一道试题的背景研究及其推广

定理如果一个虚数的三次方是实数,那么,这个虚数必有形式Aw或Aw2,其中,w是1的立方虚根,A∈R且A≠0.证法1设z=r(cosθ isinθ),r∈R且r≠0,sinθ≠0,ω=-12 32i=cos23π i sin2π3,则z3=r3(cos3θ i sin3θ)∈R,∴sin3θ=0.3θ=kπ,θ=kπ3,k∈Z.1)当k=6n(n∈Z,下同)时,θ=2nπ,     

2007年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

数学(理科)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,选择一个符合题目要求的选项.1.若z=cosθ isinθ(i为虚数单位),则z2=-1的θ值可能是A.6πB.4πC.3πD.2π2.已知集合M={-1,1},N=x21<2x 1<4,x∈Z,则M∩N=A.{-1,1}B.{-1}C.{0}D.     

sum from 1 to n cos[θ+2(i-1)π/n]=0的几何证明

容易证明:cosπ/3+cos3π/3+cos5π/5=0;cosπ/5+cos3π/5+cos5π/5+cos7π/5+cos9π/5=0;cosπ/7+cos3π/7+Cos5π/7+Cos7π/5+cos9π/7+cos11π/7+cos13π/7=0; …等等。容易猜到,这类问题的一般结论应该是: sum form 1 to n(cos〔θ+2(i-1)π/n〕=0(Ⅰ) 关于它的证明,方法很多,其中常见的有代数法、复数法、三角法等等,但这些方法一般很冗长。这里,我们给出一种简捷的证明方法——几何(射影)法。     

"演绎式"与"归纳式"的教学——以复数的开方为例

最近,笔者去听了一节数学示范课<复数的开方>,是一位数学特级教师讲的,大致流程是这样的: (1)通过(√3/2+(1/2)i)3=(cos(π/6)+isin(π/6))3=cos(π/2)+isin(π/2)=i引入复数的n次方根的定义:如果复数ω满足wn=z(n∈N,且n≥2,z=∈C),那么ω就叫做复数z的一个n次方根,接着就举了这样两个例子:(1+i)2=2i,所以1+i是2i的一个平方根;(√3/2+(1/2)i)3=i,所以√3/2+(1/2)i是i的一个立方根.     

一类函数题的“是”与“非”初探

题已知f(cosx)=sin3x,求f(sinx)(该题可见诸于多种资料)解f(sinx)=f[cos(π2-x)]=sin3(2π-x)=-cos3x.[1]又解f(sinx)=f[cos(x-2π)]=sin3(x-2π)=cos3x.上述两种解答方法实际上一样,但结果明显不同,问题出在哪里呢?下面看题目给出的条件:f(cosx)=sin3x,不妨令x=6π,得f(23)=1;再令x=-6π,得f(23)=-1,即对于f(23),有±1两个值与之对应,从对应方式来看,存在一对多的情况.按照高中教材对函数的定义,这种对应不能称为函数.进一步分析发现:f(cosx)=sin3x=3sinx-4sin3x=sinx(4cos2x-1),其中的sinx不能用含cosx的式子唯一地表示(sinx=±1-cos2x).…     

二阶齐次递推数列具有周期性的一个充分条件

文[1]中曾给出如下定理:数列{an}满足an 2=pan 1-an,且p=2cos2kπ(k>2,k∈N ),则k是它的一个周期.文[2]中又将其进一步加强为k即是其最小正周期.换句话说,若p=2cos2kπ,则该数列就是以k为最小正周期的周期数列.那么,对于一般地二阶齐次递推数列{an},满足an 2 pan 1 qan=0(p,q∈R,n∈N ),当p,q满足什么条件时就会使其具有周期性呢?笔者通过分析,寻求到了使该数列具有周期性的一个充分条件:q=1且|p|<2.证对于数列{an},其特征方程为x2 px q=0,假若Δ=p2-4q<0,则其有一对共轭虚根:x1=r(cosθ isinθ),x2=r(cosθ-isinθ),其中θ∈(0,π),r>0.…     

一道三角函数题参考答案的探究

<正>近日做到这样一道题目:已知f(sinθ)=cos2θ+cosθ.(1)求y=f(cosx)解析式;(2)求(1)中函数在x∈[0,π/2]上的最大值和最小值.参考答案是:解(1)∵cosx=sin(π/2-x),∴y=f(cosx)=f[sin(π/2-x)]=cos[2(π/2-x)]+cos(π/2-x)=cos (π-2x)+sinx=-cos2+sinx=     

一类复数三角形式的图解技巧

本文的目的在于把下面一些复数化为三角形式或者求辐角主值: -2(cos(π/7)-isin(π/7)); -3~(1/2)(sin(5π/3) icos(5π/3)); 1 itgθ, (θ在第二象限);一般可归纳为以下三个步骤: 第一步,把括号内化成cosθ isinθ的形式; 第二步,若括号前是负数-r(r>0),则先在复平面内找出与     

2011年清华金秋营数学试题及解答

1.求sinπnsin2πn…sin(n-1)πn的值.解设ε=cosπn+isinπn(i为虚数单位),则1,ε,ε2,…,ε2(n-1)为x2n-1=0的根,且sinkπn=εk-ε-k2i=ε2k-12iεk,所以sinπnsin2πn…sin(n-1)πn=(ε2-1)(ε4-1)…[ε2(n-1)-1]2n-1in-1ε12n(n-1)()n-1(2)(4)…[2(n-1)]     

为什么规定复数0的辐角是任意的

规定复数0的辐角是任意的,就是规定模为0的复数可以有任意辐角值但不随辐角的变化而变化,实质上也就是规定复数0是唯一的。为什么如此规定呢? 首先从正面解释。设复数z_1、z_2的模为0,辐角分别为θ_1、θ_2。将z_1、z_2分别写成三角形式: z_1=O(cosθ_1 isinθ_1),z_2=O(cosθ_2 isinθ_2) 因为:可与实效一起按实效的四则运算法则进行四则运算,所以对任意的θ_1,θ_2都有: z_1=O·cosθ_1 i·O·sinθ_1=O Oi z_2=O·cosθ_2 i·O·sinθ_2=O Oi 所以z_1=z_2=O 注意:这里利用了对虚数单位:的规定和复数相     

“求复平面上点的轨迹”初探

我们将处理复平面上的点轨迹问题,归纳其解法如下,供参考。一、定义法。所谓定义法就是应用实数、复数相等等概念处理点的轨迹问题。例1 已知复数z_1=cosθ isinθ(0≤θ<π),z_2=1 4cos2θ i4sin2θ,若复数z=z_2·z_1~(-1),试求复数z所对应的动点轨迹的普通方程。解:∵z=z_2·z_1~(-1)=(1 4cos2θ i4sin2θ)·(cosθ isinθ)~(-1)=(1 4cos2θ i4sin2θ)[cos(-θ) isin(-θ)]=5cosθ i·3sinθ, 设复数z=x yi(x,y∈R),根据复数相等的     

2007年普通高等学校招生全国统一考试 山东数学(理科)

一、选择题:本大题共12小题,共60分1.若z=cosθ isinθ(i为虚数单位),则使z2=-1的θ值可能是A.6πB.4πC.3πD.2π2.已知集合M={-1,1},N={x|21<2x 1<4,x∈Z},则M∩N=A.{-1,1}B.{-1}C.{0}D.{-1,0}3.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个A视.图①相②同的是B.①③C.①④D.②④4.设α∈-1,1,21,3,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,35.函数y=sin2x π6 cos2x 3π的最小正周期和最大值分别为A.π,1B.π,2C.2π,1D.2π,26.给出下列三个等式:f(xy)=f(x) f(y),f(x y)=f(x)f(y),f(x y)=f(x) f(y)…     

一类复数题的解答与剖析

在许多期刊中,常有如下一类题:1.设|z|=1,z~5 z=1,求复数z;2.设|z|=1,z~2 z=1.求复数z;3.设|z|=1.z~(11) z=1,求复数z。这类题目的一般形式是:设|z|=1,z~n 2=1(n∈N),求复数z。 此时,按所提供的解法一般有如下两种: 解法1 设z=cosθ isinθ,     

点击一类解三角形的问题——从一道题的错解谈起

题目已知△ABC中,sinA=45,cosB=12,求cosC.错解:∵cosB=12,0相似文献   

一个条件,多种结论

若α、β、γ满足: sinα sinβ sinγ=0 (1) cocα cosβ cosγ=0 (2)则有 sinα=-(sinβ sinγ)(3) cosα=-(cosβ cosγ) (4) (3)的平方加上(4)的平方得: cos(β-γ)=-1/2 (5) 这是我们要证的第一个结论由(5)还可得:β-γ=2/3π 2kπ其中k∈Z。同理可证:γ-α=2/3π 2kπ,α-β=2/3π 2kπ、因此,在(1)、(2)条件下,有结论:α、β、γ依次相差2/3π 2kπ,(k∈Z)——这是要证的第二个结论。     

是两条还是一条?

题目试判断极坐标方程ρ~2cosθ-ρ=0表示的曲线是什么? 解法一方程两边同乘以cosθ得: ρ~2cos~2θ-ρcosθ=0 化为直角坐标方程为:x~2-x=0 即 x=0或x=1 所以,原方程表示两条互相垂直的直线。     

趣谈三角恒等式的拆分

1　 引言文 [1 ]对如下数学问题进行了推广 :求 cosπ1 3+ cos3π1 3+ cos9π1 3的值 .利用电脑编程求得( 1 ) cos3π1 7+ cos5π1 7+ cos7π1 7+ cos1 1π1 7= 1 + 1 74 .为方便计 ,记等式左边为 ( 3,5,7,1 1 ) 17,于是 ,其它结果为( 1 ) ( 1 ,9,1 3,1 5) 17=1 - 1 74 ,( 2 ) ( 1 ,5,7,9,1 3,2 3,2 5) 2 9=1 + 2 94 ,( 2′) ( 3,1 1 ,1 5,1 7,1 9,2 1 ,2 7) 2 9=　　 1 - 2 94 ,…这事实上是对∑2 nk=1cos2 k - 14 n + 1 π =12的一种拆分 .文 [1 ]指出 ,当 n =2 ,5,6 ,8,1 1 ,1 2 ,1 4时 ,无相应结果 .并给出两个猜想 .猜想 1　若自然数 n…     

Euler公式对几道三角赛题的应用

学过复分析的人都知道如下的 Euler公式 :eix =cos x isin x,其中 i2 =- 1 .由此我们可以解出sin x =eix - e-ix2 i ,cos x =eix e-ix2 ,这是两个基本的三角函数 ,其它的几个三角函数 tan x,cot x,sec x,csc x是次要的 ,它们可由 sin x和 cos x表示出来 .从这个观点看 ,这 6个三角函数都是 eix的有理函数 ,从而每个三角函数问题可以化归到 eix 的有理函数问题加以解决 ,这是一种高等数学的视野 .为说明这点 ,我们给出上述的三角函数表达式对几道三角赛题的应用 .例 1　设 n是大于 1的自然数 ,则cos2πn cos4πn cos6πn … cos2 nπn =0…     

“一题多解”与“一题多变”一例

“一题多解”与“一题多变”,可以培养学生多角度、多层次地去思考问题和解决问题,从而养成积极思维的习惯。同时也是引导学生认真钻研课本、从“题海”中解放出来的有效措施。现举高中代数(甲种本)第二册P.239第18题为例: 已知复平面内一个等边三角形的两个顶点分别表示复数1,2 i,求第三个顶点对应的复数。分析:怎样由向量z_1z_2得到向量z_1z_2? 解一设z_1=1, z_2=2 i, z_3=x_3 y_3i, z_4=x_4 y_4i 依题意: z_1z_3=z_1z_2(cos(π)/3 isin(π)/3),     

函数单调性选择题

1 函数y=log_(3/π)(x~2-1)的减区间是(A)(0.∞); (B)(-∞,0);(C)(1,∞); (D)(-∞,-1)。2 函数y=cos(-x)的增区间是(k∈Z)(A) [2kπ,(2k+1)π];(B) [(2k-1)π,2kπ];(C) [2kπ-π/2,2kπ+π/2];(D) [2kπ+π/2,2kπ+3/2π]。