關于高中平面幾何中的相似法作圖問题

在目前所用的高中平面幾何課本(劉編)中講到用相似法作圖問題,它是以相似變換爲基礎的,在該書§34中首先講到用已知線段爲一邊,作一個多邊形和一個已知的多邊形相似,由這個作圖說明相似多邊形存在,接着在§36,§37中介紹了相似比及相似變換的定義,然後在§39中講到依定此作一個已知多邊形的相似多邊形,並在§40中指出相似中心的位置,§41,§43中又分別講到位似形定義以及相似圓的定義和定理,這一切都為§46相似法作圖打下理論基礎,在§46中正式講到用相似法作圖並舉出三個例題,     

中学平面解析几何課中“直綫”部分的教学

在中学平面解析几何課中,“直线”这部分的具体内容主要包含“直綫的傾斜角和斜率”、“直綫方程的一般形式”、“直綫方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式”、“点与直线的位置关系”、“直綫与直綫的位置关系”等五部分。其中直綫的傾斜角和斜率这一部分,有些課本是放在第一章直角坐标系中讲的。在这五部分的教材中,一般常是这样編排的: 1.直綫的傾斜角和斜率; 2.直綫方程的点斜式、斜截式,两点式、截距式; 3.直綫方程的一般形式;     

初中平面几何头十六課的教学(續)

第13課 这节課教学垂線和斜線(§26)。为了巩固上节課所講的教材,这节課在开始的时候,可以多花費一些时間进行复習,例如提問学生:怎样的角叫做鄰补角、对頂角?同角的鄰补角的性質怎样?为什么?对顶角的性質怎样?为什么?另外可以从上节課的复習巩固材料中选取几題进行提問。最后提問:“兩条直     

拟柱体积与中国堤积公式

§1.拟柱公式 1.拟柱是平面图形梯形概念在三維空間的推广。在平行两直綫上各任取一綫段(图1 AB,CD),又用綫段連結同側端点(如AC,BD)。此四綫段围成的多边形是梯形,三角形、平行四边形是梯形的特殊情况。平行两平面上各任取一多边形(图2“上底”五边     

数学教学中的实驗、直觉与邏輯(續)

§7 許多实际間題和理論問題的解决都需要知道三角形的內角和等于多少。 1.問学生:直觉能告訴我們三角形內角和是多少嗎?总是很快就得到回答說:“不,直覺沉默了。”应該采取什么措施呢?首先用实驗方法試試看。让学生“在练习本上画三个不在一条直綫上的点,用綫段把它們联結起来,量一量所得三角形的每一个角,并且算出所得三个数的和”。用实驗方法求三角形內角和通常得到:180°,179°.5,179°,181°.5,181°,…等不同的数值。因为测量不可能完全精确,所以得到的只是三角形內角和的近似值,它提供了一个想法,三角形的內角和精确地或近似地等于180°。实驗提供了一个近似答案。 2.运用涉及任意三角形內角和的这个性貭的判断,可以得到关于一切三角形內角和等于多少的問題     

中学平面解析几何課中“曲綫和方程”部分的教学

在中学平面解析几何課中,“曲綫和方程”部分的具体內容主要是指“曲綫方程的意义”、“依已知曲綫求它的方程”、“就已知方程作出它的曲綫”等。其中后两部分常称为曲綫和方程的两个基本問題。由于直角坐标系的建立构成了平面上的点与有序实数偶間的一一对应,使平面解析几何中“就数論形”打下了物貭基础,从而在曲綫方程的概念中,再由于构成了某些方程与平面上的某些曲綫間的一一对应,进一步就使得平面解析几何中“就数論形”获得了現实意义。这就是說,由于曲綫是被看作具有某些共同性貭的点的軌迹,而曲綫方程正是具有某些共同性质的点在坐标平面上的坐标之間关系的反映,这样一来,几何中的形(点之間的关系)与代数中的数(数之間的关系)原为对立,而被揭示以統一,为“就数論形”与“依形判数”的相互轉化开辟了切实可行的途径。而全部平面解析几何的內容正是在这种相互轉化的过程中展     

数学问题解答

第9期问题编者按.这一期的問題里有打上星号*者,是編輯部极欢迎讀者給本刊投寄題解的題目。其题解研討将于年終发表。 493.证明在調和級数 1/1+1/2+1/3+…+1/n+…中划掉所有在分母中含有数字9的那些項(例如1/9,1/199,…,1/1093等)之后,所組成的部分新級数是收斂到一个不超过80的数(湯正誼提)。 494.设直綫PO与平面M相交于O,过O在平面M內引直綫OA,OB,OC,若PO与OA、OB、OC成等角,那末PO垂直于平面M(张美新)。 495.如果p和q是“孿生”素数(即相距为2的一     

关于具有(m,n)阶可表示奇異点的某种平面曲线对的研究

<正> §1.引言 过去,我們已經討論过具有高阶奇异点的某种特殊平面曲綫对.在[1]中討論了这样的平面曲綫对,它們相交于一个四阶可表示奇异点而且在該点具有不同切綫,从而获得了这对曲絕的一个射影不变式;又利用了曲线在奇异点的密切图形解释了所述的不变式.此外,选择了适当的坐标系导出曲綫的标准展开式,而且对于展开式中所有的絕对不变式     

数学教学中的实驗、直觉与邏輯

§ 1 在黑板上画一个半径为15cm的圆,过离圆心10cm的一点作一条直綫。显然,这条直綫交圓于两个点。这一知識是由实驗方法得到的。 設想在平面上画一个半径为15,000,000公里的圆,过离圓心10,000,000公里的一点作一条直綫。当然,你們会說,这条直綫也是与圆相交于两个点。你們并沒有看見这个圆,这条直綫也沒有真正作出来,你們这个信念的根据是什么呢?不可能实际地証实这样的直綫与圆相交。即使要証明这个定理也并非易事,而在中学阶段是不可能証明的。你們这个信念是一定的經驗与直觉所给与的。中学数学課不是、也不可能是具有严密邏輯系统的課程。許多数学事实是由实驗方法得到的,而只有一部分才經过了邏輯证明。为了改进数学教学,必須正确地理解在学生获得知識的过程中,实驗、直觉与邏輯的相互关系的意义。     

中学平面解析几何课中“直角坐标系”部分的教学

在中学平面解析几何課中,一般都从标题为“直角坐标系”的一章开始,其具体內容主要包含“有向綫段”、“平面直角坐标系”、“两点间的距离”、“綫段的定比分点”、“三角形的面积”等五部分。不言而喻,这一章的教材是这門課的最基础部分,学生只有将这一章学好了,才算是掌握了研究解析几何的最基本的工具,才有可能学好以后的各章教材。但是,如果将上述五部分联系起来,则又不难看出:由于“有向綫段”部分主要的是解决有向綫的概念、直綫上点的坐标、計算有向綫段的数量公式等問題,因此它是“平面直角坐标系”部分的理論基础。而对于“两点间的距离公式”、“綫段的定比分点”、“三角形的面积”这三部分说来,由于它們都是利用有向綫段的数量公式,根据“平面直角坐标系”中的知識来解决的,因     

数学綜合題

一、引言什么叫做綜合題?怎样解綜合題? 綜合題的本身也是一个題,实貭上就是牵涉面較广,內容較复杂的題目。但拆开来看看,也无非是几个互相关联的較簡单的习題。一切题目,包括綜合題在內,总是从已知求未知的过程。我們只要在已知量和未知量之間根据它們的相互制約关系,理出一个头緒来,那就会得到正确的解題路綫的。怎样理出头緒来呢?也不外乎从两个方面着手:一方面是从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,另一方面是从“未知”看“需知”,逐步追索到“已知”。两个方面汇合了,解題的路綫也就明确了,綜合題也就分散成     

談談中学立体几何中的平面的基本性貭

我們知道,中学几何并沒有按照严格的公理体系来进行研究,这是为了照顾学生的接受能力。因此,中学几何課本中的公理,只是在不违反科学性的原則下,选用了一些既明显而又适当照顾到推理中經常需要的事实,作为几何中推理的原始依据。在高級中学課本立体几何(暫用本)中,采用了以下三条作为平面的基本性貭,即(1)如果一条直綫上的两点在一个平面內,那么这条直綫上所有的点都在这个平面內;(2)如果两个平面有一个公共点,那末它們相交于經过这点的一条直綫;(3)不在一条直綫上的三     

一個作圖題的另外解法

本通報1953年1-2月號發表的“東北敬部編譯「平面幾何」中的三個作圖題”一文中第一題“求作一圓,切於已知角的一邊上的已知點,而於另一邊上截取一弦等於已知綫段”,現有文成宜和王麗庭兩位同志提出另外的解法,但兩位同志的解法賞大致相類,為省篇幅,我們經過改寫合併發表於下。 設P是已知角XOY的OX邊上的一個已知點,l為已知綫段,假定所求圓已經作出,它切OX於P點,截OY得AB弦,有AB=l(這裹AB與OY同向)。今將P點依OY的方向平移至Q點,使PQ=l,於是PQBA為平行四邊形;再以直綫OY為軸將Q點反射得Q′點,則有     

初中平面幾何課本上两個作圖题的讨论

在東北人民政府教育部編譯的初級中學教科書“平面幾何”中,§101舉了一個四边形的作图题,§102最末附問一個撞台球的問題。這兩題在劉薰宇編的初級中學課本“平面幾何”中,後者列為習題二九的第20題,前者作為§140的例2.前者在兩书中都僅有解法而無討論,後者在本通報1953年5月號“數學问题及解答欄”中(第27題)亦僅有解法而無討論。關於它們應如何討論,屢有讀者來函詢問,今筆者承編者同志的     

关于两个空間图形的画法

在数学通报1964年7月号呂烈翰同志写的“談談培养学生空間想象力”一文第22頁中,举了两个例題。例題举得不錯,很說明問題。但笔者对两个图形的画法有一点不同意見,提出来供大家参考。問題一,一个三面角的三个面角都是60°,从頂点起在一条棱上截取一条6厘米长的线段,求这线段的另一端点到棱所对的面的距离。文中所談图12左图是比較好的,这一点我是同意的。但作这个图时,須先明确下列三点: 1.由于SF是SA在平面BSC內的投影(图4);SA与SB,SC所成的角相等,所以SF是∠BSC的平分线。但由于图形所在位置的影响,水平面內的∠BSF与∠CSF是不一定相等的。 2.若将SF成水平綫,則∠ASF在正垂平面內,∠AF应垂直于SF,且各綫段的长度不改变。 3.因为SE=SG,∠SEG为等腰三角形;而SF是     

一元二次方程的几何解法

在別列标尔金著的初等几何学教程(第九章§77)中,曾討論过一元二次方程 x~2+px+q=0 (1)的作图問題,其依据是著名的韦达定理。下面要介紹的,是方程(1)的实根的一种几何表示方法,并用純几何方法对实根的个数給予一种新的解释,然后导出韦达定理及根的表达式。首先,在平面上,任取一水平位置的单位綫段AB(图1),过B作BC垂直于AB,使BC的长等于p的絕对值,并且,若p>0,則令C在B之上方,若p<0,則令C在B之下方(图1)。再过C作CD垂直于BC,使CD     

談談“求一個數的幾分之幾”的講法

記得去年曾聽到同志們談論“求一個數的幾分之幾”的問題,都認為“不好講”或“同學不容易接受”,今年又聽到和去年相同的論調,因此,就決定把它當作目前存在的問題提出來,以便引起同志們的研究、討論,更好地改進我們的教學。當我們講授初中算術第二分冊§150時,同學們或多或少地曾提出一些問題來,如“這不是和乘法一樣嗎,”“太麻煩,我們用乘法作行不行?”“……?”這是一個必然的過程,從提問當中我們可發覺同學們是進步了;因為他們已經懂得如何應用已學的知識解決實際問題,同時還知道應用簡便的方法比麻煩的方法好,這對於數學這門課程來說是難能而可貴的。是不是說就等於答應同學們的要求了呢?我     

培养学生邏輯思維能力的一个例

往往有很多学生課堂上能听懂教师所講的內容,但是一碰到比較困难的問題,就戚到無从入手;这主要是因为:教师在課堂上沒有很好的讓学生積極思維,而学生所得到的僅是些知其然而不知共所以然的知識。我認为一个教师在講課时,不应該把每个定理或題目的証明平舖直叙的講給学生听,也不应該把題中所要作的补助綫毫無啟發性地告     

投影平面及其拓扑結构

在代数学里,方程式的研究使得数的概念逐漸扩充起来。这种扩充就是把新的元素(新数)添加到原来的数集中去,对于这些新数說来,正演算(加法,乘法,乘方)的一切基本性貭都成立。添加新数的目的,是为了在扩充了的系統中得以施行逆演算。几何学里我們也有类似的东西。这里的基本运算是:通过两个不同的点引直綫,以及通过一条直綫和不在它上面的点引平面;这些运算在几何学里总是可以施行的。然而求(同一平面上的)两条直綫的交点,求直綫和平面的交点,以及求两张平面的交綫,却并不是常常可以施行的。这种情况的出現,使得在陈述关于点,直綫和平面的相互位置的几何定理时,引出許許多多的例外。对于所考虑的問題說来,这种破坏結論普遍性的最重要的典型例子就是透視对应。     

圓錐曲綫小史

人民教育出版社出版的《平面解析几何》引言上說:“解析几何产生在17世紀初期。由于当时生产的发展,各种科学和生产技术都有了很大进步,这就迫切需要解决随着发生的許多数学上的問題。……因而有关圓錐曲线的計算就成为迫切需要。解析几何就是由于这种需要而产生的”。本文就圓錐曲线发展的历史,略作介紹。不足之处在所难免,尚希讀者指正。 (一) 圓錐曲綫研究的起源 圓錐曲线的研究,起源于希腊。它与几何三大問題中的二倍立方問題有关。几何三人问題曾轰传一时,研究者很多,曾研究过二倍立方問題的希腊学者計有:阿契塔(Archytas,約公元前428-347),拍拉图(Plato,約公元前427-347),欧多克斯(Eudoxus,約公元前408-355)及蒙爱启瑪斯(Meneachmus,約公元前375-325)等。蒙爱启瑪斯是欧多克斯的門徒,可能受到阿契塔及欧多克斯的启发;他的解法也可能是希腊学者研究的总汇。取三个正圆錐,一为直角,一为銳角,另一个是鈍角的,各作一平面垂直于一条母线,并与圓錐相截;称截线为“直角圓錐截线”、“銳角圓錐截线”、“鈍角圓錐截綫”;(即今之抛