一类数列的通项公式

众所周知 ,当一个数列用两个函数式表示 ,即ａｎ =ｆ(ｎ) ,ｎ=2ｋ- 1ｇ(ｎ) ,ｎ=2ｋ 　 (ｋ∈Ｎ)时 ,可合并写成ａｎ =1 (- 1 ) ｎ 12 ｆ(ｎ) 1 (- 1 ) ｎ2 ｇ(ｎ)　 (ｎ∈Ｎ)　① ,那么当一个数列用三个函数式表示 ,即ａｎ =ｆ(ｎ) ,ｎ=3ｋ- 2ｇ(ｎ) ,ｎ=3ｋ - 1ｈ(ｎ) ,ｎ =3ｋ(ｋ∈Ｎ)时 ,能合并写成一个表达式吗 ?对更一般的情况又会怎样呢 ?1　发现过程表达式①中 ,1 ,- 1可视为方程ｘ2 =1的两个根 ,1 (- 1 ) ｎ 12 ,1 (- 1 ) ｎ2 的分母 2正好是方程ｘ2 =1中未知数ｘ的次数 .注意到共性 :当ｎ 1 =2ｋ时 ,ａｎ =ｆ(ｎ) ,对应写成1…     

Pointwise Estimate for Baskakov Operators

§ 1.Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　Ｆｏｒｔｈｅｗｅｌｌ ｋｎｏｗｎＢｅｒｎｓｔｅｉｎｐｏｌｙｎｏｍｉａｌＢｎ(ｆ;ｘ) = ｎｋ=0ｆ ｋｎ ｐｎ,ｋ(ｘ) ,　ｐｎ ,ｋ(ｘ) =ｎｋ ｘｋ( 1 -ｘ) ｎ-ｋ,ＢｅｒｅｎｓａｎｄＬｏｒｅｎｔｚ[1]ｐｒｏｖｅｄｔｈａｔｆｏｒｆ∈Ｃ[0 ,1 ] ,0 <α<2 ,ｏｎｅｈａｓ｜ (Ｂｎｆ-ｆ) (ｘ) ｜=Ｏ ｘ( 1 -ｘ)ｎα/ 2 ω2 (ｆ;ｔ) =Ｏ(ｔα) . ( 1 .1 )Ｏｎｔｈｅｏｔｈｅｒｈａｎｄ ,ＤｉｔｚｉａｎａｎｄＴｏｔｉｋ[2 ]ｏｂｔａｉｎｅｄｔｈａｔｆｏｒｆ∈Ｃ[0 ,1 ] ,0 <α<2 ,ｏｎｅｈａｓ｜ (Ｂｎｆ -ｆ)…     

既约真分数的一个性质

文 [1 ]证明了奇分母既约真分数可表成互不相同的奇数分母的单位分数之和 .即 :设 0 <ｍ<ｎ ,(ｍ ,ｎ) =1 ,ｎ为奇数 ,则存在ｋ个互不相同的奇数ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｋ,使下列等式成立 :ｍｎ =1ｘ1 +1ｘ2 +… +1ｘｋ本文发现既约真分数的又一个性质 ,即 :任何既约真分数都可表成互不相同的偶数分母的单位分数之和 .它与文 [1 ]结果相映成趣 ,但比文 [1 ]的结论更完备 .我们先证如下命题为真 .命题　设ａ≥ 2是自然数 ,则任何小于 2 ａ·3的正整数都可以写成 2 ａ· 3的不同约数之和 ,且每个约数的质因数分解式中含 2的幂最多 (ａ- 1 )次 .证明…     

单位分数的一个猜想的简证

分子为 1的分数称为单位分数 .文 [1 ]用初等方法证明了一个猜想 :猜想 1　设 0 <ｍ <ｎ ,(ｍ ,ｎ) =1 ,ｎ为奇数 ,则存在ｋ个不同奇数ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｋ,满足ｍｎ =1ｘ1+1ｘ2 +… +1ｘｋ文 [1 ]的证明用到如下结果 :定理 1　 945以内的正整数 (2除外 )均可表示为 945的不同约数之和 ,且表示法中最小约数能为 1 ,3 ,5 ,7四者之一 .定理 2　设正整数ａ≥ 3 ,则任何小于 3 ａ·5 ·7的正整数 (2除外 )均可表示为 3 ａ·5 · 7的不同约数之和 ,且表示法中最小约数能为 1 ,3 ,5 ,7四者之一 .文[1 ]中两个定理的证明非常复杂 ,特别是定理 1对 945…     

用二项式定理证明幂不等式的六种情形

有关幂不等式的证明方面的资料较少见 ,现本文通过应用二项式定理 ,同时配以证明不等式的一些方法、技巧 ,可以解决证明幂不等式问题 .今按其操作先后顺序 ,作出分类举例说明 .1　先用二项式定理 ,后用放缩法例 1　求证 :2≤ ( 1 1ｎ) ｎ<3(ｎ∈Ｎ) .证　∵ｎ =1时 ,( 1 1ｎ) ｎ=2 ;ｎ >1时 ,( 1 1ｎ) ｎ=2 Ｃ2 ｎ·1ｎ2 Ｃ3 ｎ·1ｎ3 … >2 .∴ ( 1 1ｎ) ｎ≥ 2 .又∵ ( 1 1ｎ) ｎ=Ｃ0ｎ Ｃ1ｎ·1ｎ Ｃ2 ｎ·1ｎ2 … Ｃｎｎ·1ｎｎ =1 1 ｎ(ｎ - 1 )2 !·1ｎ2 ｎ(ｎ - 1 ) (ｎ - 2 )3!·1ｎ3 … 1ｎ !·( 1 - 1ｎ) (…     

数学问题解答

20 0 3年 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 41 1　求大于 1的整数ｋ,使ｆ(ｘ) =ｓｉｎｋｘ·ｓｉｎｋｘ+ｃｏｓｋｘ·ｃｏｓｋｘ-ｃｏｓｋ2ｘ为常值函数 .(湖北省襄樊市一中　王必廷　 441 0 0 0 )解　取ｘ=0 ,得ｆ(0 ) =0 ,故ｆ(ｘ) =0取ｘ =π/ｋ ,则ｓｉｎπ·ｓｉｎｋ πｋ +ｃｏｓπ·ｃｏｓｋ πｋ -ｃｏｓｋ2πｋ =0所以 -ｃｏｓｋ πｋ =ｃｏｓｋ2πｋ所以ｋ为奇数 ,且 -ｃｏｓ πｋ =ｃｏｓ2πｋ所以ｃｏｓ2πｋ =ｃｏｓπ - πｋ所以π- πｋ =2ｎπ±2πｋ所以 1ｋ =2ｎ - 1或3ｋ =1 - 2ｎ　　ｎ∈ｚ所以ｋ=1或 3经检验知…     

用二项式定理证明不等式

二项式定理应用很广泛 ,其中在证明幂不等式和组合不等式方面具有独特的作用 ,下面分类举例说明 :1　利用二项展开式进行放缩例 1　已知函数ｆ(ｘ) =2 ｘ- 12 2 1.证明 :对于任意不小于 3的自然数ｎ ,都有 ｆ(ｎ) >ｎｎ 1.证　当ｎ≥ 3时 ,ｆ(ｎ) >ｎｎ 1 1- 22 ｎ 1>1- 1ｎ 1 2 ｎ>2ｎ 1,∵ 2 ｎ=(1 1) ｎ=Ｃ0 ｎ Ｃ1ｎ Ｃ2 ｎ … Ｃｎ -1ｎ Ｃｎｎ>Ｃ0 ｎ Ｃ1ｎ Ｃｎ -1ｎ =1 ｎ Ｃ1ｎ=2ｎ 1,∴ ｆ(ｎ) >ｎｎ 1(ｎ≥ 3)成立 .注　对于 (1 ｘ) ｎ= ｎｋ =0 Ｃｋｎｘｋ 常利用整体大于它的部分产生不等关系 .例 2　求证Ｃｎ2ｎ -1…     

一道竞赛题的推广

20 0 1年全国高中数学联赛题 5为 :若 (1+ｘ +ｘ2 ) 10 0 0 的展开式为ａ0 +ａ1ｘ +ａ2 ｘ2 +… +ａ2 0 0 0·ｘ2 0 0 0 ,则ａ0 +ａ3+ａ6 +ａ9+… +ａ1998的值为 (　　 )(Ａ) 3333.　　　 (Ｂ) 36 6 6 .(Ｃ) 3999. (Ｄ) 32 0 0 1.该题构思巧妙 ,解法灵活 ,可谓独具匠心 .笔者经研究发现 ,此处ａ1+ａ4 +ａ7+… +ａ1999=ａ2 +ａ5+ａ8+… +ａ2 0 0 0 =3999,因此 ,此题结论可以推广 .推广 1　设 (1+ｘ +ｘ2 ) ｎ(ｎ∈Ｎ)的展开式中 ,指数能被 3整除的项的系数和为Ａｎ,除以 3余 1的项的系数和为Ｂｎ,除以 3余 2的项的系数和为Ｃｎ,则Ａｎ=Ｂｎ=…     

关于组合数的一项性质

对于∑ｎｉ =0(- 1 ) ｉＣｉｎ =0相信大家都很熟悉 ,但笔者发现 ,该式可推广成 ∑ｎｉ=0ｉｋ(- 1 ) ｉＣｉｎ =0 (ｋ≤ｎ - 1且ｋ∈Ｎ) .证明　 (1 )当ｎ=2时 ,ｋ=1左边 =∑2ｉ=0ｉ(- 1 ) ｉＣｉ2 =- 2 2 =0 =右边等式成立 .(2 )假设当ｎ=ｔ时 ,对于 1≤ｋ≤ｔ- 1　ｋ∈Ｎ等式均成立 ,那么当ｎ=ｔ 1时 :左边 =∑ｔ 1ｉ=0ｉｋ(- 1 ) ｉＣｉｔ 1=∑ｔ 1ｉ=1ｉｋ(- 1 ) ｉｔ 1ｉ Ｃｉ- 1 ｔ 0=- (ｔ 1 ) ∑ｔｊ=0(ｊ 1 ) ｋ- 1 · (- 1 ) ｊＣｊｔ(令ｊ =ｉ- 1 )=- (ｔ 1 ) ∑ｔｊ=0(∑ｋ-1ｕ =0(Ｃｕｋ- 1 ·ｊｕ)·(- 1 ) ｊＣｊｔ=- (ｔ…     

二项式定理与组合恒等式

二项式定理是组合数学中一个重要的恒等式 ,即(ａ ｂ) ｎ= ｎｉ=0 Ｃｉｎａｎ -ｉｂｉ.其中Ｃｉｎ 称为二项式系数 .由于组合计数问题在数学竞赛中的重要地位 ,熟练地掌握组合数的性质 ,并能灵活地运用它们来解决各种问题 ,这对参赛选手来说 ,是十分必要的 .本文我们将介绍计算含有组合数的和式以及证明组合恒等式的一些常用方法 .例 1　证明 :Ｃ1ｎ 2Ｃ2 ｎ 3Ｃ3ｎ … ｎＣｎｎ=ｎ·2 ｎ - 1.证　注意到组合数的性质Ｃｋｎ=ｎｋＣｋ- 1ｎ - 1,∴Ｃ1ｎ =ｎＣ0 ｎ - 1,2Ｃ2 ｎ =ｎＣ1ｎ - 1,… ,ｎＣｎｎ =ｎＣｎ - 1ｎ - 1.于是　Ｃ1ｎ 2…     

世界各地数学奥林匹克试题摘编

1　 (意大利 1995年数学奥林匹克 )求出所有正整数ｘ ,ｙ ,使得ｘ2 615=2 ｙ ( 1)解　对于非负整数ｋ ,2 2ｋ 1=4 ｋ·2≡ ( - 1) ｋ·2≡ 2或 3(ｍｏｄ 5) ,又∵ｘ2 ≡ 0或 1或 4 (ｍｏｄ 5) ,∴ ｙ必须是偶数 .令 ｙ =2ｚ ,代入 ( 1)得( 2 ｚ-ｘ) ( 2 ｚ ｘ) =615=3× 5× 4 1∴　　　 2 ｚ ｘ =6152 ｚ-ｘ =1( 2 )　　或　　　 2 ｚ ｘ =2 0 52 ｚ-ｘ =3 ( 3)　　或　　　 2 ｚ ｘ =12 32 ｚ-ｘ =5( 4 )　　或　　　 2 ｚ ｘ =4 12 ｚ-ｘ =15( 5)显然 ,方程组 ( 2 ) ,( 3) ,( 5)无正整数解 .由方程组 ( 4 )得 :2 ｚ=64,∴ｚ =6,ｘ =59,…     

组合数求和的九种途径

1　逆向运用二项式定理求和例1　求和Ｓ1=3ｎ 3ｎ-1Ｃ1ｎ 3ｎ-2Ｃ2ｎ … 3Ｃｎ-1ｎ Ｃｎｎ.解　由二项式定理,易见Ｓ1=(3 1)ｎ=4ｎ.例2　求和Ｓ2=1-2Ｃ1ｎ 4Ｃ2ｎ-… (-2)ｎＣｎｎ.解　逆向运用二项式定理,易见Ｓ2=(1-2)ｎ=(-1)ｎ.2　利用Ｃ0ｎ Ｃ1ｎ Ｃ2ｎ … Ｃｎｎ=2ｎ及Ｃ0ｎ Ｃ2ｎ Ｃ4ｎ …=Ｃ1ｎ Ｃ3ｎ Ｃ5ｎ …=2ｎ-1求和.例3　求和Ｓ3=2Ｃ02ｎ Ｃ12ｎ 2Ｃ22ｎ Ｃ32ｎ … Ｃ2ｎ-12ｎ 2Ｃ2ｎ2ｎ.解　Ｓ3=(Ｃ02ｎ Ｃ12ｎ … Ｃ2ｎ2ｎ) (Ｃ02ｎ Ｃ22ｎ Ｃ42ｎ … Ｃ2ｎ2ｎ)=22ｎ 22ｎ-1=3·22ｎ-1.3　倒序求和法例4　求和Ｓ4=Ｃ0ｎ 2Ｃ1…     

组合数的一项性质的概率证明

文 [1 ]用数学归纳法证明了组合数的一项性质 :∑ｎｉ =0ｉｒ(-1 ) ｉＣｉｎ =0 ,　　　　当ｒ≤ｎ-1且ｒ∈Ｎｎ !(-1 ) ｎ,　当ｒ =ｎ本文给出此性质一个概率证明 .为此作变换ｉｎ-ｋ ,易见上式等价于∑ｎｋ=0(-1 ) ｋＣｋｎ(ｎ-ｋ) ｒ =0 ,　　当ｒ≤ｎ-1且ｒ∈Ｎｎ !,　当ｒ =ｎ (1 )考虑随机试验 :从 1到ｎ这ｎ个自然数中每次任取一数 ,有放回地抽取ｒ次 ,令Ａｉ={取出的ｒ个数均不等于ｉ},ｉ =1 ,… ,ｎ,则Ｐｋ=Ｐ(Ａｉ1 Ａｉ2 …Ａｉｋ) =ｎ-ｋｎｒ,(1≤ｉ1<ｉ2 <… <ｉｋ ≤ｎ,ｋ =1 ,2… ,ｎ)由概率的一般加法公式Ｐ ∑ｎｉ=1Ａｉ…     

关于等差数列的一组不等式

设{ａｎ}是以ｄ为公差的等差数列 ,ａ1 >0 ,ｄ>0 ,文 [1 ]证明了ａ1 ａ2ａ1 ａ4ａ1 ａ4ｎ ≤ ａ1 ａ3…ａ2ｎ- 1 ａ2 ａ4…ａ2ｎ ≤ ａ1 ａ3ａ2 ａ2ｎ 1·ａ2 ａ4ｎ 1 ａ2 ａ5(1 )本文给出关于 ａ2 ａ4…ａ2ｎａ1 ａ3…ａ2ｎ- 1上下界的一组不等式 .引理 1　设ｄ >0 ,ｘ≥ 2ｄ ,0 <ｒ<1 ,则ｘｘ -ｄ >ｘ ｒｄｘ (ｒ- 2 )ｄ　　　 (2 )成立的充要条件是12 <ｒ <1且ｘ>ｒｄ2ｒ - 1 ,当 0 <ｒ≤ 12 ,(2 )的不等号反向 .证明 (2 ) ｘ2 [ｘ (ｒ- 2 )ｄ]>(ｘ2 - 2ｄｘ ｄ2 ) · (ｘ ｒｄ) (2ｄｘ-ｄ2 ) (ｘ ｒｄ) >2ｄｘ2 (2ｒ- 1 )ｘ>…     

一道最值习题的推广及应用

习题　设 0 <ｘ <13 ,求 ｙ =ｘ2 (1 - 3ｘ)的最大值 .分析 :将ｘ2 分解为ｘ·ｘ后 ,其和不等于3ｘ ,不满足最值定理的条件 ,所以要对ｘ的系数进行“配系”为32 ,从而使问题得解 .解　∵ 0 <ｘ <13 ,∴ 1 - 3ｘ >0 ,∴ ｙ =ｘ2 (1 - 3ｘ) =49[3ｘ2 ·3ｘ2 ·(1 -3ｘ) ]≤ 493ｘ2 3ｘ2 (1 - 3ｘ)33=42 43 ,当且仅当3ｘ2 =1 - 3ｘ即ｘ =29时 ,ｙｍａｘ=42 43 .将此问题推广到一般情况 ,得命题 1　若 0 <ｘ <ｍ ｌｎ,则函数 ｙ =ａｘｋｍ(ｌ -ｎｘｍ) ｐ (ｋ ,ｌ,ｍ ,ｎ ,ｐ∈Ｎ ,ａ∈Ｒ )当且仅当ｘ =ｍ ｋｌｎ(ｐ ｋ) 时有最大值ａ ｋｐｎ…     

递推数列an＋1-p＋q／an的通项公式及其性质

文 [1]中给出并证明了以下命题 .命题　设ａ ,ｂ∈Ｒ ,且实数ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｎ 满足ｘ1=ａ ｂｘｎ,ｘ2 =ａ ｂｘ1,…ｘｎ=ａ ｂｘｎ - 1.则当ｎ为奇数时 ,ａ1=ａ2 =… =ａｎ;当ｎ为偶数时 ,ａ1=ａ3 =… =ａｎ- 1,ａ2 =ａ4 =…=ａｎ.上述命题实际上给出了满足ａｎ 1=ｐ ｑａｎ 的数列 {ａｎ}的一个性质 .经研究 ,本文拟给出满足ａｎ 1=ｐ ｑａｎ的数列 {ａｎ}的通项公式 ,并以此为基础给出比文 [1]更为深刻的结论 .现在记 ｆ(ｋ) =Ｃ1ｋｂｋ- 1 Ｃ3 ｋ 1ｂｋ - 2 … Ｃ2ｋ- 3 2ｋ- 2 ｂ1 Ｃ2ｋ- 12ｋ- 1ｂ0 (ｋ≥ 1,ｋ∈…     

微积分在数列求和中的应用

数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一 ,有许多初等解决方法 .本文探讨的是运用微积分知识进行数列求和的基本方法 ,从中可见高等数学与初等数学的密切联系 .1　微分知识在数列求和中的应用首先证明一个等式 :1 ｘ ｘ2 … ｘｎ =Ｃ1 ｎ 1 Ｃ2 ｎ 1 (ｘ - 1 ) Ｃ3ｎ 1 (ｘ- 1 ) 2 … Ｃｎ 1 ｎ 1 (ｘ- 1 ) ｎ事实上利用二项式定理有 :ｘｎ 1 =[1 (ｘ- 1 ) ]ｎ 1 =1 Ｃ1 ｎ 1 (ｘ - 1 ) Ｃ2 ｎ 1 (ｘ- 1 ) 2 … ｃｎ 1 ｎ 1 (ｘ- 1 ) ｎ 1而 :(ｘ - 1 ) (1 ｘ ｘ2 … ｘｎ) =ｘｎ 1 -1因而 :(ｘ- 1 ) (1 ｘ ｘ2 …ｘｎ) …     

正项等差数列的不等式

由正项等差数列构成的不等式 ,叫做正项等差数列的不等式 .本文研究这样的一类不等式 .为了叙述简便 ,本文规定 {ａｎ}是公差为ｄ(ｄ >0 )的正项等差数列 ,Ｓｎ 是它的前ｎ项和 ,ｍ ,ｎ ,ｋ都是正整数 .定理 1　 1+ ｍｄｋａ11+ ｍｄｋａ2 ·…· 1+ ｍｄｋａｎ ≥ａｍ + 1ａｍ + 2 ·…·ａｍ +ｎａ1ａ2 ·…·ａｎ1ｋ.(当且仅当ｋ =1时等号成立 )证　由二项式定理得1+ ｍｄｋａｉｋ=1+Ｃ1ｋｍｄｋａｉ +Ｃ2 ｋｍｄｋａｉ2 +… +Ｃｋｋｍｄｋａｉｋ ≥ 1+Ｃ1ｋｍｄｋａｉ =1+ ｍｄａｉ=ａｉ+ｍｄａｉ=ａｍ +ｉａｉ,(当且仅当ｋ =1时取等号 …     

高二同步测试题

排列与组合　　选择题1　下列等式中不正确的是 (　　 )(Ａ)Ｐｍｎ =ｎＰｍ -1 ｎ -1 .　　 (Ｂ)Ｃｒｎ=Ｃｎ-ｒｎ .(Ｃ)Ｃｒｎ-Ｃｒｎ -1 =Ｃｒ -1 ｎ-1 .　　 (Ｄ)Ｐｍ -1 ｎ -1 =(ｎ - 1) !(ｍ -ｎ) !2　满足方程Ｃｘ2 -ｘ1 9=Ｃ5ｘ -5 1 9的ｘ的值为 (　　 )　　 (Ａ) 1,3,5.　　　　　　 (Ｂ) 1,5.　　 (Ｃ) 1.　　　　　　　　 (Ｄ) 5.3　若 10 0件产品中有 2件次品 ,现从中抽取 3件 ,其中至少有 1件次品的抽法种数是 (　　 )　　 (Ａ)Ｃ1 2 Ｃ299. (Ｂ)Ｃ1 2 Ｃ298.　　 (Ｃ)Ｃ1 2 Ｃ298 Ｃ1 98. (Ｄ)Ｃ3 1 0 0 -Ｃ3 97.4　用 0 ,1,2…     

应用物理知识解两类数学题

1　应用物体的重心公式求值　　物理学告诉我们 :1)　对于均匀分布的凸ｎ边形 ,若其ｎ个顶点坐标是 (ｘｋ,ｙｋ) (ｋ =1,2 ,… ,ｎ) ,则其重心Ｇ(ｘ ,ｙ) :ｘ =1ｎ ∑ｎｋ =1ｘｋ,　 ｙ =1ｎ ∑ｎｋ =1ｙｋ;2 )　如果在线段ＡＢ的端点处分别放置质量为ｍ1 ,ｍ2 的两个质点 ,则其重心Ｇ在线段ＡＢ上 ,且质量为ｍ1 ｍ2 ,根据杠杆原理可得ｍ1 ·ＡＧ =ｍ2·ＧＢ ,或ＡＧ∶ＧＢ =ｍ2 ∶ｍ1 ,即重心到两质点的距离与这两质点的质量成反比 ,反之也成立 .图 1　例 1图例 1　求值 :ｓｉｎ 25π ｓｉｎ 45π ｓｉｎ 65π ｓｉｎ 85π .分析　注意…