求复数模的最值的常用策略

复数的模是复数中的重要概念之一 ,复数ｚ的模 |ｚ|是其对应点Ｚ到原点的距离 (复数模的几何意义 ) .复数模的最值问题既是复数问题中的一个重点 ,也是一个难点 .其最常用的策略有 :用函数思想、方程思想可将问题转化为代数法或三角法 ,用数形结合思想可将问题转化为几何法 ,用重要的不等式公式可将问题转化为不等式法 .下面我们就来分别举例说明这几种策略 .1　用代数法求最值用代数法求复数模的最值 ,在这里是指把问题转化为求代数中的最值问题来解决 .例 1　已知复数ｚ满足 |ｚ - (2 + 3ｉ) | + |ｚ -(2 - 3ｉ) | =4 ,试求 |ｚ|的最值 .…     

复数运算的几何意义

自从复数与复平面上的点建立一一对应的关系之后 ,复数与几何便结下了不解之缘 .复数的运算表现出明显的几何意义 ,解题中若能恰当地应用 ,便能获得简捷的解法 .复数加、减法的几何意义即为向量的合成与分解 ,可简化为三角形法则 ;复数乘法、乘方与除法的几何意义即为向量的旋转变换和伸缩变换 ;复数开方的几何意义可概括为圆内接正多边形法则 .除此之外 ,还应重视以下结论 :1 )ｚ -ａ表示由ａ(对应的点Ａ)指向ｚ(对应的点Ｚ)的向量 ,即ＡＺ =ｚ -ａ .2 ) |ｚ -ａ|表示ａ(对应的点 )到ｚ(对应的点 )的距离 .3 )若ｚ1ｚ2 ≠ 0 ,则 |ｚ1+ｚ2 |…     

复数的模与共轭复数

模与共轭复数是复数的两个重要概念 .为此 ,我们先罗列模与共轭复数的一些性质 .1　共轭复数的性质1)ｚ1 ｚ2 =ｚ1 ｚ2 ( 表示加、减、乘、除 ) ;2 )ｚ =ｚ ｚ∈Ｒ ;3)ｚ =-ｚ ｚ∈ {纯虚数 }∪ { 0 } ;4 )Ｒｅ(ｚ) =ｚ +ｚ2 ,Ｉｍ(ｚ) =ｚ -ｚ2 .2　复数模的性质1)ｚ·ｚ =|ｚ| 2 =|ｚ| 2 ;2 ) |ｚ1·ｚ2 | =|ｚ1|·|ｚ2 | ;3) ｚ1ｚ2=|ｚ1||ｚ2 | (ｚ2 ≠ 0 ) ;4 ) |ｚ1| - |ｚ2 | ≤ |ｚ1±ｚ2 |≤ |ｚ1| + |ｚ2 | ,其中左边等号成立的充要条件是 :ｚ1,ｚ2 对应的向量ＯＺ1与ＯＺ2 反向 ;右边等号成立的充要条件是 :ｚ1,ｚ2对应的向量Ｏ…     

数学顺口溜——化复数为三角形式

中间不对两头塞 ,只模为负用π加 ,正余错位也好办 ,正位添负加半π .两处以上均不对 ,变模正位再变中 .相差甚远不勉强 ,化代代化也能求 .解释 :对那种貌似复数三角形式 ,但实际上不是复数三角形式的复数 ,利用上述口诀化三角形式十分方便 .我们知道ｒ(ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ)是三角形式必须同时满足三个条件 :(1)ｒ≥ 0 ,(2 )“中间”是“ ”号 ;(3)同一角的余弦作实部 ,正弦作虚部 .此顺口溜的前四句对处理只有一个条件不满足的情形十分方便 ,为便于表达 ,取ｒ和θ为常数加以说明 .(1)如 3(ｃｏｓ π3-ｉｓｉｎ π3) ,只有“中间”不符合…     

复数

1　考点简析新课教学与高三备考复习是有区别的 .但是新课教学又不能不顾及高考 ,不能对高考的要求心中无数 ,而应当循序渐进地、有机地渗透“考试说明”的有关要求 .1.1　知识点剖析本章的知识点有 7个 (见课本 7个小节的标题 ) ,其内涵与外延是 :复数的有关概念 (含模与共轭复数的有关性质 ) ,复数的整体形式、代数形式、三角形式及其转换 ;复数代数式与三角式的运算 ,复数的几何表示 ,复数运算的几何意义 ,几何意义与运算的转换 ,图形与方程的转换 ;在复数集中解一元二次方程和二项方程 .1.2　思想方法化复 (数 )为实 (数 ) ,数形结合 ,…     

巧用三角诱导公式化复数为三角形式

巧用三角诱导公式化复数为三角形式河北省廊坊市第二中学金建刚复数的三角形式，其关键是“形式”，复数的三角形式为ｚ＝ｒ（ｃｏｓθ十ｉｓｉｎθ），特征：第一，ｒ＞０；第二，前余弦，后正弦，角相同；第三，中间是“十”号．学生对实部和虚部都是三角函数表示的复数...     

复数的模及其性质

复数的模及其性质于鸣（武汉中学）［基本概念］设复数ｚ＝ａ＋ｂｉ（ａ、ｂ∈Ｒ），则定义ｚ的模为，记为．复数的模的几何意义是，复数ｚ在复平面内对应的点Ｚ到原点的距离，即向量ＯＺ的长度．显然．当且仅当ｚ＝０时，特别地，当ｚ为实数时，设ｚ＝ａ，则，与实数绝对...     

简化复数运算的常用技巧

复数的运算是复数这一章的核心内容 .与对其它运算的要求一样 ,复数的运算 ,也是一要准确 ,二要快速 .因为复数有代数、三角、几何等多种形式 ,所以进行复数运算时 ,既要选择恰当形式 ,严格遵循运算法则 ,又要灵活运用各种技巧 .加强这方面的训练 ,不仅可以直接提高运算能力 ,而且对于培养发散思维能力也大有益处 .下面举例谈谈简化复数运算的几个常用技巧 .1　运用整体思想例 1　已知复数ｚ满足 | 2ｚ -ｉ| =2 |ｚ| ,且ａｒｇ2ｚ -ｉｚ =π3.求ｚ .解　∵ | 2ｚ -ｉ| =2 |ｚ| ,∴ | 2ｚ -ｉｚ | =2 ,又ａｒｇ2ｚ -ｉｚ =π3,∴ 2ｚ -ｉｚ =…     

三角形五“心”向量形式的充要条件

利用向量的加法、减法和向量的数量积运算 ,解决几何问题显得简捷、明快 ,思路清晰 .本文就利用向量来研究三角形五“心”(外心、重心、垂心、内心、旁心 )向量形式的充要条件 .1　外心图 1　外心结论 1　若Ｏ是△ＡＢＣ所在平面上一点 ,则Ｏ是△ＡＢＣ的外心的充要条件是ＯＡ2 =ＯＢ2 =ＯＣ2 .证　由向量数量积的运算性质可得 ａ2 =| ａ| 2 ,∴　ＯＡ2 =ＯＢ2 =ＯＣ2 |ＯＡ| 2 =|ＯＢ| 2 =|ＯＣ| 2 |ＯＡ| =|ＯＢ| =|ＯＣ| Ｏ是△ＡＢＣ的外心 .2　重心图 2　重心结论 2　若Ｏ是△ＡＢＣ内一点 ,则Ｏ是△ＡＢＣ重心的充要条件是ＯＡ +ＯＢ…     

重要的是暴露辅助角ψ的几何意义

重要的是暴露辅助角ψ的几何意义２７３７００山东单县二中齐行超４ＳｔａｓｉｎａＭｂｃｏｓａ。Ｊ５ｒ＝－－－－－－ｓｌｈ（ａ＋…是大家所熟知的，本文用复数给出它的一个证明．如图在复平面内作复数ｚ—ａ＋ｈｉ，其模为ｒ，幅角生值为Ｐ，则ｒ一人Ｚ平了，ｚ—ｒ（...     

五、复数

知识要点］本章主要内容有复数的概念；复数的三角形式；代数形式与三角形式的互化；复数的代数运算及三角运算；复数的模、辐角及复数的加、减、乘、除和开方的几何意义；复数集中的一元二次方程和二项方程．其重点要求准确掌握和应用概念，正确地进行代数式和三角式的运...     

浅析复数问题中的常见错误

我们把数扩充到复数后 ,由于复数的许多性质与实数不同 ,学生作业中常出现这样和那样的错误 .本文列出几类常见错误 ,供参考 .1　化三角形式中出现的错误例 1　把 1 ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ化成三角形式 ,θ∈ (π ,2π) .误解　 1 ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ=2ｃｏｓ2 θ2 ｉ·2ｓｉｎ θ2 ｃｏｓ θ2=2ｃｏｓ θ2 (ｃｏｓ θ2 ｉｓｉｎ θ2 ) .∴ 1 ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ的三角形式为2ｃｏｓ θ2 (ｃｏｓ θ2 ｉｓｉｎ θ2 ) .错误分析 :复数三角形式有三个要求 :1)模大于零 ;2 )括号内的实部和虚部是同一个辐角值θ的余弦与正弦 ;3 )ｃｏｓθ…     

巧妙变化耳目一新--利用共轭复数的性质解复数方程

复数方程是复数学习中的一个重要内容 ,我在教学中发现 ,不少学生总是迫不及待地将方程中的变量设为代数形式或三角形式 ,将方程转化为实数方程解决 ,然而这种方法有时是非常费时费力的 .当遇到这种情况时 ,我们需要引导学生在解决问题的同时 ,再探求更加简单的方法 .共轭复数的概念在复数学习中占有极其重要的地位 ,若能在解复数方程中灵活运用 ,则可以大量减少运算量 ,起到事半功倍的效果 .共轭复数的性质有很多 ,在此列举几条供大家参考 :( 1 ) z∈ R　 　 z=z;( 2 ) z是纯虚数 ( z≠ 0 )　 　 z z =0或 z2 =- | z| 2 ;( 3) | z| 2 …     

简化复数运算的若干途径

简化复数运算的若干途径７１４０００陕西渭南瑞泉中学李琪复数的运算是近年来高考命题的一个热点，提高复数运算能力的关键是掌握简化复数运算的技能技巧．本文笔者结合实例说明简化复数运算的若干途径．１选择恰当的表示形式复数有代数、三角、几何（点、向量）等多种表...     

复数方程(x-z_0)~n=z根的几个结论

约定关于ｘ的复数方程 (ｘ -ｚ0 ) ｎ=ｚ(ｚ0 ,ｚ∈Ｃ ,ｚ≠ 0 ,ｎ∈Ｎ)的ｎ个根依次为Ｘ1,Ｘ2 ,… ,Ｘｎ,它们在复平面上对应的点分别为Ｘ1,Ｘ2 ,… ,Ｘｎ.复数Ｚ0 在复平面上对应的点为Ｚ0 .设向量Ｚ0 Ｘ1,Ｚ0 Ｘ2 ,… ,Ｚ0 Ｘｎ对应的复数分别为ｒ1,ｒ2 ,… ,ｒｎ,则有如下结论 :命题 1　方程 (ｘ -ｚ0 ) ｎ=ｚ的ｎ个根的对应点均匀分布在以Ｚ0 为圆心 ,以 ｎ|ｚ|为半径的圆上 .证　因方程ｘｎ=ｚ的ｎ个根的几何意义是复平面内的ｎ个点 ,这些点均匀分布在以原点为圆心 ,半径为 ｎ|ｚ|的圆上 .而方程(ｘ -ｚ0 ) ｎ=ｚ的ｎ个根的对应点相当…     

活用三角中点关系 巧解向量动点问题

向量是一种新的量,不同于以往学过的数量,它兼有代数与几何两种形式,具有代数的抽象与几何的直观,是集“数”与“形”于一身的数学概念.因此,解题中要注意数形结合的思想.在高考中以考查向量的概念与运算为主,其中向量的模与向量数量积的计算尤为重要,特别是牵涉到动点问题,许多学生无从下手.笔者主要介绍活用三角中点关系,巧解向量动点问题.     

纯虚数的一个性质及应用

关于纯虚数有许多性质 ,在解题中的应用都很广泛 ,笔者在教学中发现一条性质 ,在解题中应用起来 ,同样给人以美不胜收之感 .命题　设ｚ为非零复数 ,若ｚ为纯虚数则对任意非零实数ａ ,有 |ｚ +ａ| =|ｚ -ａ|成立 .反之 ,若ａ是非零实数 ,且 |ｚ +ａ| =|ｚ -ａ| ,则ｚ为纯虚数 .证明　 [方法 1]由两复数差的模的几何意义可知 ,复数ｚ对应点的轨迹为复平面上复数ａ与 -ａ对应点连线的中垂线 .显然其中垂线为虚轴 .因而复数ｚ为纯虚数 ,反之亦然 .[方法 2 ]利用复数性质ｚｚ =|ｚ| 2 .已知可化为 |ｚ +ａ| 2 =|ｚ -ａ| 2 ,则(ｚ +ａ) (ｚ +ａ) =…     

例说平面向量数量积的应用

平面向量数量积是平面向量的重点内容 ,它以独特的运算方式将两个向量的长度和夹角有机地联系在一起 ,为许多数学问题的解决提供了强有力的工具 .1　用于等式的证明例 1　已知ａ 1-ｂ2 +ｂ 1-ａ2 =1,求证 :ａ2 +ｂ2 =1.证明　设ｍ =(ａ ,1-ａ2 ) ,ｎ =(1-ｂ2 ,ｂ) ,向量ｍ与ｎ的夹角为 φ ,则ｍ·ｎ =ａ 1-ｂ2 +ｂ 1-ａ2 =|ｍ| |ｎ|ｃｏｓφ=1.∵ |ｍ| =|ｎ| =1,∴ｃｏｓφ =1,φ =0° .∴ｍ =ｎ ,即 ａ =1-ｂ2 ,ｂ =1-ａ2 .两式平方相加 ,得ａ2 +ｂ2 =1.例 2　设α ,β∈Ｒ+,求证 :ｃｏｓ(α - β) =ｃｏｓαｃｏｓβ+ｓｉｎαｓｉｎβ .图…     

平面向量及其运算

平面向量是高中数学新教材的重要内容 .它既反映了现实世界的数量关系 ,又体现了几何图形的位置关系 ,从而将数和形有机地结合起来 .因此 ,用向量工具处理数学问题 ,既有几何的直观性 ,又有代数表述的简洁性以及方法上的一般性 .1　向量既有大小又有方向的量叫做向量 ,可表示为ａ→ 或ＡＢ .向量ＡＢ的大小称为模 ,记作 |ＡＢ| .模为 0的向量叫做零向量 ,记作 0 .模为 1的向量叫单位向量 .与ａ→ 模相等且方向相反的向量称为ａ→ 的相反向量 ,记作 -ａ→ .两个向量的加法按照平行四边形 (即三角形 )法则进行 ,多个向量的加法则按照多边形法…     

复数模的最值的几种求法

复数有代数、三角、向量三种表示法,而且性质较丰富,因此,模的最值的求法形式多样、方法灵活.本文举例介绍几种方法.