Sui gruppi dell'equivalenza e della torsione algebrica sulle varietà kähleriane e algebriche

Sunto Mediante le funzioni moltiplicative si definiscono su una varietà complessa X i gruppi dell'equivalenza e della torsione algebrica. Se X è k?hleriana di un certo tipo tali gruppi vengono determinati completamente. Seguono varie applicazione alle varietà algebriche. Si trattano poi le stesse questioni sulle varietà algebriche definite su un corpo qualunque.     

Proprietà topologiche della varietá degli elementi differenziali del secondo ordine dell'S r complesso

Sunto Si considera il modello V, di dimensione complessa 3r-2, della varietà degli elementi differenziali del secondo ordine di uno spazio proiettivo complesso S_r, costruito daG. Gherardelli, E. Bompiani, C. Longo. In questo lavoro tale modello viene considerato come varietà topologica a 2(3r-2) dimensioni reali e, mediante l'uso di un opportuno complesso cellulare, se ne determina il gruppo di omologia intera, assegnando altresì un semplice significato geometrico, nello spazio S_r, per i sistemi fondamentali di cicli delle varie dimensioni. Ne consegue, in particolare, che il gruppo di omologia di V è isomorfo a quello del prodotto di un S_r-1 per la varietà degli elementi di primo ordine di un S_r, in accordo con un risultato diF. Gherardelli ottenuto per altra via; ma si stabilisce d' altra parte che V non è, almeno in generale, omeomorfa a tale prodotto. Si prova, per inciso, che anche la varietá degli elementi di primo ordine di S_r, non è prodotto di un S_r-1 per un S_r, quantunque le due varietà abbiano anch'esse gruppi di omologia isomorfi. A Enrico Bompiani in occasione del suo Giubileo scientifico. Lavoro eseguito nell'ambito del gruppo di ricerca n. 37 del C. N. R. per l'anno accademico 1960–61.     

Correnti positive: Uno strumento per l’analisi globale su varietà complesse

Lo scopo di questo testo è di presentare i temi principali riguardanti le correnti positive su varietà complesse. L’importanza di questo strumento, per coloro che studiano geometria complessa, è evidente; tuttavia non è semplice tenere le fila di una grande quantità di contributi sull’argomento, alcuni dei quali sono ormai pietre miliari su questa via. Vorremmo quindi delineare una “mappa” dei contributi che ci sono sembrati particolarmente significativi; per ovvie ragioni, rimandiamo ai test originali non appena si voglia entrare nel merito dei singoli argomenti. Lo scritto è composto di due parti (oltre a una appendice dedicata al lettore che affronta per la prima volta il tema delle correnti positive): nella prima si trattano principalmente i temi in riferimento alle correnti positive e chiuse, storicamente la classe più importante di correnti per le varietà complesse, in quanto generalizzazione naturale delle sottovarietà. Nella seconda si espongono risultati su correntiT positive pluriarmoniche o plurisubarmoniche, cioè caratterizzate da una condizione imposta alla corrente $i\partial \bar \partial T$ , e naturali generalizzazioni delle funzioni plurisubarmoniche, nonché delle correnti chiuse. Questa scelta è motivata nel primo capitolo della seconda parte, partendo dall’ormai classico teorema di R. Harvey e J.R. Lawson che caratterizza tramite correnti positive e pluriarmoniche l’esistenza di metriche kähleriane su varietà compatte.     

Sopra un problema relativo ai trasporti rigidi di vettori negli spazi quadrimensionali

Sunto. Si studiano le condizioni alle quali debbono soddisfare le componenti di un tensore doppio emisimmetrico caratteristico di un trasporto rigido lungo una linea di una varietà a quattro dimensioni, perchè esso sia del tipo(18), dove v è un vettore particolare ed u il vettore generico che viene trasportato, che è il tipo generale per una varietà a due dimensioui.     

Le serie lineari sopra una retta multipla ed in particolare sopra una retta doppia (1)

Sunto. Si studiano le serie linearig _n ^r sopra una retta multipla come sottovarietà della varietà lineare dei gruppi din punti di una retta e si caratterizzano quelle relative alle rette doppie.     

Geometria proiettiva di elementi differenziali

Sunto. Preliminare allo studio differenziale delle varietà rispetto al gruppo topologico (nel senso indicato nel testo) è quello della totalità delle calotte, di ordine e dimensione fissati, rispetto al gruppo delle collineazioni. La rappresentazione analitica di tali calotte introduce elementi arbitrar? (sia nel riferimento rispetto all' ambiente, sia nella scelta dei parametri sulla calotta). Un'adeguata rappresentazione iperspaziale di quelle calotte nasce dalla considerazione delle calotte eccezionali, e porta a varietà razionali di semplice definizione rispetto alle quali quelle calotte sono rappresentate da spaz? lineari; il gruppo delle collineazioni con un punto fisso nello spazio dato si rappresenta nel gruppo delle collineazioni per cui una di quelle varietà è trasformata in sè. Poichè la rappresentazione geometrica elimina le accidentalità della rappresentazione analitica si ha un modo di riconoscere senz' altro l'esistenza di invarianti relativi a configurazioni di elementi differenziali (anche di dimensioni differenti).     

Sur le problème de la correspondance par parallélisme entre les variétés réglées dansS n

Sunto In una serie di lavori anteriori propri l' A. ha studiato le ipersuperficie rigate dello S₄ e S₅ ed ha stabilito tra l'altro delle corrispondenze per parallelismo tra vari tipi di varietà rigate di tali spazi [9] – [14]. Il presente lavoro si riferisce alle varietà rigate dello S_n ed è suddiviso in due parti. Nella prima, si da una classificazione affine delle ipersuperficie rigate nello S_n, necessaria per lo studio del problema della corrispondenza per parallelismo, mentre nella seconda si determinano alcune corrispondenze per parallelismo tra le varietà rigate di questo spazio.

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Hommage à Monsieur le ProfesseurEnrico Bompiani     

Fondamenti della geometria sulle varietà algebriche

Sunto Vengono qui continuaté le ricerche dell'Autore, dal 1909 in poi, intorno alla geometria sopra una varietà algebrica del corpo complesso e si costruisce in particolare una esauriente teoria delle irregolarità della varietà, fondata sia sopra una loro definizione geometrico-topologica, come sopra una loro definizione trascendente, stabilendosi inoltre l'equivalenza delle definizioni. A Giovanni Sansone nel suo 70^mo compleanno. Questa Memoria, preparata in occasione del giubileo scientifico del CollegaGiovanni Sansone, ed a lui dedicata, vuole anzitutto attestare la mia, anzi la nostra gratitudine, verso chi mi è stato efficientissimo Condirettore per tanti anni, fin da quando cioè, per una deplorevole disposizione, restai solo nel Comitato Scientifico degli ? Annali ?, divenendone automaticamente, senza mia volontà, unico Direttore. Il Prof.Sansone fu il primo, in ordine di tempo, che scelsi per associarlo a me nella Direzione dell'antico e celebrato periodico. Con lui, a nostra volta, scegliemmo d'accordo, a mano a mano, per successive cooptazioni, gli altri Colleghi. All'abilità e alla solerzia tecnico-organizzativa di lui, siamo quasi interamente debitori dell'odierno prestigio e dell'attuale diffusione del nostro Periodico, oggi patrimonio prezioso, materiale e morale, della matematica italiana. La Memoria è stata preannunciata da una I Nota riassuntiva, contenente però quasi tutto l'essenziale, pubblicata nei Rendiconti dell'Accademia Nazionale dei Lincei, seduta del 9 maggio 1959, e da una II Nota pubblicata nei Rendiconti della stessa Accademia, seduta del 14 settembre 1959. I fondamenti della parte più moderna della geometria sopra una varietà (dell'ordinario corpo complesso) i cui inizi spettano, come ben si sa, aNoether, furon posti in luce dalle seguenti Memorie dall'A. e da quelle di altri, con esse più o meno immediatamente collegate. Citazioni più circostanziate trovansi nelle Memorie cui alludiamo dell'A., e cioè:Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: I contributo, Rend. del Circolo Matematico di Palermo, 1909. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: II Contributo, Annali di Matematica, 1951. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: III Contributo, Annali di Matematica, 1956. Ivi son richiamate anche le Note preliminari dei Comptes Rendus, 1955, 1956, sulle forme differenziali di 1^a specie. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: IV Contributo. La teoria delle irregolarità delle varietà algebriche, Rend. Acc. Naz. dei Lincei, 1956. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: V Contributo. Ancora sulla teoria delle irregolarità, Memorie dall'Accademia Nazionale dei XL, 1957–58. I risultati della presente Memoria potranno essere confrontati con quelli conseguiti daE. Marchionna nell'Appendice ch'egli, aderendo alla mia richiesta, ha aggiunte alla fine del mio Trattato citato nella nota (²) a piè della pag. 3 della presente Memoria (precisamente l'Appendice diMarchionna va da pag. 395 in poi). Il Trattato ha potuto essere completamente stampato, mercè la solerte cooperazione di lui, sia pel coordinamento d'una parte della materia, come per la correzione d'una buona metà delle bozze del volume, ch'egli ha preso in consegna quando il dattiloscritto non era neppure composto tipograficamente per intero. Per tutto ciò rinnovo qui al Prof.Marchionna l'espressione della mia viva gratitudine, alla quale si associeranno di certo quanti troveranno nel volume qualcosa di utile pei progressi della geometria algebrica, sia nel dominio classico, come in quello astratto. A proposito dei risultati contenuti nell'Appendice IV, devo ricordare che la relazione fra la somma dalle due ultime irregolarità diV _d, la deficienza del sistema canonico parziale staccato sopra una ipersuperficieE elementare, dal proprio sistema aggiunto |E' |, nonchè la sovrabbondanza del sistema |E' | viene conseguita pure per via algebrico-geometrica, diversa da quella qui esposta, nella pag. 429 dell'Appendice predetta e precedentemente nel lavoro diMarchionna Sul teorema di Riemann-Roch, ecc. (Nota III), Lincei, 1958, p. 673. Una delle vie indicate daMarchionna, onde pervenire alla relazione cui s'allude, presuppone tuttavia, in un secondo tempo, il teorema (diKodaira) di regolarità dell'aggiunto. Questosecondo modo di deduzione permette di ottenere più rapidamente il risultato, ed ha il vantaggio di conseguirlo più in generale, in relazione ad una generica ipersuperficieA non singolare, tracciata sopra unaV _d, priva di punti multipli; mentre qui (come nella Nota lincea preventiva) c'interessa di conseguire la relazione, di cui al successivo n. 2, con una dimostrazione del tutto autonoma. nel quadro della geometria algebrica classica, in quanto sopra la relazione cui si allude, noi vogliamo dipoi poggiare la deduzione di parecchie altre proprietà, stabilite daKodaira con mezzi di analisi, che si allontanano molto dal quadro predetto. Di ciò diremo più ampiamente nella presente Memoria e nelle Memorie che continueranno la presente.     

Teoria di morse sul complementare d'una sottovarietà

Riassunto Si introduce la nozione di funzioni di Morse per una coppia di varietà differenziabili (X, Y) oveY è una sottovarietà chiusa inX. Si mostra che tale nozione è generica e coincide con quella di funzione stabile; inoltre si associa ad una tale funzione una equivalenza omotopica con unCW complesso. Si danno inoltre delle applicazioni.

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Resumé On introduit la notion de fonction de Morse pour un couple de varietés differentielles (X, Y), oùY est une sous varieté fermée dansX. On démontre, comme pour le cas classique, que c'est une notion générique et que c'est la même que celle de fonction stable; en plus on associe à une telle fonction une equivalence d'homotopie deX−Y avec unCW-complexe. On donne aussi des applications.

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Lavoro eseguito nell'ambito del GNSAGA del C.N.R.     

Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: Terza Memoria

Sunto è un ulteriore contributo alle proprietà generali di geometria sulle varietà algebriche (dopo quelli apportati dall'Autore con le Memorie del 1909 e del 1951). Qui si tratta delle proprietà delle forme differenziali esterne di1 ^a e di2 ^a specie appartenenti ad una varietà algebrica e si applicano le forme differenziali di1 ^a specie alla ricerca d'una nozione generale, che estenda alle varietà la nozione d'irregolarità d'una superficie. L'A. sbocca così in r −1 irregolarità d'una varietà ∞^r, le quali sono altrettanti invarianti assoluti per trasformazioni birazionali ed hanno stretti legami con le sottovarietà contenute nella data.     

Some submanifolds of a parakähler manifold

SiaM una sottovarietà totalmente ombelicale di una varietà parakähleriana $\tilde M$ . SeM è anche debolmente antiolomorfa, le curvature bisezionali, ordinarie e normale, diM sono legate da una elegante relazione, da cui discendono interessanti conseguenze. L'ultimo risultato del lavoro si riferisce alle sottovarietà parakäleriane delle varietà a curvatura sezionale costante.     

Sul contatto di superficie algebriche lungo curve

Sunto Si studiano alcune questioni generali relative al contatto d'ordine assegnato di due ipersuperficie algebriche F e G dello spazio S_r lungo una varietà & (r−2)-dimensionale, ottenendo fra l'altro una semplice condizione necessaria e sufficiente affinchè &, contata q volte, esaurisca l'intersezione di F e G. In secondo luogo si considera il caso di due superficie algebriche immerse in una V ₃ algebrica ed aventi un contatto semplice lungo una curva priva di punti multipli; ed in particolare, qualora V ₃ sia lo spazio ordinario, si prova che certe condizioni segnalate daB. Segre come condizioni necessarie affinchè una data superficie F possa essere tangente ad un'altra superficie lungo un' assegnata curva & (non singolare), sono anche sufficienti se l'ordine di F è inferiore a5. Infine si dà l'effettiva costruzione delle superficie circoscritte ad una superficie F d'ordine m=2, 3, 4, e si mostra come i metodi impiegati possano essere utilizzati anche quando si abbandoni l'ipotesi m<5.     

Vincoli e riferimenti mobili in meccanica aualitica

Sunto Si parte dalla interpretazione geometrica del moto di un sistema olonomo a vincoli fissi, come moto di un punto in una varietà riemanniana ad n dimensioni: lo spazio delle configurazioni. Si passa poi ad un sistema olonomo a vincoli mobili, distinguendo, per l’interpretazione geometrica, il caso in cui il punto rappresentativo si muove in una varietà riemanniana ad n+ 1 dimensioni, dal caso in cui esso rimane in una varietà ad n dimensioni. Si stabilisce un confronto di entrambi i casi con quello dei vincoli fissi. Ad Antonio Signorini nel suo 70^mo compleanno.     

Sur le plongement de certaines variétés riemaniennes à deux dimensions dans l'espace euclidien à quatre dimensions

Sunto Poggiando su una rappresentazione delle trasformazioni puntuali del piano euclideo E² mediante superficie dello spazio euclideo a4 dimensioni E ₄ , il cui principio è stato esposto nella memoria[1] di questiAnnali, si studia un modo particolare d'immersione di alcune varietà riemmaniane a due dimensioni nellE ₄ . Il caso delle realizzazioni reali concrete di tali varietà, sia nell'E ₄ o nella ipersfera unitaria dell'E ₄ (nello spazio ellitico a tre dimensioni) è specialmente esaminato.

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Entrata in Redazione il 17 dicembre 1977.

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Deceduto a Marseille il 9 agosto 1978. Bozze rivedute dal Comitato di Redazione.     

Induction in orthodox involution categories (orthodox categories, 3)

Sunto Si definiscono i morfismi indotti in una categoria involutiva regolare, fattorizzante (dotata di fattorizzazioni epi-mono ? uniche ?) e ortodossa (composizione di endomorfismi idempotenti è idempotente); si prova che in tale ambito l'ortodossia è condizione necessaria e sufficiente per la componibilità degli isomorfismi canonici (indotti dai morfismi identità). Questo lavoro e gli altri della serie saranno utilizzati per studiare le relazioni indotte tra subquozienti in una categoria esatta.

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Lavoro compiuto nell'ambito dei gruppi di ricerca del C.N.R.

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Entrata in Redazione il 15 Novembre 1976.     

Sul luogo di Gorenstein di un anello

Riassunto In questo lavoro viene data una nuova dimostrazione del fatto che il luogo di Gorenstein di un anello di Cohen-MacaulayA che sia immagine omomorfa di un anello di Gorenstein è aperto. La presente dimostrazione permette di dare esplicitamente l'ideale a ⊂A la cui varietà è il luogo non di Gorenstein diA. Si studia inoltre il comportamento del luogo di Gorenstein rispetto a certi omomorfismi di anelli.

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Summary In this paper we give a new proof of the fact that the Gorenstein locus of a Cohen-Macaulay ringA which is homomorphic image of a Gorenstein ring is open, this describing explicitly the ideal a⊂A whose variety gives the non-Gorenstein locus ofA. Also, we study the Gorenstein locus behaviour with respect to certain ring homormorphisms.

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Lavoro eseguito nell'ambito dei gruppi di ricerca del C.N.R.     

Sul prodotto di gruppi permutabili

Sunto Dati due gruppi A* e B* si determinano tutti i gruppi G che risultano prodotto di due gruppi A e B fra loro permutabili ed isomorfi (rispettivamente) ad A* e B*. Tale determinazione è fatta usando i gruppi di sostituzioni ed il concetto di prodotto completo di Krasner e Kaloujnine. Si dà poi un criterio per riconoscere fra le soluzioni ottenute quelle isomorfe. Infine si caratterizzano anche certi gruppi che risultano prodotto di due gruppi A eGb fra loro permutabili ove A è isomorfo a d A* eGb è (in generale) omomorfo a B*.     

Semifattorialità e aperti affini

Riassunto Scopo di questa nota è quello di caratterizzare gli aperti affini di una varietà normale mediante la nozione di semifattorialità. Il risultato principale è il seguente: un anelloA di ?tipo geometrico? è localmente semifattoriale (risp. semifattoriale) se e soltanto se gli aperti affini di Spec (A) sono tutti e soli i complementari dei supporti dei divisori di Cartier (risp. de divisori principali). Analoghi risultati valgono per le varietà proiettive.

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Summary The purpose of this note is to characterize the open affine subsets of a normal variety by means of almost-factoriality. The main result is the following: a ?geometric ring?A is locally almost-factorial (resp. almost-factorial) if and only if the open affine subsets of Spec (A) coincide with the complements of the supports of Cartier divisors (resp. of principal divisors). Analogous results hold for a projective variety.

     

Soluzioni generalizzate e disuguaglianze variazionali per alcuni sistemi differenziali non lineari della fisica matematica

Sunto. Si ricercano le condizioni di correttezza per sistemi differenziali del primo ordine di tipo iperbolico. Tali condizioni risultano legate a restrizioni fisiche, in particolare termodinamiche. Pertanto dopo uno studio della termodinamica dei processi retti dalle equazioni considerate si perviene ad una definizione di soluzione generalizzata, esprimibile mediante una disuguaglianza variazionale. In tale nuova formulazione è contenuto sia il sistema delle equazioni differenziali che descrivono il processo fisico e sia una limitazione di natura termodinamica. Per il problema di Cauchy relativo ai sistemi in esame si stabilisce poi nel campo delle soluzioni generalizzate una disuguaglianza integrale sulla energia interna e quindi sotto opportune ipotesi un teorema di unicità. Lavoro eseguito nell'ambito dei gruppi di ricerca per la Matematica del C.N.R. Entrato in Redazione il 31 dicembre 1971.