中的常用方法

高考中 ,圆锥曲线解答题常作为把关题或压轴题 .定义法、待定系数法、参数法是解圆锥曲线题中不可忽视的三种方法 ,要努力提高应用这三种方法解决圆锥曲线问题的意识和能力 .1　定义法例 1　△ＡＢＣ的三边ａ >ｂ>ｃ成等差数列 ,Ａ ,Ｃ两点的坐标分别是 (- 1,0 ) ,(1,0 ) ,求顶点Ｂ的轨迹 .解　设Ｂ点的坐标为 (ｘ ,ｙ) .∵ａ ,ｂ ,ｃ成等差数列 .∴ａ +ｃ=2ｂ ,即 |ＢＣ|+|ＢＡ|=2 |ＡＣ|.∴ |ＢＣ|+|ＢＡ|=4 .根据椭圆的定义易知 ,点Ｂ的轨迹方程为ｘ24 +ｙ23=1.又∵ａ >ｂ >ｃ ,∴ａ >ｃ　即 |ＢＣ|>|ＡＢ|,∴ (ｘ - 1) 2 +ｙ2 >(ｘ +1) …     

新教材中一道练习题的变式与引申

高二数学新教材Ｐ96 ,第 4题如下 :△ＡＢＣ的两个顶点Ａ ,Ｂ的坐标分别是 (- 6 ,0 ) ,(6 ,0 ) ,边ＡＣ ,ＢＣ所在直线的斜率乘积等于- 49,求顶点Ｃ的轨迹方程 .解　依曲线方程的建立过程 ,设顶点Ｃ(ｘ ,ｙ) ,则ｋＣＡ·ｋＣＢ=- 49,即ｙｘ + 6 · ｙｘ - 6 =- 49.整理得 :ｘ236 + ｙ216 =1(ｘ≠ 0 ) .变式 1　若边ＡＣ ,ＢＣ所在直线的斜率乘积改为 49,则得Ｃ点的轨迹方程为ｘ236 - ｙ216 =1(ｘ≠ 0 ) .变式 2　若两个顶点Ａ ,Ｂ的坐标分别是 (ａ ,0 ) ,(-ａ ,0 ) ,边ＡＣ ,ＢＣ所在直线的斜率乘积等于- ｂ2ａ2 (ａ >ｂ) .解法同理可得 :ｙ…     

几何问题的动态演变

1999年高考压轴题:给出定点Ａ(ａ,0)(ａ>0)和直线ｌ:ｘ=-1,Ｂ是直线ｌ上的动点,∠ＢＯＡ的角平分线交ＡＢ于点Ｃ.求点Ｃ的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与ａ值的关系(以下简称考题).我们利用《几何画板》软件,按题意作出轨迹,再拖动其中的有关定点、定直线,得到了很有意思的结果(受篇幅的限制,本文所有结论省去了推导和证明).1　扩大参数ａ的范围参数ａ(ａ∈Ｒ)的范围扩大后,Ｃ点的轨迹方程仍为:(1-ａ)ｘ2-2ａｘ (1 ａ)ｙ2=0(1)图1　曲线变化图　　拖动点Ａ在ｘ轴上移动,曲线随Ａ点的不断移动而变化,如图1,除考题中三种曲线(如图中的Ｃ…     

错用圆锥曲线定义解题例析

圆锥曲线定义是圆锥曲线的核心和灵魂 .用定义解题不仅能深化对圆锥曲线的理解 ,更能起到简捷、快速之功效 .本文就学生中易出现的差错加以归纳 ,以期找出问题的症结所在 ,避免类似错误发生 .　　一、概念模糊致误图 1例 1　在△ＡＢＣ中设ＢＣ =ｍ ,顶点Ａ满足ｓｉｎＢ -ｓｉｎＣ =45 ｓｉｎＡ ,求顶点Ａ的轨迹方程 .错解　如图 1 ,以ＢＣ所在直线为ｘ轴 ,ＢＣ中点为原点建立直角坐标系 ,由ｓｉｎＢ -ｓｉｎＣ =45 ｓｉｎＡ及正弦定理有|ＡＣ| -|ＡＢ| =45 ｍ .可知点Ａ的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点的双曲线 .由 2ａ =45 ｍ ,2ｃ =ｍ ,得ａ =25 …     

谈轨迹的堵“漏“去“杂“

轨迹概念包含完备性与纯粹性两方面的要求．怎样才能使所求轨迹满足完备性与纯粹性,一直是中学数学教学的难点．这里,笔者就求轨迹过程中堵“漏”去“杂”谈点体会．１ 找等量关系,应推敲是否与动点运 动规律相符 用几何等量关系表示动点的运动规律,是直接法求轨迹的首要任务．若几何等量关系不能准确反映动点的运动规律,则常常造成轨迹“漏”“杂”． 例 １ 已知 Ａ（一 ７,０）、Ｂ（７,０）、Ｃ（２,－１２）,双曲线经过Ａ、Ｂ两点,且以Ｃ为它的一个焦点,试求此双曲线的另一个焦点的轨迹方程． 该题为《中学生学习报》第７０…     

“立体几何”与“解析几何”综合题举隅

在复习教学中 ,教师有意加强数学学科内综合题的解题训练 ,对于学生创新意识和实践能力的培养 ,对于学生适应高考改革的需要是非常必要的 .笔者仅就“立体几何”与“解析几何”的综合 ,略举几例供参考 .1　以空间图形为背景的轨迹问题例 1　设两异面直线ａ、ｂ成 60°角 ,它们的公垂线ＥＦ长为 2 ,今以长为 4的线段ＡＢ两端Ａ、Ｂ分别在ａ、ｂ上运动 ,试求ＡＢ中点Ｐ的轨迹 .解　如图 1(甲 ) ,作ＥＦ的中垂面α ,设α交ＥＦ于Ｏ ,易知Ｐ∈α且易得ＡＢ在α内的射影｜ＣＤ｜=2 3 ,∠ＣＯＤ =60° ,在α内以Ｏ为原点 ,∠ＣＯＤ的平分线为ｘ轴…     

综合题新编选登

题 1 1　已知复数 -4 ,4,ｚ0 分别对应复平面内的点Ａ ,Ｂ ,Ｃ ,ｚ0 不在实轴上 ,|ｚ0 |=8.1 )求△ＡＢＣ的外接圆圆心Ｍ的轨迹Ｃ ;2 )若Ｎ是圆 (ｘ -4 ) 2 ( ｙ -ｂ) 2 =4上的动点 ,求 |ＭＮ|ｍｉｎ=ｆ(ｂ)的最大值 ;3 )若二次方程 2ｘ2 ( 2ｍ 4 )ｘ ｍ2 4=0有实根 ,且抛物线 ( ｙ-ｎ) 2 =92 (ｘ ｍ)与轨迹Ｃ有两个不同的交点 ,求实数ｎ的取值范围 .解　 1 )设ｚ0 =ｘ0 ｙ0 ｉ (ｘ0 ,ｙ0 ∈Ｒ) ,则ＡＣ的中点坐标为 ( ｘ0 -42 ,ｙ02 ) ,∴ＡＣ边的中垂线方程为ｙ-ｙ02 =-ｘ0 4ｙ0(ｘ -ｘ0 -42 ) ( 1 )又ＡＢ边的中垂线方程为ｘ =0 …     

直线与圆

直线与圆是解析几何中最简单而变化丰富、应用广泛的内容之一 ,同时也是应用解析法解决平面几何问题的基础 .本讲主要突出如下三个问题 :1)直线和圆的方程 .2 )直线与直线、直线与圆的位置关系 .3)直线系与圆系的方程 .例 1　 (第 10届希望杯邀请赛试题 )过点Ｐ(6 ,8)作两条互相垂直的直线ＰＡ、ＰＢ ,分别交ｘ轴正半轴于Ａ ,ｙ轴正半轴于Ｂ .1)求线段ＡＢ中点的轨迹 ;2 )若Ｓ△ＡＯＢ=Ｓ△ＡＰＢ,求ＰＡ与ＰＢ所在直线的方程 .讲解　对于第 1)小题 ,常见的思路有两种 :一是利用ｋＰＡ·ｋＰＢ=- 1建立线段ＡＢ中点的轨迹方程 ;二是引入斜率…     

抛物线内接等腰三角形的一个性质

抛物线ｙ =ａｘ2 +ｂｘ+ｃ如果与ｘ轴有两个交点 ,以这两点及与ｙ轴交点为顶点的三角形是等腰三角形的充分必要条件是ｂ =0或者ｂ2 =ａｃ(ａｃ+3 ) 2ａｃ+2 .下面加以分析 :(1 )不难证明当ｂ=0时 ,△ＡＢＣ为等腰三角形 (ＡＣ =ＢＣ) .当ＡＣ =ＢＣ时 ,ｂ=0 .图 2图 1(2 )如图 2 ,设Ａ(ｘ1 ,0 ) ,Ｂ(ｘ2 ,0 ) .Ｃ点坐标为 (0 ,ｃ) .因此　ｘ1 =-ｂ- ｂ2 - 4ａｃ2ａ ,ｘ2 =-ｂ +ｂ2 - 4ａｃ2ａ .又∠ＢＯＣ =90°由勾股定理知ＢＣ2 =ＯＢ2 +ＯＣ2= -ｂ+ｂ2 - 4ａｃ2ａ2 +ｃ2 而ＡＢ=ｂ2 - 4ａｃａ(这里以ａ>0为例 ) .当ＡＢ =ＢＣ时 ,则ｂ2 -…     

几何教学中应注重图形性质的发掘

数学课堂教学常以解题教学为主要形式 ,以培养学生思维能力为核心开展活动 .因此 ,解题教学中如何根据题设中已知的显式条件 ,挖掘其隐式条件(如几何性质等 )是解决问题的关键 .特别是在解析几何中 ,题设条件所表示的几何图形的内在特征和性质 ,若不能得到充分的运用 ,则问题解决起来往往较为复杂 .相反 ,问题解决得简洁流畅 ,从而可迅速地得出结论 .下面举例谈谈本人在解析几何教学中的一点体会 .例 1　点Ｃ(ａ ,ｂ)是定点 (ａｂ≠ 0 ) ,过Ｃ作两条互相垂直的直线ＣＡ交ｘ轴于Ａ ,ＣＢ交ｙ轴于Ｂ ,连ＡＢ ,Ｍ是ＡＢ的中点 . 1)求点Ｍ的轨迹…     

综合题新编

题 2 4　已知平行四边形ＡＢＣＤ ,Ａ (-2 ,0 ) ,Ｂ(2 ,0 ) .且 |ＡＤ| =2 .1)求平行四边形ＡＢＣＤ对角线交点Ｅ的轨迹方程 .2 )过Ａ作直线交以Ａ ,Ｂ为焦点的椭圆于Ｍ ,Ｎ两点 .且 |ＭＮ| =832 ,ＭＮ的中点到ｙ轴的距离为 43,求椭圆的方程 .3)与Ｅ点轨迹相切的直线ｌ交椭圆于Ｐ ,Ｑ两点 .求 |ＰＱ|的最大值及此时ｌ的方程 .解　 1)设Ｅ(ｘ ,ｙ) ,连ＯＥ ,则ＯＥ 　∥=12 ·ＡＤ .∴ |ＯＥ| =1.∴ｘ2 ｙ2 =1(ｙ≠ 0 ) .2 )由圆锥曲线的统一定义可知 :|ＭＡ|=ａ ｅｘ1,|ＮＡ| =ａ ｅｘ2 .∴ |ＭＮ| =2ａ ｅ(ｘ1 ｘ2 ) =832 .∵ｃ=2 ,∴…     

平面向量

一、选择题1.已知点Ｃ在线段ＡＢ的延长线上 ,2 |ＢＣ| =|ＡＢ| ,ＢＣ =λＣＡ ,则λ =(　　 )(Ａ) 3.　 (Ｂ) 13.　 (Ｃ) - 3.　 (Ｄ) - 13.2 .已知 |ａ→| =2 ,|ｂ→| =3,|ａ→ -ｂ→| =7,则ａ→ 与ｂ→的夹角为 (　　 )(Ａ) π6 .　 (Ｂ) π3.　 (Ｃ) π4 .　 (Ｄ) π2 .3.非零向量ａ→ 与ｂ→不共线 ,则ａ→ +ｂ→ ⊥ａ→ -ｂ→ 是 |ａ→|=|ｂ→|的 (　　 )(Ａ)充分不必要条件 .　 (Ｂ)必要不充分条件 .(Ｃ)充要条件 .　　 (Ｄ)不充分也不必要条件 .4 .设ｉ,ｊ是平面直角坐标系内ｘ轴、ｙ轴正方向的两个单位向量 ,且ＡＢ =4ｉ - 2 ｊ,Ａ…     

等腰梯形的一个优美特性

如果称椭圆ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1与双曲线 ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2=1为一对等轴圆锥曲线 ,那么 ,笔者经研究发现 ,等腰梯形具有下面的优美性质 :定理　等腰梯形底上的两对顶点在一对等轴圆锥曲线上 ,且其对角线的交点为等轴圆锥曲线的一个公共顶点 .证明　如图 ,设梯形ＡＢＣＤ的两腰与两条对角线分别相交于点Ｅ、Ｆ ,以ＥＦ中点为原点 ,ＥＦ所在直线为ｘ轴建立直角坐标系 ,则Ａ与Ｂ、Ｃ与Ｄ均关于ｘ轴对称设经过点Ａ ,Ｅ ,Ｂ ,Ｆ的椭圆方程为ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 ) ,Ａ (ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ｂ(ｘ1 ,-ｙ1 ) ,由Ｆ(ａ ,0 ) ,Ｅ(-ａ ,0 )得直线ＢＤ、…     

课外练习

高一年级1.在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =2 0° ,ＡＢ =ＡＣ =ｂ ,ＢＣ=ａ .求证 :ａ3 +ｂ3 =3ａｂ2 .2 .若 π6 ≤ｘ≤ π3,求函数 ｙ =ｔａｎｘ -ｓｉｎ2 ｘｔａｎｘ +ｓｉｎ2 ｘ的最大值和最小值 .3 .若函数ｆ(ｘ)在 (-∞ ,3]上是减函数 ,且ｆ(ａ2 -ｓｉｎｘ)≤ｆ(ａ+ 1+ｃｏｓ2 ｘ)对一切ｘ∈Ｒ恒成立 ,求实数ａ的取值范围 .高二年级1.在棱长为ａ的正方体ＡＢＣＤ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 Ｄ1中 ,过ＢＤ1 的截面分别交ＡＡ1 、ＣＣ1 于Ｅ、Ｆ两点 ,求四边形ＢＥＤ1 Ｆ面积的最小值 .(北京　含　笑 )2 .已知 :ｘ ,ｙ∈Ｒ+ ,且ｘ + ｙ =1.求ｕ =1ｘ3 +12ｙ的…     

一个等比分割问题的推广

文 [1]给出了如下结论 :如图 1,在矩形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ =2ａ ,ＡＤ =2ｂ ,Ｐ是上半平面上一点 ,ＰＤ ,ＰＣ与线段ＡＢ分别交于Ｄ1,Ｃ1,若ＡＤ1,Ｄ1Ｃ1,Ｃ1Ｂ图 1成等比数列 ,则Ｐ点的轨迹为椭圆 (上半部分 ) .本文将考虑该问题的逆问题 ,并将该结论进行推广 .结论 1　如图 2 ,Ｐ(ｘ ,ｙ)是椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ)上一点 ,ｙ >0 ,以长轴ＡＢ为边作矩形ＡＢＣＤ ,ＡＤ =2ｂ ,ＰＤ ,ＰＣ分别交ＡＢ于Ｄ1,Ｃ1,则ＡＤ1,Ｄ1Ｃ1,Ｃ1Ｂ成等比数列 .图 2　结论 1图证　过Ｐ作ＥＦ∥ＡＢ交ＤＡ的延长线于Ｅ ,交ＣＢ的延长线于Ｆ ,则ＰＥ =ａ…     

解三角形不容忽视的两个推论

解答三角形中的问题 ,除正确运用正弦定理、余弦定理外 ,还应重视它们的两个推论 .利用推论解题 ,方法简捷 ,过程明了 .1　两个推论推论 1　在△ＡＢＣ中 ,有ａ =ｂｃｏｓＣ +ｃｃｏｓＢ ,ｂ =ｃｃｏｓＣ +ａｃｏｓＣ ,ｃ =ａｃｏｓＢ +ｂｃｏｓＡ .推论 2　在△ＡＢＣ中 ,有ｂｃｏｓＢ +ｃｃｏｓＣ=ａｃｏｓ(Ｂ -Ｃ)≤ａ (1 )ｃｃｏｓＣ +ａｃｏｓＡ =ｂｃｏｓ(Ｃ -Ａ)≤ｂ (2 )ａｃｏｓＡ +ｂｃｏｓＢ =ｃｃｏｓ(Ａ -Ｂ)≤ｃ (3 )当且仅当 :Ｂ =Ｃ时 ,(1 )中等号成立 ;Ｃ=Ａ时 ,(2 )中等号成立 ;Ａ =Ｂ时 ,(3 )中等号成立 .证　推论 1 :由…     

与四点距离为定比的平面个数问题

问题　求与空间不共面四点的距离之比为λ1∶λ2∶λ3∶λ4的平面个数ｓ=ｓ(λ1,λ2,λ3,λ4).文[1]讨论了两种特款,但其结论均有误.本文用代数推理弥补几何直观的局限解决此问题,文中δ(Ａ,π)表示点Ａ到平面π的距离.引理　给定空间不共面四点Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ及正数ａ,ｂ,ｃ,ｄ,则满足条件δ(Ａ,π)ａ=δ(Ｂ,π)ｂ=δ(Ｃ,π)ｃ=δ(Ｄ,π)ｄ(1)的平面π的个数ｎ=7,　ａ=ｂ=ｃ=ｄ;8,　ａ,ｂ,ｃ,ｄ不全相等.证　取有向线段ＡＢ的内分点Ｂ1,外分点Ｂ2使ＡＢ1∶Ｂ1Ｂ=ａｂ;ＡＢ2∶Ｂ2Ｂ=-ａｂ,注意ａ=ｂ时Ｂ2实际不存在,称为无穷远点.图1　ａ≠ｂ　…     

解析几何的几个基本问题（续）

3　定比分点在直角坐标系中 ,利用定比分点的坐标公式 ,容易得到如下结论 .定理 1　以Ａ(ｘＡ,ｙＡ) ,Ｂ(ｘＢ,ｙＢ) ,Ｃ(ｘＣ,ｙＣ)为顶点的三角形的重心坐标为 (ｘＡ ｘＢ ｘＣ3,ｙＡ ｙＢ ｙＣ3) .此定理可以推广到任意ｎ个点的情形 .即ｎ个点Ｐｉ(ｘｉ,ｙｉ) (ｉ=1,2 ,… ,ｎ)的重心坐标为Ｇｎ(1ｎ ｎｉ=1ｘｉ,1ｎ ｎｉ=1ｙｉ) .定理 2　以Ａ(ｘＡ,ｙＡ)Ｂ(ｘＢ,ｙＢ) ,Ｃ(ｘＣ,ｙＣ)为顶点的三角形的内心坐标为(ａｘＡ ｂｘＢ ｃｘＣａ ｂ ｃ ,ａｙＡ ｂｙＢ ｃｙＣａ ｂ ｃ )其中ａ ,ｂ ,ｃ分别为△ＡＢＣ的三点Ａ ,Ｂ ,Ｃ所对的…     

数学竞赛之窗

波兰数学奥林匹克试题及解答1　设ｎ≥ 3为正整数 ,证明 :所有与ｎ互质且不超过ｎ的自然数的立方和是ｎ的倍数 .2　在锐角三角形ＡＢＣ中∠ＡＣＢ =2∠ＡＢＣ ,点Ｄ是ＢＣ边上一点 ,使得2∠ＢＡＤ =∠ＡＢＣ .证明 :1ＢＤ=1ＡＢ 1ＡＣ.3　已知正实数ａ ,ｂ ,ｃ的和等于 1 ,证明 :ａ2 ｂ2 ｃ2 2 3ａｂｃ≤ 1 .4　圆周上的点都被染上了某三种颜色中的一种 ,证明 :在这个圆周上存在三个点 ,它们是某个等腰三角形的顶点 ,且它们同色 .　5　求所有的正整数对 (ａ ,ｂ) ,使得ａ3 6ａｂ 1与ｂ3 6ａｂ 1都是完全立方数 .6　点Ｘ是Ｒｔ△…