解三角题应重视对角的范围的考察

例 1　已知ｓｉｎθ ｃｏｓθ =- 15( 0 <θ <π) ,求ｔｇθ的值 .分析 :本题解法甚多 ,但若由ｓｉｎθ ｃｏｓθ <0把θ的范围进一步缩小 ,则解法较简洁 .解　由 (ｓｉｎθ ｃｏｓθ) 2 =( - 15) 2 =12 5得ｓｉｎ2θ =- 2 42 5.∵ 0 <θ<π且ｓｉｎθ ｃｏｓθ <0 ,∴ 3π4 <θ <π ,则3π2 <2θ <2π ,∴ｃｏｓ2θ=72 5,　∴ｔｇθ =1-ｃｏｓ2θｓｉｎ2θ =- 34.评述 :只有把 2θ的范围缩小 ,才能确定ｃｏｓ2θ的符号 ,进而求出ｔｇθ的值 .例 2　已知α ,β均为锐角 ,ｓｉｎα =210 ,ｓｉｎβ =1010 ,求α 2 β的值 .分析 :为了求…     

用“三色眼光”看复数

复数将代数、三角、几何融为一体 ,富有灵气 .它的“数”(代数形式 )、“形”(几何形式 )、“角”(三角形式 ) ,使解题者可以从不同的侧面去研究它 ,找到既相互联系 ,又相互独立的解法 ,使思维呈现出独创美和简洁美 .下面就让我们带着“数”、“形”、“角”这“三色眼光”去看看复数吧 !1　关于辐角例 1　求ｚ =1 -ｃｏｓθ -ｉｓｉｎθ(3π <θ <4π)的辐角主值 .着眼于“数” :设ｚ =ａ +ｂｉ(ａ ,ｂ∈Ｒ) ,则ａｒｇｚ可由ｔｇθ =ｂａ 及 (ａ ,ｂ)所在象限来确定 .所以ｔｇ(ａｒｇｚ) =- ｓｉｎθ1 -ｃｏｓθ=-ｃｔｇ θ2 =ｔｇ θ2 - …     

函数y=θ-argz的几何解释

设复数ｚ =ａｃｏｓθ ｉ·ｂｓｉｎθ,(ａ>ｂ >0 ,0 <θ<π2 ) ,则θ为复数ｚ在复平面上对应点ｚ轨迹 ｘ =ａｃｏｓθｙ =ｂｓｉｎθ(0 <θ<π2 为参数 )———椭圆 (在第一象限部分 )的离心角 ,如图 ,函数ｙ=θ-ａｒｇｚ即为∠ＡＯＺ .ｔｇ∠ＡＯＺ =ｔｇｙ =ｔｇ(θ-ａｒｇｚ)=ｔｇθ - ｂａｔｇθ1 ｔｇθ· ｂａｔｇθ=(ａ -ｂ)ｔｇθａ ｂｔｇ2 θ=ａ-ｂａｔｇθ ｂｔｇθ≤ ａ-ｂ2ａｂ,所以ｙ的最大值为ａｒｃｔｇａ -ｂ2ａｂ,当且仅当 ａｔｇθ=ｂｔｇθ,即θ =ａｒｃｔｇ ａｂ 时取得 .当ａ =3 ,ｂ=2或ａ =3 ,ｂ=1时就分别得到 9…     

一道三角函数求值题

一道题从不同的角度出发 ,会有不同的解法 ,这样做有利于开阔解题思路 ,总结解题规律 .下面是本人对一道三角函数求值问题的多种解法 .题目　已知ｓｉｎθ ｃｏｓθ =15,θ∈ [0 ,π]那么ｃｔｇθ = .思路 1　最容易想到的是知道角的大小求值 .解法 1　由 15=ｓｉｎθ ｃｏｓθ =2ｓｉｎ(θ π4 )得θ =ｋπ - π4 ( - 1) ｋａｒｃｓｉｎ 210 ,∵θ∈ ( 0 ,π) ,∴θ =34π -ａｒｃｓｉｎ 210 .∴ｃｔｇθ=ｃｔｇ( 34π -ａｒｃｓｉｎ 210 ) =- 34.本人认为 ,这种解法计算繁琐 ,容易出错 ,一般不采用 .思路 2　另一种直接的方法是从定…     

浅析复数问题中的常见错误

我们把数扩充到复数后 ,由于复数的许多性质与实数不同 ,学生作业中常出现这样和那样的错误 .本文列出几类常见错误 ,供参考 .1　化三角形式中出现的错误例 1　把 1 ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ化成三角形式 ,θ∈ (π ,2π) .误解　 1 ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ=2ｃｏｓ2 θ2 ｉ·2ｓｉｎ θ2 ｃｏｓ θ2=2ｃｏｓ θ2 (ｃｏｓ θ2 ｉｓｉｎ θ2 ) .∴ 1 ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ的三角形式为2ｃｏｓ θ2 (ｃｏｓ θ2 ｉｓｉｎ θ2 ) .错误分析 :复数三角形式有三个要求 :1)模大于零 ;2 )括号内的实部和虚部是同一个辐角值θ的余弦与正弦 ;3 )ｃｏｓθ…     

平面向量的一个优美的综合公式

笔者研究发现 ,平面向量中有一个优美并且非常有用的综合公式 :图 1　证公式用图设 |ｂ→|=ｋ ,ｂ→ 与ａ→ 夹角为θ ,则有 :　ｂ→ =(ｋａ→|ａ→|·(ｃｏｓθ ,　ｓｉｎ(±θ) ) ,ｋａ→|ａ→|　·(ｓｉｎ( θ) ,ｃｏｓθ) ) .　　证　如图 1 ,设ａ→ =(ｘ ,ｙ)与ｘ轴正半轴夹角为α ,ｂ→ =(ｘ0 ,ｙ0 ) ,则ｃｏｓα =ｘ|ａ→|,ｓｉｎα =ｙ|ａ→|.ｘ0 =ｋ(ｃｏｓ(α±θ) ) ,ｙ0 =ｋ(ｓｉｎ(α±θ) ) .ｘ0 =ｋ(ｃｏｓαｃｏｓθ ｓｉｎαｓｉｎθ)=ｋ(ｘ|ａ→|ｃｏｓθ ｙ|ａ→|ｓｉｎθ)= ｋａ→|ａ→|·(ｃｏｓθ,ｓｉｎ( θ) ) ,…     

一道高考复数试题的变式研究

1999年全国高考第20题:设复数ｚ=3ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ.求函数ｙ=θ-ａｒｇｚ(0<θ<π2)的最大值及对应的θ值.下面以本题为原型进行变式研究.变式1　设复数ｚ=ａｃｏｓθ ｉｂｓｉｎθ(ａｂ为常数且ａ>ｂ>0).求函数ｙ=θ-ａｒｇｚ(0<θ<π2)的最大值及对应的θ的值.解　?..     

一道全国联赛题的别解

1999年全国高中数学联合竞赛加试试题第二题是 :给定实数ａ ,ｂ ,ｃ .已知复数ｚ1 ,ｚ2 ,ｚ3满足 :|ｚ1 |=|ｚ2 |=|ｚ3|=1.ｚ1 ｚ2 ｚ2ｚ3 ｚ3ｚ1=1.求 |ａｚ1 ｂｚ2 ｃｚ3|的值 .命题委员会提供的“参考答案”用到了关于复数的欧拉公式ｅｉθ=ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ .下面我们给出此题的一种简便的解法 .解　令ｚ1 =ｃｏｓθ1 ｉｓｉｎθ1 ,ｚ2 =ｃｏｓθ2 ｉｓｉｎθ2 ,ｚ3=ｃｏｓθ3 ｉｓｉｎθ3,则ｚ1 ｚ2 ｚ2ｚ3 ｚ3ｚ1=ｃｏｓ(θ1 -θ2 ) ｃｏｓ(θ2 -θ3) ｃｏｓ(θ3-θ1 ) [ｓｉｎ(θ1 -θ2 ) ] ｓｉｎ(θ2-θ3) ｓｉｎ(θ3…     

反三角函数和三角方程

选择题1　下列各等式成立的是 (　　 )(Ａ)ａｒｃｓｉｎ π3=32 .(Ｂ)ｃｏｓ(ａｒｃｃｏｓ π3) =π3.(Ｃ)ｔｇ(ａｒｃｔｇ 3) =3.(Ｄ)ｓｉｎ(ａｒｃｃｏｓ12 ) =12 .2　下列命题不正确的是 (　　 )(Ａ)函数 ｙ =ａｒｃｃｏｓｘ - π2 是奇函数 .(Ｂ)当ｘ∈ ( 22 ,1)时 ,ａｒｃｓｉｎｘ >ａｒｃｃｏｓｘ .(Ｃ)ｔｇ(ａｒｃｃｏｓ0 ) =0 .(Ｄ)当ｘ∈ ( -∞ ,0 )时 ,ａｒｃｃｔｇｘ >ａｒｃｔｇｘ .3　若 π4 <α <5π4 ,则ａｒｃｓｉｎ[22 (ｓｉｎα ｃｏｓα) ]的值为(　　 )(Ａ) π4 -α .　　 (Ｂ)α - π4 .(Ｃ)α - 3π4 . (Ｄ) 3π4 -…     

构造法分析一高考函数题的单调性

20 0 0年高考 (理工农医类 )第 19题第Ⅱ问 :“设函数ｆ(ｘ) =ｘ2 1-ａｘ ,其中ａ >0 ,求ａ的取值范围 ,使函数ｆ(ｘ)在 [0 , ∞ )上是单调函数 .”1　转化为等价问题处理若令ｘ =ｔｇθ ,θ∈ (-π2 ,π2 ) ,则高考题等价于 :设函数ｇ(θ) =(1-ａｓｉｎθ)ｃｏｓθ ,其中ａ>0 ,求ａ的取值范围 ,使函数ｇ(θ)在 [0 ,π2 )上是单调函数 .下面用构造法比较直观地给出等价问题的分析 :ｇ(θ) =(-ａ)·(ｓｉｎθ -1ａ)ｃｏｓθ =(-ａ)·ｋ(θ) ,其中ｋ(θ) =(ｓｉｎθ -1ａ)ｃｏｓθ ,ａ >0 ,θ∈[0 ,π2 ) .构造两点Ｍ (0 ,1ａ) ,Ｎ (ｃｏｓ…     

正n边形所有对角线与边长的2p-1次方幂和

文 [1]给出了正ｎ边形所有对角线和边长的 2 ｐ( ｐ∈Ｎ)次方幂和 ,本文将给出正边形所有对角线和边长的 2 ｐ - 1( ｐ∈Ｎ)次方幂和 .引理 1　ｓｉｎ2ｐ - 1θ =4 1-ｐ ｐ -1ｋ =0 ( - 1) ｐ- 1 ｋＣｋ2 ｐ - 1·ｓｉｎ( 2 ｐ - 1- 2ｋ)θ.证　设ｚ =ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ , ｚ =ｃｏｓθ -ｉｓｉｎθ ,则ｓｉｎ2 ｐ - 1θ =ｚ - ｚ2ｉ2 ｐ - 1=( 2ｉ) 1- 2 ｐ 2 ｐ -1ｋ =0 ( - 1) ｋＣｋ2ｐ - 1ｚ2 ｐ - 1-ｋ ｚｋ=( 2ｉ) 1- 2 ｐ ｐ -1ｋ =0 ( - 1) ｋ　·Ｃｋ2ｐ - 1(ｚ2 ｐ - 1- 2ｋ- ｚ2 ｐ - 1- 2ｋ)(应用了Ｃｍｎ =Ｃｎ -ｍｎ …     

一道三角题的另几种解法

《中学生数学》(2 0 0 2年 4月上期中刊登的《一道三角题的几种解法》)给人启示很大 .今给出该题与另外几种解法与大家共享 .题目　若 0 <θ <π2 ,且 3ｓｉｎθ+4ｃｏｓθ =5 ,求ｔａｎθ .一、向量模型解解　由向量内积的坐标表示我们可以构造ａ—→ =(3 ,4) ,ｂ—→=(ｓｉｎθ ,ｃｏｓθ) ,设ａ—→ 与ｂ—→ 的夹角为α .由ａ—→·ｂ—→=|ａ—→||ｂ—→|ｃｏｓα得5 =3ｓｉｎθ +4ｃｏｓθ =5× 1×ｃｏｓα ,得　ｃｏｓα =1 (0°≤α≤ 1 80°) ,　∴　α =0°,即ａ—→ 与ｂ—→ 共线 ,　∴　ｔａｎθ=34.二、解析几何模型解解法…     

高一数学同步训练题

同步内容 :三角函数的图象和性质 ,多面体与旋转体　　 选择题 (共 14小题 ,第 1— 10题每小题 4分 ,第 11— 14题每小题 5分 ,共 6 0分 )1　已知集合Ｅ ={θ|ｃｏｓθ <ｓｉｎθ ,0≤θ <2π},Ｆ ={θ|ｔｇθ <ｓｉｎθ},那么Ｅ∩Ｆ为 (　　 )(Ａ) ( π2 ,π) .　　　 (Ｂ) ( π4 ,3π4 ) .(Ｃ) (π ,3π2 ) .　　 (Ｄ) ( 3π4 ,5π4 ) .2　函数 ｙ =3ｃｏｓ( 15π2 - 2ｘ3)是 (　　 )(Ａ)奇函数 .　　　　 (Ｂ)偶函数 .(Ｃ)既奇又偶函数 .　 (Ｄ)非奇非偶函数 .3　设Ｍ ={正四棱柱 },Ｎ ={长方体 },Ｐ ={直四棱柱 },Ｑ ={正方体 },则这四…     

巧设公差(公比)解三角题

有些三角题 ,看起来似乎与数列毫不相干 ,但仔细观察 ,便可发现它们的条件中隐含着等差 (或等比 )数列的因素 ,通过巧设公差(或公比 )可以改变问题的结构 ,促成问题的解决 .请看几例 .例 1　 (1991年上海市高三数学竞赛题 )已知ｓｉｎθ ｃｏｓθ =2 ,试求 (ｌｏｇ12 ｓｉｎθ)·(ｌｏｇ12ｃｏｓθ)的值 .(1991年上海市高三数学竞赛题 )解　∵ｓｉｎθ ｃｏｓθ =2 =2× 22 ,∴ｓｉｎθ ,22 ,ｃｏｓθ成等差数列 .令ｓｉｎθ =22 -ｄ ,ｃｏｓθ =22 ｄ .由ｓｉｎ2 θ ｃｏｓ2 θ =1,得(22 -ｄ) 2 (22 ｄ) 2 =1,解得ｄ =0 .∴ｓｉｎθ…     

一道三角函数题的多种解法和推论

我们常会遇到含有某个角α的多种倍角 (如α ,2α ,3α)的三角函数式的求值或化简的问题 .对于这类问题 ,除了要用到三角公式外 ,我们还可以联想其它数学知识 ,巧妙地解决问题 .在此 ,举一例以说明 .例　求ｃｏｓπ7-ｃｏｓ2π7+ｃｏｓ3π7的值 .分析 1:式中各项均由ｃｏｓｎπ7构成 ,可以考虑分别乘以ｓｉｎ π7,利用积化和差公式化简该式 .解　原式 =ｓｉｎ π7(ｃｏｓ π7-ｃｏｓ2π7+ｃｏｓ3π7)ｓｉｎ π7=12 ｓｉｎ2π7- 12 (ｓｉｎ3π7-ｓｉｎ π7) + 12 (ｓｉｎ4π7-ｓｉｎ2π7)ｓｉｎ π7.=ｓｉｎ2π7-ｓｉｎ3π7+ｓｉｎ π7+ｓｉ…     

两角互余的几个等价条件

结论 1　已知α ,β为税角 ,ｋ≥ 0 ,则α +β=π2 的充要条件是ｓｉｎｋ + 2 αｃｏｓｋβ + ｓｉｎｋ + 2 βｃｏｓｋα =1 .证　必要性是显然的 ,充分性 :ｓｉｎｋ + 2 αｃｏｓｋβ + ｓｉｎｋ+ 2 βｃｏｓｋα =1 =ｃｏｓ2 β +ｓｉｎ2 β .ｓｉｎｋ + 2 α-ｃｏｓｋ + 2 βｃｏｓｋβ =ｓｉｎ2 β(ｃｏｓｋα -ｓｉｎｋβ)ｃｏｓｋα .假设α + β >π2 ,则α >π2 - β ,β >π2 -α ,∵α ,β ,π2 -α ,π2 - β∈ 0 ,π2 ,∴ｃｏｓα <ｃｏｓ π2 - β =ｓｉｎβ ,　ｃｏｓβ <ｃｏｓ π2 -α =ｓｉｎα ,从而ｓｉｎｋ + 2 α -ｃ…     

一道错题

错题　 (本刊 2 0 0 2年第 14 ,16期Ｐ31第 15题 )设α ,β ,γ∈ 0 ,π2 ,且ｓｉｎα +ｓｉｎγ =ｓｉｎβ ,ｃｏｓα+ｃｏｓγ =ｃｏｓβ ,则 β -α等于 (　　 )(Ａ) - π3.　 (Ｂ) π6 .　 (Ｃ) π3或 - π3.　 (Ｄ) π3.错因　因α ,β ,γ都是锐角 ,故ｓｉｎα ,ｓｉｎβ ,ｓｉｎγ及ｃｏｓα ,ｃｏｓβ ,ｃｏｓγ均为正值 ,于是 0 <ｓｉｎα <ｓｉｎβ及0 <ｃｏｓα <ｃｏｓβ ,从而ｓｉｎ2 α +ｃｏｓ2 α <ｓｉｎ2 β +ｃｏｓ2 β ,矛盾 .题设条件不相容 ,原题是一道错题 .修正　将条件“ｃｏｓα +ｃｏｓγ =ｃｏｓβ”换为“ｃｏ…     

数学问题解答

20 0 1年 6月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 31 6　已知ｓｉｎ3θ-ｃｏｓ3θ=22 ,求ｓｉｎθ-ｃｏｓθ的值 .(南昌大学附中　宋庆　 330 0 2 9)解　令ｓｉｎθ -ｃｏｓθ =ｔ,则 ｜ｔ｜≤ 2 ,且ｓｉｎθｃｏｓθ =12 (1 -ｔ2 ) .∴　 22 =ｓｉｎ3θ-ｃｏｓ3θ= (ｓｉｎθ-ｃｏｓθ) (ｓｉｎ2 ｓｉｎθｃｏｓθ ｃｏｓ2 θ)=ｔ[1 12 (1 -ｔ2 ) ]=- 12 ｔ3 32 ｔ.∴　ｔ3- 3ｔ 2 =0 ,∴　ｔ(ｔ2 - 2 ) - (ｔ- 2 ) =0 ,∴　 (ｔ- 2 ) (ｔ2 2ｔ- 1 ) =0 ,∴　ｔ=2或ｔ=6- 22 ,∴　ｓｉｎθ-ｃｏｓθ的值为 2或 6- 22 .1 31 7　△ＡＢＣ…     

并不恒等的三角“恒等”变换

“三角恒等变换”是学习三角知识及探索三角问题的一种重要方法 ,是学生必须要掌握的一块重要内容 .但很多学生却由于概念不清、忽视角的取值范围等原因把并不恒等的三角变形看成恒等的三角变形 .本文举数例说明如下 .1　求角例 1　已知ｓｉｎα =2ｃｏｓβ ,ｔｇα =3ｃｔｇβ ,- π2 <α <π2 ,0 <β<π ,求角α,β.错解 :由已知得 :ｃｓｃ2 α =12ｃｏｓ2 β,ｃｔｇ2 α=13ｔｇ2 β (1)∵ｃｓｃ2 α =1 ｃｔｇ2 α (2 )∴ 12ｃｏｓ2 β=13ｔｇ2 β 1(3)∴ 1=12ｃｏｓ2 β- 13ｔｇ2 β =3- 2ｓｉｎ2 β6ｃｏｓ2 β .∴ 6ｃｏｓ2 β=3- 2…     

巧用三角换元法妙解无理不等式

众所周知 ,解无理不等式的常规方法是通过平方 ,把无理不等式转化为有理不等式求解 .笔者发现 ,许多无理不等式 ,若能根据题设条件巧妙地采取三角换元 ,也能实现化无理为有理、化难为易、化繁为简的目的 .下面以几道名题为例予以说明 .例 1　 (第四届ＩＭＯ试题 )解不等式3 -ｘ -ｘ 1>12 .解　∵ ( 3 -ｘ) 2 (ｘ 1) 2 =4,∴可令 3 -ｘ =4ｓｉｎ2 θ ,ｘ 1=4ｃｏｓ2 θ ,θ∈[0 ,π2 ] .则原不等式化为2ｓｉｎθ -2ｃｏｓθ >12 ,即2ｓｉｎθ >2ｃｏｓθ 12 .由θ∈ [0 ,π2 ]可知 ,2ｃｏｓθ 12 >0 ,两边平方并整理 ,得3 2ｃｏｓ2 θ …