方程思想在解三角问题中的运用

我在学习的过程中 ,发现一些三角函数问题可以利用方程的思想来解决 ,避免了由于公式不熟或其它原因造成的错误 .以下举例说明 .例 1　已知 2ｓｉｎ2 ｘ -ｃｏｓ2 ｘ +ｓｉｎｘｃｏｓｘ - 6ｓｉｎｘ +3ｃｏｓｘ =0 ,求解 2ｃｏｓ2 ｘ +ｓｉｎ2ｘ1+ｔａｎｘ 的值 .解　观察已知条件 ,可把等式看作关于ｃｏｓｘ的一个方程 :-ｃｏｓ2 ｘ + (ｓｉｎｘ + 3)ｃｏｓｘ + 2ｓｉｎｘ(ｓｉｎｘ - 3) =0 ,即 (-ｃｏｓｘ + 2ｓｉｎｘ) (ｃｏｓｘ +ｓｉｎｘ - 3) =0 .∵ｃｏｓｘ +ｓｉｎｘ - 3≠ 0 ,∴ -ｃｏｓｘ + 2ｓｉｎｘ =0 ,得ｔａｎｘ =12 .又由　…     

两种类型二元三角方程的图形的描绘

在中学数学里 ,我们讨论了ｙ =ｓｉｎｘ、ｙ =ｃｏｓｘ等特殊二元三角方程的作图方法 ,在 2 0 0 0年全国高考试卷中 ,出现了二元三角方程ｙ =-ｘｃｏｓｘ的图形 ,在这里我们通过例题讨论另两类二元三角方程的作图方法 ,通过讨论这两类二元三角方程的作图 ,可以加深对三角知识的理解 ,加强三角知识和平面解析几何知识之间的联系 ,也可以提高师生的作图技能 .1　形如Ｆ(ｃｏｓωｘ ,ｓｉｎｕｘ) =0的方程的图形例 1　画出在 0≤ｘ≤ 2π ,0 ≤ｙ≤ 2π范围内ｓｉｎ2 2ｘ ｃｏｓ2 ｙ =1的图形 .解　∵ｃｏｓ2 ｙ=1 -ｓｉｎ2 2ｘ,∴ｃｏｓ2 ｙ=…     

一道三角题的三种解法

题目　方程 3ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ =ｍ在 ( 0 ,π)内有两个不相等的实数解 ,求实数ｍ的范围 .图 1　解法 1图解法 1　 (数形结合思想 )原方程可变为ｓｉｎ(ｘ π6) =ｍ2 .设 ｙ1=ｓｉｎ(ｘ π6) ,ｘ∈ ( 0 ,π) ,ｙ2 =ｍ2 .在同一直角坐标系中作出其图象 (如图 ) .原方程在 ( 0 ,π)内有两个不相等的实数解等价于两函数的图象有两个交点 .则有 12 <ｍ2 <1,∴ 1<ｍ <2 .解法 2　 (函数思想 )设ｃｏｓｘ =ｔ,∵ｘ∈ ( 0 ,π) ,∴ｔ =ｃｏｓｘ∈ ( - 1,1) ,ｓｉｎｘ =1-ｃｏｓ2 ｘ =1-ｔ2 .原方程变为 3· 1-ｔ2 ｔ=ｍ .∴ 3( 1-ｔ2 ) =ｍ -…     

上期课外练习解答

高一年级1.设 ｆ(ｔ) =ｔ3 +2 0 0 3ｔ,易证 ｆ(ｔ)在Ｒ上是奇函数且递增函数 ,由题意可知 :ｆ(ｘ - 1) =- 1,　ｆ(ｙ - 1) =1.即　ｆ(ｘ - 1) =-ｆ( ｙ - 1) =ｆ( 1-ｙ) .∴　ｘ - 1=1-ｙ ,故ｘ +ｙ =2 .2 .由条件知 :ｓｉｎαｃｏｓβ2 0 0 2 ,ｓｉｎβｃｏｓα2 0 0 2 中必有一个不大于 1,一个不小于 1.不妨设　 ｓｉｎαｃｏｓβ2 0 0 2 ≤ 1,　 ｓｉｎβｃｏｓα2 0 0 2 ≥ 1.∵　α ,β∈ ( 0 ,π2 ) ,又ｙ=ｓｉｎｘ在 ( 0 ,π2 )上递增 .∴　ｓｉｎα≤ｃｏｓβ且ｓｉｎβ≥ｃｏｓα .∴　ｓｉｎα≤ｓｉｎ( π2 - β)且ｓｉｎβ≥ｓ…     

三角试题的优化解法与技巧

通过对三角习题的结构进行分析 ,在解题时考虑选择适当的方法 ,则可使复杂问题转化为简单问题 ,收到事半功倍的效果 .下面简要分析说明其解题常用的选优方法及技巧 ,供读者参考 .1　参数替换在三角函数问题中 ,若ｓｉｎｘ±ｃｏｓｘ与ｓｉｎｘｃｏｓｘ同时在一个函数式中出现 ,可设ｔ =ｓｉｎｘ±ｃｏｓｘ ,把问题转化为以ｔ为变量的二次函数 ,避开三角式讨论的麻烦 .例 1　求函数 ｙ =ｓｉｎｘｃｏｓｘ ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ的最大值 .解　设ｔ =ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ =2ｓｉｎ(ｘ π4 ) ,则ｓｉｎｘｃｏｓｘ =ｔ2 - 12 ,于是 ｙ =ｔ22 ｔ- …     

高一数学同步测试题

三角函数的图象与性质　　选择题1　若α为第一象限角 ,那么ｓｉｎ2α ,ｃｏｓ2α ,ｓｉｎ α2 ,ｃｏｓ α2 中必定取正值的有 (　　 )(Ａ) 0个 .　 (Ｂ) 1个 .　 (Ｃ) 2个 .　 (Ｄ) 3个 .2　已知1 ｓｉｎｘｃｏｓｘ =- 12 ,则 ｃｏｓｘｓｉｎｘ - 1的值是 (　　 )(Ａ) 12 .(Ｂ) - 12 .　 (Ｃ) 2 .(Ｄ) - 2 .3　已知ｓｉｎαｃｏｓα =18且 π4 <α <π2 ,则ｃｏｓα -ｓｉｎα的值等于 (　　 )(Ａ) 32 .(Ｂ) 34.(Ｃ) - 32 .(Ｄ)± 32 .4　下列函数中 ,在 (0 ,π2 )上为增函数 ,且以π为周期的奇函数是 (　　 )(Ａ) ｙ =ｓｉｎｘ .(Ｂ) ｙ =…     

高中微积分习题选编

函数的和、差、积、商的导数　　选择题1　设 ｙ =ｘ2 ·ｓｉｎｘ ,则 ｙ′等于 (　　 )(Ａ) 2ｘ·ｓｉｎｘ .(Ｂ)ｘ2 ·ｃｏｓｘ .(Ｃ) 2ｘ·ｃｏｓｘ ｘ2 ·ｃｏｓｘ .(Ｄ) 2ｘ·ｓｉｎｘ ｘ2 ·ｃｏｓｘ .2　设 ｙ =(ｓｉｎｘ 2 )·ｘ3,则 ｙ′等于 (　　 )(Ａ) (ｃｏｓｘ 2 )ｘ3 (ｓｉｎｘ 2 )·3ｘ2 .(Ｂ) (ｃｏｓｘ 2 )·3ｘ2 .(Ｃ)ｃｏｓｘ·ｘ3 (ｓｉｎｘ 2 )·3ｘ2 .(Ｄ)ｃｏｓｘ·ｘ3 ｓｉｎｘ·3ｘ2 .3　设 ｙ =ｘ3ｓｉｎｘ,则 ｙ′等于 (　　 )(Ａ) 3ｘ2ｃｏｓｘ.(Ｂ) ｃｏｓｘ·ｘ3-ｓｉｎｘ·3ｘ2ｓｉｎ2 ｘ .(Ｃ) 3ｘ…     

由f[g(x)]求f(x)的思考

在中学数学中复合函数是一种很常见的函数 .各种资料、杂志上对它的研究很多 ,但其中由ｆ[ｇ(ｘ) ]求ｆ(ｘ)的定义域和求ｆ(ｘ)的问题在各种资料中常常写法不一 ,存在着疑问 ,给教学带来了困惑 ,值得商榷 .第一个问题 :由ｆ[ｇ(ｘ) ]求ｆ(ｘ)的定义域 .问题 1　已知ｆ(1 -ｓｉｎｘ) =ｃｏｓ2 ｘ,求ｆ(ｘ)的定义域 .对这类问题各种教学参考书的处理一般都是 :令 1 -ｓｉｎｘ =ｔ得ｓｉｎｘ=1 -ｔ,ｓｉｎ2 ｘ=(1 -ｔ) 2 =1 -ｃｏｓ2 ｘ即ｃｏｓ2 ｘ =2ｔ-ｔ2 ,所以ｆ(ｔ) =2ｔ-ｔ2 ,又因为 -1 ≤ｓｉｎｘ=1 -ｔ≤ 1所以 0≤ｔ≤ 2 ,所以ｆ(ｘ)…     

由三角函数图象求解析式的方法及误解剖析

给出三角函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ)的图象一部分 ,确定其解析式是同学们感到很头痛的一类题目 ,特别是ω和 φ的确定 ,稍一疏忽就会出错 .例　已知函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ) (Ａ >0 ,ω >0 ,|φ|<π)的图象如图 1所示 ,试确定该函数的解析式图 1　例题图误解 1　∵ ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ) (Ａ >0 )的值域为区间[-Ａ ,Ａ] ,由图象表明 -2≤ｙ≤ 2 ,∴Ａ =2 ,即函数ｙ =2ｓｉｎ(ωｘ φ) .∵函数图象过点Ｐ( -7π12 ,0 )和Ｑ( 0 ,1) ,∴ｓｉｎ( -7π12 ω φ) =0 ,ｓｉｎφ =12 .∵ |φ|<π ,ｓｉｎφ =12 ,∴φ =π6或 φ =5π6.当 …     

综合题新编选登

题 2 6　已知 ｆ(ｘ) =ｓｉｎｘｃｏｓｘ - 3ｃｏｓ2 ｘ + 32 ,ｘ∈ [0 ,π],当方程 ｆ(ｘ) =ｍ有两个不相等的实根时 ,1)求ｍ的取值范围 ;2 )求方程的两实根之和 .解　 1) ｆ(ｘ) =12 ｓｉｎ2ｘ - 3·1+ｃｏｓ2ｘ2 + 32=ｓｉｎ(2ｘ - π3) .又∵ｘ∈ [0 ,π],　∴ - π3≤ 2ｘ - π3≤5π3.图 1　题 2 6图在同一坐标系中 ,作出函数 ｙ =ｓｉｎｕ(- π3≤ｕ≤5π3)的图象和直线 ｙ =ｍ的图象 .易见 ,两图象有两个公共点时 ,ｍ的取值范围为(- 32 ,1)∪ (- 1,- 32 ) ,又由于ｕ =2ｘ - π3是ｘ与ｕ的一一对应 ,故上述范围即为所求 .2 ) [方法 1…     

一类三角恒等式的“特值验证法”

命题　若 ｆ(ｘ) =Ａｓｉｎｘ Ｂｃｏｓｘ满足ｆ(ｘ1) =ｆ(ｘ2 ) =0 ,且ｘ1-ｘ2 ≠ｋπ (ｋ∈Ｚ) ,则ｆ(ｘ) ≡ 0 .证　∵ Ａｓｉｎｘ1 Ｂｃｏｓｘ1=0Ａｓｉｎｘ2 Ｂｃｏｓｘ2 =0 (1 )而Ｄ =ｓｉｎｘ1　ｃｏｓｘ1ｓｉｎｘ2 　ｃｏｓｘ2=ｓｉｎｘ1ｃｏｓｘ2 -ｃｏｓｘ1ｓｉｎｘ2 =ｓｉｎ(ｘ1-ｘ2 )≠ 0 (∵ｘ1-ｘ2 ≠ｋπ ,ｋ∈Ｚ) ,故关于Ａ ,Ｂ的齐次线性方程组 (1 )只有零解Ａ =Ｂ =0 ,则ｆ(ｘ) ≡ 0 .据此命题可知 :对于某些三角恒等式证明题 ,若能转化为ｓｉｎｘ ,ｃｏｓｘ的一次齐次式ｆ(ｘ) =Ａｓｉｎｘ Ｂｃｏｓｘ ,只需取特殊值…     

三角函数的图象和性质

1　重、难点分析1)关于三角函数的图象 ,重点是能够熟练地画出正弦、余弦、正切、余切等四个函数在一个周期内的图象 ,特别是在原点附近的图象 ,进而掌握函数ｙ=Ａｓｉｎ(ωｘ + φ)在一个周期内的图象 .掌握函数ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ + φ)的图象关键是建立函数ｙ =ｓｉｎｘ与ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ + φ)在一个周期内的对应关系 ,同时要结合函数的图象的平移和伸缩变换 ,加深对ω和 φ的理解 .而根据函数ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ + φ)的图象确定Ａ ,ω ,φ的值对初学者较困难 .2 )熟练掌握“五点法”作函数ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ + φ)的图象 .除了“五点…     

综合题新编选登

题 1　已知函数 ｙ =ｆ(ｘ)的图象的一条对称轴为直线ｘ =1 ,若将函数 ｙ =ｆ(ｘ)图象向下平移 3个单位 ,再向右平移ｂ个单位后得到ｙ =ｓｉｎｘ的图象 .1 )求满足条件的所有的ｂ值及ｆ(ｘ)的解析式 ;2 )设ｚ =ｆ(ｘ 1 ) - 3ｘ ｉｓｉｎｘ ,ｗ =3ｚ2 1ｚ2 在复平面ｕ Ｏ ｖ上对应点为Ｐ ,求动点Ｐ的轨迹 .解　∵ ｙ =ｓｉｎｘ 向左平移ｂ个单位 ｙ =ｓｉｎ(ｘ ｂ) 向上平移 3个单位 ｙ =ｓｉｎ(ｘ ｂ) 3.1 )∵ｘ =1为其对称轴 ,而其对称轴的一般形式为ｘ ｂ =ｋπ π2 (ｋ∈Ｚ) ,∴ｘ=1应是此方程的解 ,故ｂ =ｋπ π2 - 1 (ｋ…     

约分时应注意公因式的取值范围

许多同学碰到等式或不等式两边有公因式时 ,不管公因式的取值范围如何就马上约去 ,从而造成解题失误 .请看下面例子 .例 1( 1990年高考试题 )方程ｓｉｎ2ｘ =ｓｉｎｘ在区间 ( 0 ,2π)内的解的个数是 (　　 )(Ａ) 1.　 (Ｂ) 2 .　 (Ｃ) 3.　 (Ｄ) 4 .误解 :原方程可化为　　　　 2ｓｉｎｘｃｏｓｘ =ｓｉｎｘ ( 1)两边约去ｓｉｎｘ ,得 2ｃｏｓｘ =1,即ｃｏｓｘ =12 ,∵ｘ∈( 0 ,2π) ,∴ｘ =π3或5π3,故应选 (Ｂ) .辨析　∵ｓｉｎｘ =0在 ( 0 ,2π)内有解ｘ =π ,∴等式 ( 1)两边约去了公因式ｓｉｎｘ ,就导致失去解ｘ =π .此题应选 (Ｃ)…     

数学问题解答

20 0 1年 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 91　在△ＡＢＣ中 ,ＢＣ=ａ ,顶点Ａ在平行于ＢＣ且与ＢＣ相距为ａ的直线上滑动 .求 ＡＢＡＣ的取值范围 .(江西永修一中　宋庆　 330 30 4 )解　令ＡＣ =ｘ ,ＡＢ=ｋｘ(ｘ>0 ,ｋ >0 ) ,则ａｓｉｎＡ =ｘｓｉｎＢ,且ｓｉｎＢ=ａｋｘ.于是 ,ａ2 =ｋｘ2 ｓｉｎＡ .在△ＡＢＣ中 ,由余弦定理可得ｘ2 ｋ2 ｘ2 -ｋｘ2 ｓｉｎＡ=2ｋｘ2 ｃｏｓＡ ,∴ｋ 1ｋ =ｓｉｎＡ 2ｃｏｓＡ=5ｓｉｎ(Ａ ａｒｃｔｇ2 )≤ 5,∴ｋ 1ｋ ≤ 5,∴ｋ2 - 5ｋ 1 ≤ 0 ,∴ 5- 12 ≤ｋ≤ 5 12 ,∴ 5- 12 ≤ ＡＢＡ…     

三角问题常见错解剖析

思维的严密性和深刻性是良好思维品质的基本特征 ,也是高考对学生思维能力的基本要求 .三角函数一单元中由于缺乏思维的严密性和深刻性而使问题错解的例子比比皆是 .本文拟举以下几种错解情形 ,并对此进行剖析、纠正 ,目的是引起同学们深入思考 ,周密考虑 ,以纠正和预防三角解题中的类似错误 .1　忽视三角函数的定义域而致错例 1　求函数 ｆ(ｘ) =ｓｉｎｘ +ｓｉｎ3ｘｃｏｓｘ +ｃｏｓ3ｘ的最小正周期 .错解 :∵ ｆ(ｘ) =ｓｉｎｘ +ｓｉｎ3ｘｃｏｓｘ +ｃｏｓ3ｘ=2ｓｉｎ2ｘｃｏｓｘ2ｃｏｓ2ｘｃｏｓｘ=ｔｇ2ｘ ,∴周期Ｔ =π2 .剖析　注意…     

一道高考试题的几种解法

题目 ( 1994年全国高考文科试题 )如果函数ｙ =ｓｉｎ2ｘ ａｃｏｓ2ｘ的图象关于直线ｘ =- π8对称 ,那么ａ = (　　 )(Ａ) 2 .　 (Ｂ) - 2 .　 (Ｃ) 1.　 (Ｄ) - 1.解法 1　因 ｙ =ｓｉｎ2ｘ ａｃｏｓ2ｘ =1 ａ2·ｓｉｎ( 2ｘ φ) ,且其图象关于直线ｘ =- π8对称 ,所以 ,直线ｘ =- π8必经过图象的波峰或波谷 ,从而有ｓｉｎ( - π4 ) ａｃｏｓ( - π4 ) =± 1 ａ2 ,即 ( - 1 ａ) 2= 2 ( 1 ａ2 ) ,得ａ =- 1,应选 (Ｄ) .解法 2　因函数ｙ =ｓｉｎ2ｘ ａｃｏｓ2ｘ的图象关于直线ｘ =- π8对称 ,所以 ,把它沿着ｘ轴向右平移π8单位 ,得…     

对一道三角题的分析

题目　已知函数 ｆ(ｘ) =1+ｓｉｎｘ -ｃｏｓｘ1+ｓｉｎｘ +ｃｏｓｘ,试判断它的奇偶性 ,求函数周期、单调区间 .分析　首先来化简下式 :1+ｓｉｎｘ -ｃｏｓｘ1+ｓｉｎｘ +ｃｏｓｘ.解法一　 (由半角公式 )ｔａｎ ｘ2 =1-ｃｏｓｘｓｉｎｘ =ｓｉｎｘ1+ｃｏｓｘ.根据比例性质得ｔａｎ ｘ2 =1+ｓｉｎｘ -ｃｏｓｘ1+ｓｉｎｘ +ｃｏｓｘ,即　原式 =ｔａｎ ｘ2 .解法二　 (根据万能公式 )设ｔ=ｔａｎ ｘ2 ,则原式 =1+ 2ｔ1+ｔ2 -1-ｔ21+ｔ21+ 2ｔ1+ｔ2 + 1-ｔ21+ｔ2=2ｔ+ 2ｔ22 + 2ｔ=ｔ=ｔａｎ ｘ2 .解法三　 (根据倍角公式 )原式 =(1-ｃｏｓｘ)…     

浅谈求无理型函数值域的方法与技巧

利用导数与微分固然可以解决一切无理型函数的值域 ,但并不一定简单明快 ,相反有时采取一些初等方法与技巧 ,却可以收到意想不到的效果 .本文试图从初等数学的角度 ,探求竞赛中常见的求无理型函数值域的方法与技巧 .[技巧一 ]———两边平方或配方例 1　设ａ、ｂ是不等正数 ,求ｙ =ａｃｏｓ2 ｘ +ｂｓｉｎ2 ｘ +ａｓｉｎ2 ｘ +ｂｃｏｓ2 ｘ的最值 .解　显然ｙ>0 ,ｙ2 =ａ +ｂ +2 (ａ -ｂ) 24ｓｉｎ2 2ｘ +ａｂ .∵　 0≤ｓｉｎ2 2ｘ≤ 1 ,∴　ａ +ｂ≤ｙ≤ 2 (ａ +ｂ) .∴　ｙｍｉｎ=ａ +ｂ ,　ｙｍａｘ=2 (ａ +ｂ) .[技巧二 ]———构造对…     

如何理解反三角函数的符号？

先从反正弦函数的定义谈起 :正弦函数 ｙ =ｓｉｎｘ在区间 [-π2 ,π2 ]上的反函数叫做反正弦函数 .记作 ｙ =ａｒｃｓｉｎｘ ,ｘ∈ [-1,1] .为了理解符号ａｒｃｓｉｎｘ的意义 ,我们可以用 4句话来表述 :①ｘ∈ [-1,1] .即函数 ｙ =ａｒｃｓｉｎｘ的定义域是 [-1,1] .当 |ｘ|>1时 ,ａｒｃｓｉｎｘ是没有意义的 .比如ａｒｃｓｉｎ 32 就没有意义 .②ａｒｃｓｉｎｘ表示一个角的量数 ,它的单位是弧度 .如ａｒｃｓｉｎ 12 =π6.进而可知第①句话中还有一层含义 ,即ｘ是不带任何单位的数值 .容易混淆的是 ,有人往往错误地把ｘ视为一个角 ,把ａ…