由f[g(x)]求f(x)的思考

在中学数学中复合函数是一种很常见的函数 .各种资料、杂志上对它的研究很多 ,但其中由ｆ[ｇ(ｘ) ]求ｆ(ｘ)的定义域和求ｆ(ｘ)的问题在各种资料中常常写法不一 ,存在着疑问 ,给教学带来了困惑 ,值得商榷 .第一个问题 :由ｆ[ｇ(ｘ) ]求ｆ(ｘ)的定义域 .问题 1　已知ｆ(1 -ｓｉｎｘ) =ｃｏｓ2 ｘ,求ｆ(ｘ)的定义域 .对这类问题各种教学参考书的处理一般都是 :令 1 -ｓｉｎｘ =ｔ得ｓｉｎｘ=1 -ｔ,ｓｉｎ2 ｘ=(1 -ｔ) 2 =1 -ｃｏｓ2 ｘ即ｃｏｓ2 ｘ =2ｔ-ｔ2 ,所以ｆ(ｔ) =2ｔ-ｔ2 ,又因为 -1 ≤ｓｉｎｘ=1 -ｔ≤ 1所以 0≤ｔ≤ 2 ,所以ｆ(ｘ)…     

lim f[φ(x)]from(x→(x_0))=f[limφ(x)]from(x→(x_0))?

<正> 这里问号“?”的含意是,等式两边是否一定同时存在?倘若同时存在,它们是否一定相等?它们同时存在且相等的条件又是什么? 不是任何两个可以复合的函数这个等式的两边都有意义,首先,两边都没有意义的例子是容易举的,如函数     

复合函数 f[φ(x)]图象的几何作法

函数是中学数学的重要概念之一,指导学生作好函数图象可以对函数的概念及其性质加强直观理解。中学课本上主要是用描点法来作图的,虽然二次函数和三角函数的图象也介绍了“平移法”。对于复合函数的图象如用描点法作图,常常先要讨论函数的性质,如定义域、单调性、奇偶生、周期性、极值等等,这就此较麻烦了。下面将介绍复合函数的几何作法。所谓复合函数就是:设Y=f(u),定义域为U,u= (x),其定义域为X,值域为U＇,若是UU＇,则称y为x的复合函数,记作y=f〔 (x)〕,其中u称为中间变量。中学课本上常见的函数,诸如y=lg(3x-1),y=sin(ωx+ ),y=1-x~2~(1/2)等等,就是复合函数。如果已知函数y=f(x)及y=(x)的图象,则用下列方法能作出y=f〔 (x)〕的图象。     

由f(sinx)求f(cosx)不必先求f(x)

笔者曾利用课外时间组织学生练习过一道有趣的题目: 设f(sinx)=cos3x(1)求证f(cosx)==-sin3x。此题抄出约10分钟,当堂几乎没有学生能够证出。经观察发现,原来学生们均企图由(1)式先求出f(x)的表达式,再求f(cosx)一一从而陷入了难以摆脱的困境。于是笔者启发学生:能否不求f(x),而将cosx用与它恒等的sib(π/2-x)代替?这时学生的思路由“山穷     

max[f(x),g(x)]、min[f(x),g(x)]型函数问题三则

所谓ｍａｘ[ｆ(ｘ) ,ｇ(ｘ) ]或ｍｉｎ[ｆ(ｘ) ,ｇ(ｘ) ]型函数 ,是指在ｆ(ｘ)、ｇ(ｘ)的公共定义域的不同部分 ,取这两个 (或两个以上 )函数值最大的函数式 (或最小的函数式 )作解析式的函数 ,解这类函数有关的问题的最佳方法是数形结合 .本文例举几例说明求解策略 .例 1　已知ｆ(ｘ) =3 -ｘ,ｇ(ｘ) =( 2ｘ +5) 12 ,则ｙ =ｍｉｎ[ｆ(ｘ) ,ｇ(ｘ) ]的最大值为.分析　本题属于非常规性问题中的信息迁移题 ,需要同学们在掌握基本初等函数的图像与性质的基础上 ,根据新定义新信息重新构造新函数 .图 1在同一坐标系内分别画出ｆ(ｘ)、ｇ(ｘ)的图…     

例谈max[f(x),g(x)]、min[f(x),g(x)]型函数题型的解题策略

所谓max[f(x),g(x)]或min[f(x),g(x)]型函数,即是在定义域的不同部分,函数取这两个或两个以上函数值最大的函数式(或最小的函数式)作max[f(x),g(x)](或min[f(x),g(x)])的解析式,解这类问题的最佳方法是数形结合,本文例举几例说明这类函数的求解策略.     

关于f[f(x)]的两个“不一定"

《中学生数学》2003年1月上期刊登的裴华明老师的“求f(x)表达式的几种方法”一文中有下面的例题及解答:“例4 已知f{f[f(x)]}=27x+13,求f(x).解因为复合函数f{f[f(x)]}不改变f(x)的次数,故可设F(x)=ax+b,…,故f(x)=3x+1.”     

Sulle soluzioni non analitiche dell'equazione funzionalef(x 2)-[f(x)]2=kx e su quelle analitiche dell'equazionef(x α)=λ[f(x)]b

Annali di Matematica Pura ed Applicata (1923 -) -     

f[g(x)]的反函数与f~(-1)[g(x)]是两回事

求函数f[g(x)]的反函数与求f-1[g(x)]，许多人把它们看成一回事，因而在或题时会发生这样或那样的错误．求f[g(x)]的反函数是求复合函数的反函数，其反围数的复合过程恰好与原函数相反，即y而求f-1[g(x)]是在求出x=f(x)的反函数广f-1(x)之后，再求出反函数的复合函数．二者过程不同，不能混淆．1求f-1[g(x)]的反函娄例1已知f（X）一3X＋I，求人又十1）的反函数‘有人这样拉：f（X）一3X＋1的反函数是这种解法的错误是显而易见的，由上图进行核验知广’（“＋’）一百（“’‘人正确解法是：函数人X）一3X＋1的反函数是广‘（x）一百（X…     

求f(x)的若干方法

换元法例１已知ｆ（ｓｉｎｘ－１）＝ｃｏｓ２ｘ＋２,求ｆ（ｘ）．解设ｓｉｎｘ－１＝ｔ,∴ｓｉｎｘ＝ｔ＋１（－２≤ｔ≤０）,则ｃｏｓ２ｘ＝１－ｓｉｎ２ｘ＝１－（ｔ＋１）２,∴ｆ（ｔ）＝１－（ｔ＋１）２＋２（－２≤ｔ≤０）,∴ｆ（ｘ）＝－ｘ２－２ｘ＋２（－...     

利用参数方程求f(x)

求函数f(x)的方法很多,本刊1985年第4期上已经介绍了八种,这里我们再介绍一种利用参数方程求f(x)的方法,对于f〔g(x)〕=h(x)的形式显得很简捷,先看几例。     

浅谈方程[f(x)]=g(x)的解法

1987年全国初中联赛第一试填空题第三小硕是: 〔aJ表示不大于数。的最大整数.例如[了百〕=l,〔一丫百」=一2,那么方程2解方程了一〔了可x]+l二0. 〔了了刁=护十l多l,例熟〔3x+l]一ZX一告的所有,的和是_·此题可用下法求解:令:x一粤二,(,为整数),贝IJ有二二吝,十今 ‘任喇又由〔3x+;]二Zx共知o‘(3x+,卜(Zx号)<1即。‘(普,+子)一,相似文献   

Über die Funktionalungleichungf(x + y) + f(xy) ⩾ f(x) + f(y) + f(x)f(y)

Summary The functional inequalityf(x + y) + f(xy) f(x) + f(y) + f(x)f(y), solved for a real continuous function, differentiable at zero.

     

求f(x)表达式的几种方法

在高中数学中 ,由已知复合函数ｆ[ｇ(ｘ) ]的表达式中 ,求ｆ(ｘ)的表达式 ,是函数问题中较难掌握的一类问题 .本文就介绍适用于高中阶段求ｆ(ｘ)表达式的九种方法 ,仅供参考 .一、配凑法此法的关键就是通过观察 ,把ｆ[ｇ(ｘ) ]的表达式凑成关于ｇ(ｘ)的形式 .例 1　已知ｆ ｘ+1ｘ =ｘ2 +1ｘ2 +1ｘ(ｘ≠0 ) ,求ｆ(ｘ) .解∵ ｘ2 +1ｘ2 +1ｘ=ｘ +1ｘ2 -1ｘ-1 +1=ｘ+1ｘ2 -ｘ+1ｘ +1 ,∴　ｆ ｘ+1ｘ =ｘ+1ｘ2 -ｘ +1ｘ +1 .故　ｆ(ｘ) =ｘ2 -ｘ+1 .二、换元法此法就是在ｆ[ｇ(ｘ) ]中令ｇ(ｘ) =ｔ,解出ｘ ,则可把ｆ[ｇ(ｘ) ]化成关于ｔ的表达式…     

∫f(x)dx-∫f(x)dx=0”与“∫f(x)dx=∫f(x)dx+C

在处理不定积分问题时，常常会碰到　是什么的情况，本文通过对不定积分概念本质的分析，说明：　是处理此类问题的基本思想，而不能简单地理解为     

复合函数f(φ(x))的几何作图

我们知道,利用构造反函数的方法,可以引进许多新函数,并且当已知原函数的图形时,反函数的图形也不难作出,那就是原函数关于直线y=x的对弥图形。此外,有更大量的函数是通过构造复合函数的方法引进的。自然我们也希望能够从y=f(x)及y=φ(x)的图形直接作出复合函数y=f(φ(x))的图形。下面将介绍一种利用直线y=x来作复合函数图形的方法。一、已知y=f(x)及y=φ(x)的图形,作复     

关于函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)

定义在实数域上适合方程f(x+y)=f(x)+f(y)(1)的函数,如果再加上连续的条件,就可以证明它是唯一的,即f(x)=ax。本文的目的是从理论上求出定义在任意数域上满足方程(1)的解,而不加任何条件。后面将看到,这里除了个别例子之外,并不能指出所求出的更普遍的函数。原因在于,证明中应用的有策墨罗定理。 1.基本引理引理1.对任意一个数域R必有数集存在,使得R中的任一非0     

不确定的 f~(-1)[f(x)]

题:若f(x)=3x-2,求f~(-1)[f(x)]。解法一∵f(x)=3x-2, ∴f[f(x)]=3f(x)-2=9x-8。 x=f[f(x)] 8/9; 故 f~(-1)[f(x)」=x 8/9。解法二∵f(x)=3x-2, ∴x=f(x) 2/3,f~(-1)(x)=x 2/3 故 f~(-1)[f(x)]=f(x) 2/3 =3x-2 2/3=x 解法三∵f(x)=3x-2, ∴确定函数f(x)的映射是从定义域集R到值域集R的一一映射,即f:x→3x→2=y。     

用“f(x+y)=f(x)f(y)”帮判指数函数

<正>在学习指数函数时,同学们都知道形如:y=a~x(a>0且a≠1)的函数叫指数函数.老师也会帮学生总结出指数函数的三个特征:(1)底数a>0且a≠1;(2)a~x的系数为1;(3)底数a的指数为单个的自变量x.所以,对于判断一个函数是否为指数函数,同学们似乎已是很明白了,可是真正做题判断时,又常常出错.例如:判断下列函数中有无指数函数?(1)y=-2~x;(2)y=2~(3x);(3)y=2~x+1.多数学生都认为以上三个函数均不是指数函数.     

谈函数f(x)与│f(x)│性质的异同

<正> 在《高等数学》教材和学生习题中,涉及函数f(x)与|f(x)|性质异同问题的地方颇多。写作木文,是想通过对函数f(x)与|f(x)|则性质的异同进行比较和分析研究,帮助我们弄清有关重要概念,加深和透彻理解教材,以利于教学中启发学生思维方法,引导解决一些似是而非的