应用判别式解题应注意的问题

判别式在解题中有广泛应用。许多问题都能用它获得简捷、巧妙的解答。但是,在应用时必须谨慎。否则常常产生各种各样的错误。例1 (90年上海高三竞赛题)36sin(3πx)=36x~2-12x+37,则x=——。误解原方程变为36x~2-12x十[37-36sin(3πx)]=0 ①∵ x∈R, ∴方程①的判别式△=(-12)~2-4·36·[37-36sin(3πx)]≥0,即sin(3πx)≥1,又∵ sin(3πx)≤1。∴ sin(3πx)=1,3πx=2kπ+π/2故 x=2k/3十1/6(k∈Z)分析:方程①不是关于x的二次方程,而     

应用二次方程根的判别式时应注意的问题

某书上有这样一道例题: 若a为有理数,且方程x~2-3(a-2)x+a~2-2a+2k=0有有理根,求k的值。原解法如下: △=9(a-2)~2-4(a~2-2a+2k) =5a~2-28a+36-8k, 当5a~2-28a+36-8k为完全平方式时有有理根。要使5a~2-28a+36-8k为完全平方式,     

求函数最值应注意的几点

用初等方法求函数的最值时往往因为某些概念混淆和模糊,可能发生一些错误。本文想初步谈谈这个问题,请大家指正。一、是最大还是最小     

反函数学习中应注意的几点

一、反函数的存在性在定义域上单调的函数一定有反函数,但在定义域上非单调函数未必没有反函数,或者说有反函数的原函数不一定是单调函数．如函数y=1/x(x≠0)有反函数,但其在定义域上不是单调函数．二、互为反函数的函数的图像交点情况     

用判别式法求函数值域的几点思考

形如 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃｄｘ2 ｅｘ ｆ(其中ａ2 ｄ2 ≠0 )的有理分式函数一般可转化为关于ｘ的一元二次方程 (ｄｙ -ａ)ｘ2 (ｅｙ -ｂ)ｘ (ｆｙ-ｃ) =0 (以下简称方程※ ,其中将 ｙ看作方程的系数 ) ,由方程有实根的条件Δ≥ 0来求函数值域的方法叫做“判别式法” .在运用此法的过程中若稍有疏忽便会导致函数值域的不完备或不纯粹 .例 1　求函数 ｙ =ｘ2 -ｘｘ2 -ｘ 1 的值域 .解　函数式变形为(ｙ - 1 )ｘ2 (1 - ｙ)ｘ ｙ =0 (1 )当 ｙ =1时 ,方程 (1 )为 1 =0 ,这显然不成立 ,因此 ｙ =1不在函数值域中 :当 ｙ≠ 1时 ,∵ｘ∈Ｒ …     

关于编拟数学问题应注意的几点

“问题是数学的心脏” ,数学能力的培养离不开问题 .编拟数学问题不能只注重知识点的汇集 ,而应重视问题反映的知识、思想方法的整合 .问题的产生必须以学科特点为基础 ,理应具备科学性、严密性及完整性 .现实中 ,的确存在着一些脱离客观事实、人为因素过多的数学问题 ,对数学教学产生了负面影响 ,不利于学生素质的提高 ,且易产生误导 .以下结合实例谈几点应注意的问题 ,以期对编拟数学问题引起足够重视 .1　人为膨胀条件 ,使问题覆盖更多知识点顺应日常教学或考试的要求 ,命题者比较注重在知识点的交汇处编拟数学问题 ,这样能测量出学生驾…     

用字母表示数应注意的几点问题

用字母表示数具有普遍性和一般性,它能够把数量和数量关系简明地表示出来,在此基础上建立起代数式的概念,实现从算术到代数的飞跃.新版教材第一册第一章:代数初步知识的第一节代数式就设计了“用字母表示数”     

判别式的应用

判别式的应用相当广泛 .为使同学们更系统地掌握其应用 ,这里将它归纳一下 ,供参考 .一、不解方程 ,判定方程的根的情况例 1　不解方程 ,判定方程 5x(x-2 ) =3的根的情况 .解 :整理原方程 ,得 5x2 -1 0x-3 =0 .∵Δ =( -1 0 ) 2 -4× 5× ( -3 ) >0 ,∴原方程有两个不等的实根 .说明 :用判别式Δ =b2 -4ac时 ,方程一定要化为一般形式 .二、根据方程根的存在情况确定未知数的取值或取值范围例 2　方程 2x2 -5x =m -4无实根 ,求m的取值范围 .解 :整理原方程 ,得 2x2 -5x +4 -m =0 .∵原方程无实根 ,∴Δ <0 ,即 ( -5 ) 2 -4× 2 ( 4 -m) <0 .…     

判别式的应用

一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac,不仅可以判定方程实根(实解)情况,还可以用它判别二次三项式ax2 bx c因式分解的方法与范围、求抛物线y     

解答涉及集合内容的习题时应注意的几点

集合是近代数学的一个重要概念 ,应用集合的思想、符号处理某些数学问题时 ,具有深刻、明确、简捷等优点 .由于集合的内容具有一定的抽象性 ,在理解其概念及应用方面均有一定的思维难度 ,同学们在解题过程中常出现各种错误 .因此在解答涉及集合内容的习题时 ,我们不仅强调要深刻理解集合的有关概念 ,而且还得注意下面三个问题 .1　注意分清集合的代表元　进行集合的有关运算时 ,集合多用描述法表示 .描述法表示集合的一般形式为 {ｘ|ｘ具有的公共属性 }.其中竖线前面的字母ｘ称为集合的代表元 .一般地代表元ｘ主要以数、点、集合等形式出现 …     

判别式法求值域要注意的问题

对于形如 ｙ =ａ1 ｘ2 +ｂ1 ｘ +ｃ1 ａ2 ｘ2 +ｂ2 ｘ +ｃ2(ａ1 ａ2 ≠ 0 )的函数的值域 ,我们一般采用判别式法求解 ,但在用这种方法求解的时候 ,有一个问题需要加以注意 ,否则 ,将会得到错误的结论 .例 1　求函数 ｙ =ｘ2 -3ｘ + 2ｘ2 -1的值域 .错解　将原函数变形ｙ(ｘ2 -1) =ｘ2 -3ｘ + 2 ,整理成关于ｘ的方程(ｙ -1)ｘ2 + 3ｘ -(ｙ + 2 ) =0 ,1.ｙ -1=0 ,即ｙ =1,也即　ｘ2 -3ｘ + 2ｘ2 -1=1,该方程无解 ,故ｙ≠ 1.2 .ｙ -1≠ 0 ,即 ｙ≠ 1,得到关于ｘ的一元二次方程 .要使方程有解 ,则Δ =32 + 4 (ｙ -1) (ｙ + 2 )≥ 0 ,即 (2ｙ + 1…     

函数复习中的几点注意

函数是高考的必考内容 ,也是中学数学的一条主线 ,但是由于考题内容形式的不断创新 ,使学生面对区分度大及选拨性强的题目显得力不从心 ,为了改善这种状况 ,本文就函数部分的复习谈几点注意 ,供参考。一、注意用动态思维审视参数例 1　设a为实数 ,函数 f(x) =x2 + |x-a| + 1 ,x∈R ,求 f(x)的最小值。解　 1°当x≥a时 ,f(x) =x2 +x -a + 1=x + 122 -a+ 34。这里先界定x与a的大小 ,而后需用定对称轴 ,变区间的方法 ,按区间端点 (a ,0 )与对称轴x =12 的相对位置作分类研究 :(1 )若a≤ -12 ,则 f(x)在 [a ,+∞ )上的最小值为 f -12 =34-a。(…     

谈判别式的应用

<正>1判别式的概念实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac．当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根．以上结论,反之亦成立．2二次型三者之间的关系     

判别式的几何应用

在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,称式子b2-4ac为一元二次方程根的判别式.利用一元二次方程根的判别式,不仅能判定几何图形中符合某条件的"点"的个数,而且还能求与图形有关的代数式的最值.现举例说明:     

学好集合知识的几点注意

由于集合概念比较抽象 ,初学者对其学习方法不适应 ,对集合的概念缺乏深刻的理解 ,解题过程中考虑不周 ,常出现各种错误 ,本文在归纳这些错误的基础上 ,提出几点注意 :　　一、注意集合的确定性“新教材”所述 :“一般地 ,某些指定的对象集在一起就成为了一个集合 .”可知集合具有确定性 ,考察对象能否构成集合 ,要求它们能否按某种标准确定下来 .例 1　考察下列每组对象能否构成一个集合 ?①所有的好人 ;②不超过 2 0的非负数 ;③某班 16岁以下的女学生 ;④坐标平面内横坐标与纵坐标相等的点 .解　 (1)“所有的好人”无明确的标准 ,对于某…     

解微分方程时应注意的两点

笔者认为，初学者在解微分方程时，应注意两点：（一）注意变量x,y地位的对称性。即在判别微分方程的类型或解微分方程时，若按x为自变量、y为函数时不易处理，可转而考虑按x为自变量、x为函数时的情形。为便于应用，现说明如下：a．一阶齐次方程的两种形式：（这里x为自变量），或：生二。（半）（这里y为自变量）．””dH－”，“”““““““““””b．一阶线性微分方程的两种形式：dyn。、。，、，、。。、，。。，。、三十P（x）y一Q（x）（这里y为x的函数），dH“”—”“””—””““H““““。。。／，。dx、‘＾或三十P（…     

借形解题的几点注意

借形解题是以“形”研究“数”,它使我们可以借助直观,从整体上、本质上透视问题,十分有利于问题的解决.但是,如果忽视了图形的正确性、存在性、完整性和简洁性往往会使解题陷入困境或导致错误.1注意图形的正确性例1设t>0,求坐标平面上的两点A t 1t,t-1t,B(-1,0)之间的距离的最     

关于解析几何教学的几点注意

本文拟环繞解析几何中的一些概念,关于在数学教学中如何对待“直观与論证”談一些个人的看法。內容包括:一、数学中的邏輯論証及直观說明;二、解析几何教学中一些問題的商榷;三、关于綫段的量的一个定理;四、关于三角形面积公式的一个証明;五、关于二次曲綫中心的定义問題。一、数学中的邏辑論证及直观說明先談談数学中的邏輯論証。通常在数学中的論証属于形式邏輯中論証的范畴。形式邏輯中的任何証明都是由下列三部分构成:(一)論題,(二)論据,(三)論証。論題是需要加以証明的判断,論据是被用来作为論題底充足理由的諸判断,論証是組成从論据推出論     

学习对数应注意的几个问题

<正>对数是同学们进入高中后学习的新知识之一,因为内容比较抽象,不易理解,同学们在学习过程中往往由于粗心大意,理解不到位等原因而出现各种错误,下面给出学习对数内容时应注意的几个问题,以帮助同学们全面系统准确地掌握有关知识,减少失误.     

实验新课程应注意的几个问题

新课程是素质教育从形式走向实质、从探索走向实施的标志，它真正体现了教育是为了人的发展，也正是在教学实践中才真正感受到新事物与旧事物的矛盾，一方面努力想体现新课程理念与标准，另一方面却又遭遇传统教育观念和评价方式的抨击．有过“秀才遇到兵，有理说不清”的烦恼，也有过被带有浓厚的传统技能技巧测试造成的尴尬，