外微分形式及其在物理问题中的应用

外微分形式可以说是这样的一些量,在它们上面可以施行外积(即反对称化的直积)运算、外微分(与微分算子的外积)运算以及积分运算.用外微分形式表述的物理定律具有特别简洁的形式,而且计算是自然的和自动的,不受空间维数的限制,也不必记住矢量分析中的许多公式.本文将以简化了的方式介绍外微分形式的理论概要,并以电磁学为例介绍它的应用. 一、外 代 数 设有定义在数域K上的n维线性空间E,它的点(又叫向量)是具有形式的n个数的有序集合.我们在E的元素间引入一种运算,叫做外积,用符号“”表示.p个向量u1,u2…up的外积是一个具有如下性质的量: …     

跨界面目标电磁散射Sommerfeld积分的双重广义函数束拟合离散复镜像方法

混合势积分方程（mixed-potential electric field integral equation, MPIE）由于其Green函数的低阶奇异性是矩量法（MoM）等数值方法求解散射问题的主要方程.在跨界面目标的散射问题中,MPIE中的矢量势和标量势Green函数包含Sommerfeld类型的谱域积分,利用离散复镜像法（discrete complex image method, DCIM）和Sommerfeld恒等式,将其转化为有限项复镜像Green函数的求和运算,避免了烦杂的谱域积分运算. 关键词： Sommerfeld积分 离散复镜像法 广义函数束     

用级数拟合求圆电流磁场解析解

采用将圆电流磁矢势表达式中一部分展成分数，使被积函数变成可积分的函数，用解析函数拟合积分的级数，代替无穷级数求和运算，得到可以计算圆电流在空间任保一点磁场的解析解，解决了计算非近轴区圆电流磁场问题。     

定积分在高中物理中的应用

定积分是研究物理问题的重要数学方法,其本质是连续函数的求和.在高中物理教学中适当地渗透定积分“分割、建立微元、求和”的思想方法,有助于学生对物理概念的准确理解和辨析,有助于提升学生运用数学知识处理物理问题的能力以及拓展思维空间.本文以变力做功、力的两种平均值、交流电的有效值等问题为例,介绍定积分在高中物理中的应用.     

从微积分始创谈力学开端教学

简介了牛顿和莱布尼兹对微积分建立的贡献,探讨了极限和导数的动机.通过剖析"绳子匀速拉船,求船速度和加速度"的案例,综合地将坐标系、矢量、微分加以应用.使学生理解质点速度沿其轨迹切线方向的运动规律,及矢量投影分解的物理要求.     

"电动力学"中的矢量及矢量微分运算浅析

物理学专业四大力学中,相对而言常有学生反映学习《电动力学》面临的难度明显大一些.本文根据教学经历对此作一个粗浅的分析,表明难点就在于是否使初学者充分认识矢量及其矢量微分运算的特殊基础地位.因为“电动力学”要同时研究电磁系统的时间演化和空间局域作用,所以从基本方程的形式到方程的求解,从恒定场到电磁场辐射,各部分内容无一能够离开矢量及其矢量微分运算,因而物理规律的表达形式和相关的数学运算过程都相对比较复杂.只有充分理解矢量本身的定义,熟悉对它的矢量微分运算,才能合理表达和深刻理解各部分物理定律及其应用.     

电磁学中矢量点叉积的积分运算

电磁学的教学实践中,矢量点叉积的积分运算随处可见,令许多同学望而生畏.为解决这一问题,对电磁学中所涉及的矢量积分进行了归类,发现无非是点积、叉积、混合积的积分,并举例说明了积分运算的方法,尤其是引入了右正交标架.     

微分几何法求解单位矢量的空间导数

利用微分几何与矢量极限的方法及坐标系间的关联推导了常见曲线坐标系中单位矢量的空间导数.推导过程简洁直观,便于理解,方便在物理教学及实践中运用.     

巧用椭圆轨道推导引力势能公式

引力势能公式的推导在物理思想上通常是利用引力做功等于引力势能变化的负值得出.由于引力是变力,在计算引力做功时,在数学方法上通常是用积分运算.在高中将其作为拓展内容给学生介绍时,一般是将物体的位移分成许多小段,将每一小段的引力看成"恒力",将每一小段"恒力"做的功求和得出引力做的总功,这在本质上还是积分运算.     

常用数学工具在热力学关系式证明中的应用

对热力学中常用的数学工具如多元函数的导数及其全微分、雅可比行列式、勒让德变换、复合函数求导等进行了简单介绍,并由热力学基本规律出发,在充分分析基本热力学关系式特点的基础上,较系统地归纳出6种解决热力学关系式证明的方法,对每一种方法都给出了适用的要点,并以典型例题进行了说明.     

论微分约束系统的d-δ对易关系

利用Frobenius可积性定理,研究微分约束系统一个重要的变分法问题：微分运算与变分运算的对易关系. 文中以微分约束的Frobenius可积性理论为依据,在分析线性稳定微分约束系统和仿射微分约束系统的d-δ对易关系基础上,简要论证了微分与变分的非对易子与微分约束的非完整性之间的关系. 对非线性微分约束系统的微分与变分运算的对易关系作了讨论. 给出了三个实例来验证结论. 关键词： 非完整约束 Frobenius可积性 d-δ对易关系     

李导数一种新的讲授方式

李导数是微分流形上的一类重要导数算子,在数学和物理上都有着广泛的应用.本文给出关于李导数一种新的讲授方式.不同于通常教材利用推前和拉回映射定义李导数,本文首先介绍了流形上光滑矢量场的适配坐标系的概念,然后给出了流形上的任意光滑矢量场沿某一给定矢量场的李导数在适配坐标下的定义.在此基础上,我们证明了这一新定义与具体适配坐标系的选择无关.进一步地,我们给出了矢量场李导数在任意坐标系下的表达式,与通常教材中定义的李导数相衔接.与通常的教材引入李导数的方式相比,本文采用的讲授方式更便于初学者理解和掌握.本文对矢量场李导数的处理方式,可以自然推广到流形上的任意张量场李导数.     

Kerr时空赤道面上零测地线方程的严格求解

运用欧拉-拉格朗日方程给出了Kerr时空赤道面上的零测地线方程并求出两个首次积分,结合零测地线所满足的恒等式求得轨道微分方程.通过把被积函数化成部分分式,以及解出被积函数中的一个四次方程并对根进行排序,可把轨道微分方程的解表示成第一类椭圆积分和第三类椭圆积分.     

矢量场穿过运动高斯面的通量随时间变化率的严密理论

证明了当计算矢量场穿过运动高斯面的通量随时间的变化率时,积分符号与求导符号的顺序是可以交换的.导出了运动曲面上的面元矢量随时间变化率的公式.给出了矢量场穿过运动高斯面的通量随时间变化率的几种算法.     

矢量场类比法在电磁学教学中的应用探讨

电磁学是物理学的重要分支,但是学生总觉得这部分知识很难学,对于高斯定理和环路定理的理解也比较模糊.本文推广矢量场类比法,将矢量场类比为流体中的流速场,用水的流量类比为通量,流速沿环路的分量类比为环量.通过研究流体中的"起点"和"终点",类比为矢量场中"源"和"汇",用流体里的"漩涡"类比矢量场的"涡旋",并引出高斯定理和环路定理,让学生理解这些定理背后的物理含义.这种方法对后续学习电场强度通量、磁感应强度通量、电场线和磁感应线都有帮助,也有助于理解电场"有源无旋"和磁场"有旋无源"的性质.     

自动微分及其在物理模拟中的应用

自动微分是利用计算机自动化求导的技术,最近几十年因为它在机器学习研究中的应用而被很多人了解.如今越来越多的科学工作者意识到,高效、自动化的求导可以为很多科学问题的求解提供新的思路,其中自动微分在物理模拟中的应用尤为重要,而且具有挑战性.物理系统的可微分模拟可以帮助解决混沌理论、电磁学、地震学、海洋学等领域中的很多重要问题,但又因为其对计算时间和空间的苛刻要求而对自动微分技术本身提出了挑战.本文回顾了将自动微分技术运用到物理模拟中的几种方法,并横向对比它们在计算时间、空间和精度方面的优势和劣势.这些自动微分技术包括伴随状态法,前向自动微分,后向自动微分,以及可逆计算自动微分.     

积分求解余弦分布球面电荷的电场

积分求解了余弦分布球面电荷(σ=σ0cosθ)的电场.首先合成场点所张立体角在球面所围的2个面元上电荷元的磁场,被积函数是容易积分的单变量三角函数.积分得到的总合成电场与已有结果相同.     

谈“ 极限”思想及其求速度 加速度的应用

结合物理学科知识, 介绍了物理学中的“ 极限”思想, 并通过运动学中的两个典型例题, 详细分析了“ 极 限”思想求解物体的瞬时速度、 瞬时加速度的方法与思路. 这种方法只需要学生具备初等数学的知识, 就能加深对 物理量瞬时值的理解; 同时, 对学生今后学习导数的概念也具有重要的启发意义     

一般Hartmann势Klein-Gordon方程的束缚态

用分离变量方法讨论了在一般Hartmann标量势和矢量势相等条件下Klein-Gordon方程的束缚态解.体系的性质与三个量子数及一般Hartmann势的势参数有关.给出了用广义连带勒让德多项式表示的归一化角向波函数和用合流超几何函数表示的归一化径向波函数,获得了精确的束缚态能谱方程.氢原子势、类氢原子势和Hartmann势是本文一般Hartmann势的三个特例.     

基于反正规序技术的Weyl对应规则

利用微分-积分技巧和算符微商方法研究Wigner算符和Weyl对应规则,给出了Wigner算符的正规序形式,得到了一些特殊函数的新的微分形式.更有意义的是克服了积分发散的困难,给出了Wigner算符和Weyl对应规则的反正规序微分型表示式.最后给出几个计算实例.