浅谈点面距离的求法

点面距离是空间距离中比较重要的问题 ,求点面距离方法灵活 ,空间想象能力要求高 ,往往难以把握 .下面就近年的高考试题谈谈其解法 .1　定义法过平面外一点作平面的垂线 ,直接求出这点到垂足间的距离即可 .例 1　 ( 1990年上海试题 )如图 1,平面α ,β相交于直线ＭＮ ,点Ａ在平面α上 ,点Ｂ在平面 β上 ,点Ｃ在直线ＭＮ上 ,∠ＡＣＭ =∠ＢＣＮ =4 5° ,Ａ ＭＮ Ｂ是 6 0°的二面角 ,ＡＣ =1,求点Ａ到平面 β的距离 .图 1　例 1图解　如图 1,作ＡＤ⊥平面 β于点Ｄ ,作ＡＥ⊥ＭＮ于点Ｅ ,连结ＤＥ ,则ＤＥ⊥ＭＮ .于是∠ＡＥＤ为二面角Ａ Ｍ…     

线面角计算的一个有用定理

线面角计算是立几计算的一个重要内容 ,但有时苦于角难作 ,或者角虽作出了 ,但计算碰到了困难 .本文介绍一个关于线面角计算的定理 ,能起到难点转移 ,简化解题过程的作用 .图 1　定理图定理　设点Ａ ,Ｂ分别在二面角Ｍ ＰＱ Ｎ (锐角或直角 )的两个面Ｎ ,Ｍ上 ,直线ＡＢ与面Ｍ ,Ｎ所成角分别为α ,β .过点Ａ ,Ｂ分别作棱ＰＱ的垂线ＡＥ ,ＢＦ ,垂足为Ｅ ,Ｆ .则 ＡＥＢＦ =ｓｉｎαｓｉｎβ.　　证　如图 1,过Ａ ,Ｂ分别作ＡＣ ,ＢＤ垂直于平面Ｍ ,Ｎ ,垂足分别为Ｃ ,Ｄ .连结ＣＥ ,ＤＦ ,ＢＣ ,ＤＡ ,则∠ＡＢＣ =α ,∠ＢＡＤ =β .在Ｒ…     

空间四边形的一个定理

定理　在空间四边形中 ,如果它的两组对边分别相等 ,那么连结两对角线中点的直线垂直于两对角线 ;反之 ,如果连结两对角线中点的直线垂直于两对角线 ,那么它的两组对边分别相等 .图 1已知 :空间四边形ＡＢＣＤ中 ,Ｅ、Ｆ分别是两对角线ＡＣ和ＢＤ的中点 .求证 :(1 )若ＡＢ =ＣＤ ,ＢＣ =ＡＤ ,则ＥＦ⊥ＡＣ ,ＥＦ⊥ＢＤ ;(2 )若ＥＦ⊥ＡＣ ,ＥＦ⊥ＢＤ ,则ＡＢ=ＣＤ ,ＢＣ=ＡＤ .证明　如图 1 ,取ＡＢ的中点Ｐ ,ＢＣ的中点Ｍ ,ＡＤ的中点Ｎ ,连结ＰＥ、ＰＦ、ＰＭ、ＰＮ和ＥＭ、ＥＮ、ＦＭ、ＦＮ ,则ＥＭ =∥ 12 ＡＢ ,　ＦＮ =∥ 12 ＡＢ ,…     

数学问题解答

20 0 1年 3月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 30 1　正方体ＡＢＣＤ—Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 Ｄ1 中 ,Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是棱ＡＢ、ＣＣ1 、Ｄ1 Ａ1 的中点 ,如图 .若ＡＢ=1 ,(1 )证明Ｂ1 Ｄ ⊥平面ＥＦＧ ;(2 )求平面ＥＦＧ与平面ＡＢＣＤ所成的锐二面角 ;(3)求Ａ1 到平面ＥＦＧ的距离 .(湖北天门市皂市高级中学　李德钦　 431 70 3)解 (1 )　连ＤＥ与Ｂ1 Ｅ ,依题意 ,ＤＥ=Ｂ1 Ｅ=52 ,则Ｅ在线段Ｂ1 Ｄ的中垂面上 ;同理 ,Ｆ、Ｇ也在Ｂ1 Ｄ的中垂面上 .而Ｅ、Ｆ、Ｇ不在同一直线上 ,它们确定的平面是唯一的 .所以Ｂ1 Ｄ ⊥平面ＥＦＧ .(2 )由Ｂ1 Ｄ…     

综合题新编选登

题 5　如图 1 ,四面体ＡＢＣＤ中 ,△ＡＢＣ与△ＤＢＣ都是边长为 4的正三角形 .1 )求证 :ＢＣ⊥ＡＤ ;2 )若点Ｄ到平面ＡＢＣ的距离不小于 3,求二面角Ａ ＢＣ Ｄ的平面角的取值范围 ;3)求四面体ＡＢＣＤ的体积的最大值和最小值 .解　 1 )取ＢＣ的中点Ｏ ,连结ＡＯ ,ＤＯ ,∵△ＡＢＣ ,△ＢＣＤ都是边长为 4的正三角形 ,∴ＡＯ⊥ＢＣ ,ＤＯ⊥ＢＣ ,且ＡＯ∩ＤＯ =Ｏ .∴ＢＣ⊥平面ＡＯＤ .又∵ＡＤ 平面ＡＯＤ ,∴ＢＣ⊥ＡＤ .2 )由 1 )的证明过程可知 ,∠ＡＯＤ为二面角Ａ ＢＣ Ｄ的平面角 ,记为θ,则θ∈ ( 0 ,π) .过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＯ交…     

二面角的平面角的一种作法

求二面角的大小是立体几何的重点和难点,也是多年来高考的热点之一．由三垂线定理作出二面角的平面角便是这一热点的中心;而对一些求二面角的复杂问题,学生往往不知所措;笔者根据多年的教学实践,提炼出一种由三垂线定理作二面角的平面角的简易方法——γ垂面法,收到较好效果．现简述如下： 如图１,记面ＭＡＢ为ａ,面ＣＡＢ为β,面ＭＡＣ为γ已知γ⊥β要作二面角 α－ＡＢ－β的平面角,只需过Ｍ点作ＭＮ⊥ＡＣ,Ｎ为垂足．则ＭＮ⊥β,再过Ｎ点作 ＮＯ⊥ＡＢ,Ｏ为垂足,由三垂线定理知：ＭＯ⊥ＡＢ,则ＭＯＮ即为所作的平面角． …     

数学问题解答

20 0 1年 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 96　ＡＣ是 ＡＢＣＤ较长的一条对角线 ,Ｏ为 ＡＢＣＤ内部一点 ,ＯＥ⊥ＡＢ于Ｅ ,ＯＦ⊥ＡＤ于Ｆ ,ＯＧ⊥ＡＣ于Ｇ .求证 :ＡＥ·ＡＢ ＡＦ·ＡＤ=ＡＧ·ＡＣ证明　不妨设Ｏ在△ＡＢＣ内 ,ＯＦ与ＯＣ交于Ｐ ,连结ＡＯ ,作ＢＭ ⊥ＡＯ ,ＢＬ⊥ＡＣ ,ＤＮ ⊥ＡＯ ,ＤＫ⊥ＡＣ ,ＣＱ ⊥ＡＯ ,Ｍ、Ｌ、Ｎ、Ｋ、Ｑ均为垂足 .∵Ｅ、Ｂ、Ｍ、Ｏ四点共圆∴ＡＥ·ＡＢ =ＡＯ·ＡＭ同理 ,ＡＦ·ＡＤ =ＡＮ·ＡＯ∴ＡＥ·ＡＢ ＡＦ·ＡＤ =ＡＯ· (ＡＭ ＡＮ)(1 )设∠ＤＡＣ =α ,∠ＣＡＢ =β ,∠…     

立体几何中有关“角”的几个结论

立体几何中的角包括两条直线的夹角、两条异面直线所成的角、二面角以及直线和平面所成的角 .在立体几何中经常出现有关这些角的计算或论证问题 ,对这些问题 ,本文所给出的几个结论是非常有用的 .定理 1　如果二面角Ａ-ＰＣ-Ｂ为直二面角 ,∠ＡＰＣ =θ1 ,∠ＢＰＣ =θ2 ,∠ＡＰＢ =θ ,则ｃｏｓθ=ｃｏｓθ1 ·ｃｏｓθ2 .证明　(1 )若θ1 、θ2 都是锐角 ,过Ａ在面ＡＰＣ内作ＡＤ⊥ＰＣ于Ｄ ,则ＡＤ⊥面ＰＢＣ .在面ＰＢＣ内作ＤＥ ⊥ＰＢ于Ｅ ,连结ＡＥ ,由三垂线定理 ,ＡＥ⊥ＰＢ .所以ｃｏｓθ1 ·ｃｏｓθ2 =ＰＤＰＡ· ＰＥＰＤ =Ｐ…     

2000年高考立体几何解答题探析

题目　如图 1,已知平行六面体ＡＢＣＤ Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 Ｄ1 的底面ＡＢＣＤ是菱形 ,且∠Ｃ1 ＣＢ =∠Ｃ1 ＣＤ =∠ＢＣＤ =6 0° .图 1　平行六面体1)证明 :Ｃ1 Ｃ⊥ＢＤ ;2 )假定ＣＤ =2 ,ＣＣ1 =32 ,记面Ｃ1 ＢＤ为α ,面ＣＢＤ为 β ,求二面角α ＢＤ β的平面角的余弦值 ;3)当 ＣＤＣＣ1的值为多少时 ,能使Ａ1 Ｃ⊥平面Ｃ1 ＢＤ ?请给出证明 .　1　探源此题的几何模型源于教材复习参考题二的第 11题 .1989年全国高考的立体几何解答题考过这一几何模型 ,一般复习资料上也都图 2　方法 1图有此几何模型 ,因此学生图感非常熟悉 ,易于下手 ,特…     

空间两直线所成角的一个性质

平面Ｍ内的一条直线和平面Ｍ的斜线及其在Ｍ内的射影间所成的角有下述关系 :图 1　命题 1图命题 1　如图 1所示 .平面Ｍ内的一条直线ＢＣ和Ｍ的斜线ＰＡ成角θ ,ＢＣ与斜线ＰＡ在平面Ｍ内的射影ＯＡ成角 ,则1)当 0 <θ<π2 时 ,θ> ;2 )当 π2 <θ <π时 ,θ < ;3)当θ=π2 时 ,θ = .证　 1)如图 1,∠ＰＡＣ =θ ,且 0 <θ <π2 ,∠ＣＡＯ= .过点Ｐ作ＰＣ⊥ＢＣ于Ｃ ,连ＯＣ .由三垂线逆定理知ＯＣ⊥ＢＣ .显然由ｃｏｓ∠ＰＡＣ =ｃｏｓ∠ＰＡＯ·ｃｏｓ∠ＣＡＯ ,有ｃｏｓ∠ＰＡＣ <ｃｏｓ∠ＣＡＯ .∵在 ( 0 ,π)内余弦函数为…     

谈用向量法求二面角

二面角的求解是立体几何中大多数同学比较棘手的问题 ,新教材引入了空间向量的概念以后 ,便使这类问题变得思路明确 ,运算简单 ,下面列举几例加以说明 .1　不需作出二面角的平面角 ,直接依据二面角定义求解例 1　已知平行六面体ＡＢＣＤ—Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中 ,底面ＡＢＣＤ是边长为ｍ的正方形 ,侧棱ＡＡ1的长为ｎ ,且∠Ａ1ＡＢ =∠Ａ1ＡＤ =12 0° ,求二面角Ａ1—ＡＢ—Ｄ的余弦值 .(2 0 0 2年潍坊市高二期末统考题 )图 1　例 1图解　过Ａ1作Ａ1Ｅ⊥ＢＡ交ＢＡ的延长线于点Ｅ ,∵ＡＢＣＤ为正方形 ,∴ＡＤ⊥ＡＢ .则向量Ａ1Ｅ与ＤＡ所成的角的大…     

比的和为定值问题之探究

在初二几何中 ,求比的和为定值问题是一个难点 .许多同学对此知识点理解不透 ,解题时总是无法入手 ,这是由于分析问题能力和解决问题能力存在着不足 .下面就这一知识点是如何分析的 ,怎样解决的 ,简单谈谈 .例 1　如图 ,在四边形ＡＢＣＤ中 ,∠Ｂ =∠Ｄ =90° ,点Ｍ在对角线ＡＣ上 ,ＭＥ⊥ＡＤ ,ＭＦ⊥ＢＣ .求证 :ＣＦＢＣ+ ＡＥＡＤ=1 .分析　这是求比的和为 1的问题 ,先看线段分布情况然后转化 ,再转化比 .原则是向同一条直线上转化 ,通常利用平行线来转化 .思路过程 :　 ＭＦ⊥ＢＣ ,∠Ｂ =90°　　ＭＥ⊥ＡＤ ,∠Ｄ =90°　　　　　↓…     

课外练习

高一年级1 .设ｘ ,ｙ为实数 ,且满足 (ｘ - 1 ) 3 + 2 0 0 3 (ｘ - 1 ) + 1 =0 ,(ｙ- 1 ) 3 + 2 0 0 3 (ｙ- 1 ) - 1 =0 .求ｘ + ｙ的值 .2 .已知锐角α ,β满足 ｓｉｎαｃｏｓβ2 0 0 2 + ｓｉｎβｃｏｓα2 0 0 2 =2 .求ｓｉｎ2 0 0 2 (α + β)的值 .3 .过正方形ＡＢＣＤ的顶点Ａ作ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ .设ＰＡ =ＡＢ =ａ .求平面ＰＡＢ与平面ＰＣＤ所成二面角的大小 .高二年级1 .设数列 { 1ｎ}的前ｎ项和为Ｓｎ,是否存在数列 {ａｎ}使得等式Ｓ1 +Ｓ2 +… +Ｓｎ - 1 =ａｎ(Ｓｎ- 1 )对ｎ≥2的一切自然数都成立 ,并证明你的结论 .2 .ＡＢ…     

一道高中数学联赛题的解法探讨

20 0 1年全国高中数学联赛加试第一题是一道平面几何题 ,题目如下 :图 1　三角形如图 1,△ＡＢＣ中 ,Ｏ为外心 ,三条高ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ交于点Ｈ ,直线ＥＤ和ＡＢ交于点Ｍ ,ＦＤ和ＡＣ交于点Ｎ .求证 :1)ＯＢ⊥ＤＦ ,ＯＣ⊥ＤＥ ;2 )ＯＨ⊥ＭＮ .本文将从不同的角度给出它的几种不同的证明方法 .证法 1　 (直接法 )　 1)由题意知 ,Ａ ,Ｃ ,Ｄ ,Ｆ四点共圆 ,∴∠ＢＤＦ =∠ＢＡＣ .又∵Ｏ为外心 ,∴∠ＢＯＣ =2∠ＢＡＣ ,∠ＯＢＣ =∠ＯＣＢ ,∴∠ＯＢＣ =12 (180° -∠ＢＯＣ)=90° -∠ＢＡＣ .∴∠ＯＢＣ +∠ＢＤＦ =90°,∴ＯＢ⊥ＤＦ .同…     

利用空间向量解一道高考题

空间向量是高中数学试验教材中新增内容 ,它融数形于一体 ,是实现数形结合 ,解决数学问题的重要工具 ,特别在立体几何中的应用 ,尤显便捷明快 ,精巧鲜活 ,新颖有趣 .2 0 0 2年高考数学 (理 )的立体几何题———第 18题 ,难度适中 ,颇有新意 ,标准答案给出了传统几何解法 ,下面用空间向量来解 .图 1题目　如图 1,正方形ＡＢＣＤ、ＡＢＥＦ的边长都是 1,而且平面ＡＢＣＤ、ＡＢＥＦ互相垂直 .点Ｍ在ＡＣ上移动 ,点Ｎ在ＢＦ上移动 ,若ＣＭ =ＢＮ =ａ( 0 <ａ <2 ) .(Ⅰ )求ＭＮ的长 ;(Ⅱ )当ａ为何值时 ,ＭＮ的长最小 ;(Ⅲ )当ＭＮ长最小时 ,求…     

正n棱锥中的两类角及其关系

文 [1]给出结论 :在正四棱锥中 ,设侧面与底面所成的二面角为α ,相邻两侧面所成的二面角为 β ,则ｃｏｓβ =-ｃｏｓ2 α .图 1　 (1)式证明用图事实上 ,由ｃｏｓβ =-ｃｏｓ2 α可化为 2ｃｏｓ2 β2 - 1=-ｃｏｓ2 α ,所以 2ｃｏｓ2 β2 =ｓｉｎ2 α ,进而化为ｃｏｓ β2 =ｃｏｓ π4 ｓｉｎα (1)证明　如图 1,正棱锥的高为ＰＯ ,ＰＦ为斜高 ,则∠ＰＦＯ =α .设∠ＡＥＣ为侧面ＰＡＢ与侧面ＰＢＣ所成的二面角 ,即∠ＡＥＣ =β .由正棱锥的特性 ,ＯＥ平分∠ＡＥＣ ,那么ｃｏｓ β2 =ＯＥＡＥ=12 ＰＢ·ＰＯ12 ＰＢ·ＡＥ=Ｓ△ＰＯＢＳ△…     

用变换方法解决立体几何问题

变换在数学中起着重要作用 .下面介绍有关的几何命题 ,利用这些命题作为变换的依据 ,更好地解决问题 .1　变换位置1.1　变换点的位置命题 1　 (课本例题 )如果直线ｌ∥平面α ,那么直线ｌ上各点到平面α的距离相等 .图 1　例 1图例 1　如图 1,正四棱锥Ｓ -ＡＢＣＤ的顶点Ｓ在底面上的射影为Ｏ ,ＳＤ的中点为Ｐ ,且ＳＯ =ＯＤ =ａ ,直线ＢＳ上有一点Ｇ ,求点Ｇ到面ＰＡＣ的距离 .解　连结ＢＤ ,ＡＣ ,ＢＤ与ＡＣ交于点Ｏ ,连ＰＯ .知ＰＯ∥ＢＳ ,ＢＳ∥面ＰＡＣ ,因此直线ＢＳ上的点Ｇ和点Ｓ到面ＰＡＣ的距离相等 .由ＳＯ =ＯＤ ,知ＯＰ⊥Ｓ…     

反例·证明·怪论

有如下一道立体几何判断题 :底面是正三角形 ,相邻两侧面所成二面角都相等的三棱锥是正三棱锥吗 ?甲同学给出了否定的回答 ,并构造了如下“反例” :图 1　甲同学所举反例示意图如图 1 ,Ｐ -ＢＣＥ为正三棱锥 ,在ＰＥ上取一点Ａ ,使ＡＢ =ＢＥ ,连ＡＢ ,ＡＣ .推知ＡＢ =ＢＣ =ＣＡ ,即△ＡＢＣ为正三角形 ,从而三棱锥Ｐ -ＡＢＣ的底面为正三角形 ,相邻两侧面所成的二面角都相等 ,而非正三棱锥 .图 2　乙同学证明用图但 ,乙同学不同意甲的判断 ,并给出了如下“证明” :如图 2 ,设三棱锥Ｐ -ＡＢＣ满足所设条件 .作ＡＨ⊥面ＰＢＣ ,垂足为Ｈ ,…     

活用sin~2α+cos~2α=1

ｓｉｎ2 α +ｃｏｓ2 α =1除了广泛用在化简三角恒等式、解直角三角形外 ,还可以灵活应用于解其他题型 .现举几例说明 .一、活用于证明平面几何等式图 1在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,ＣＤ是边ＡＢ上的高 ,求证 :1ＣＤ2 =1ＡＣ2 +1ＢＣ2 .证明　如图 1所示 ,∵　∠Ａ +∠Ｂ =90°,∴　ｓｉｎＢ =ｃｏｓＡ .∴　ｓｉｎ2 Ａ +ｃｏｓ2 Ａ =ＣＤ2ＡＣ2 +ＣＤ2ＢＣ2 =1 .∴　 1ＡＣ2 +1ＢＣ2 =1ＣＤ2 .已知Ｐ是矩形ＡＢＣＤ对角线ＡＣ上的一点 ,ＤＰ⊥ＡＣ ,ＰＭ⊥ＢＣ交ＢＣ于Ｍ ,ＰＮ⊥ＡＢ交ＡＢ于Ｎ .求证 :ＰＭ23 +ＰＮ23 =ＡＣ23 . ( 98加拿大中学生…     

数学问题解答

20 0 2年 3月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 361　如图 ,Ｃ为半圆上一点 ,ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ ,ＡＢ为直径 ,Ｇ、Ｈ分别为 △ ＡＣＤ、△ ＢＣＤ的内心 ,过Ｇ、Ｈ作直线交ＡＣ、ＢＣ于Ｅ、Ｆ ,求证 :ＣＥ =ＣＦ .(安徽省肥西中学　刘运谊　 2 31 2 0 0 )证明　连结ＤＧ并延长ＡＣ于Ｍ ,连结ＤＨ并延长ＣＢ于Ｎ ,再连结ＭＮ、ＡＧ、ＢＮ .因为ＣＤ⊥ＡＢ所以∠ＣＤＡ=∠ＣＤＢ =90°而Ｇ、Ｈ分别为 △ＡＣＤ、△ＢＣＤ的内心所以ＤＭ、ＤＮ分别是∠ＣＤＡ =∠ＣＤＢ的平分线所以∠ＭＤＣ =∠ＭＤＡ=∠ＮＤＣ =∠ＮＤＢ= 45°在 △ ＭＡＤ和…