一个不等式的加强及应用

题目袋中放有大小相同的m个黑球和n个白球.现逐个从袋中取球,若每次取出球后再放回,显然每次取得黑球的概率均为mm＋n;若每次取出的球不再放回,则第k次取得黑球的概率是多少（1≤k≤m＋n）？思路1这是一个典型的古典概型问题：前k次逐个取球,相当于从m＋n个球中任取k个球作一排列,样本空间中的基本事件共有Akm＋n个,而事件“第k次取得黑球”表明第k个球为黑球,共包含C1mAk-1m＋n-1个基本事件,     

利用摸球模型解决物品抽取问题

本文首先介绍概率问题中一个有用的摸球模型 .摸球模型　袋中有 a只黑球 ,b只白球 ,它们除颜色不同外 ,其它没有区别 ,现在随机地一只一只不放回地摸出来 ,则 k次能摸完黑球的概率为P( A) =Aak .b!( a + b) !=Cak Caa+ b( a≤ k≤ a + b) .　　　解法 1　把 a只黑球 ,b只白球看作有区别的 ,对它们进行编号 ,放在一直线的 a + b个位置上 ,共有 n =( a + b) !种方法 .k次摸完黑球 ,即前 k个位置上放黑球 ,白球放在剩余的位置上 ,有 m =Aak .b!,故所求概率为P =Aak .b!( a + b) !.解法 2　把 a只黑球 ,b只白球看作没有区别的 ,仍把摸出来的…     

摸球问题 有型可循

<正>在古典概率问题中,有一类物品抽取问题,其概率的计算较为困难,如抽签、随机取数、次品抽取等.但如果能建立某种模型,将要解决的概率问题通过适当的转化,让它适用于该模型,往往能使问题更清楚,更容易看出问题本质.引例 一个袋子内有6个大小一样的小球,其中4个是黑球,2个是白球.(1)从中任意取出3个球,求既有黑球又有白球的概率;(2)从中不放回地依次取出3个球,求第三次摸到白球的概率;(3)从中有放回地依次取出3个球,     

一道取球试题的拓展

2005年山东高考理科第19题是:袋中有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为17,现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取、乙后取,然后甲再取…取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止,每一个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止时所需要的取球次数.(Ⅰ)求袋中原有白球的个数.(Ⅱ)求随机变量ξ的概率分布.(Ⅲ)求甲取到白球的概率.而2005年浙江高考理科第18题是(部分抄录):袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球,从A中摸出一个红球的概率是13,从B中摸出一个红球的概率是p.(Ⅰ)从A中有放回地摸球,每次摸出一个…     

离散型随机变量的期望与方差的应用

离散型随机变量期望和方差的应用问题 ,一般应先分析题意 ,明确题目欲求的是期望还是方差问题 .如果要求的是某数量指标的平均值 ,则属于期望问题 ;如果要求的是数量指标的离散程度或稳定性 ,则属于方差问题 .在此基础上 ,将题中考察的数量指标用随机变量表示 ,把实际问题转化为求随机变量的期望和方差 .常用的解法有 :用定义直接求解 ,代入公式求解 ,建立函数关系求解 .例 1　袋中有 1个白球和 4个黑球 ,每次从其中任取一个球 ,直到取到白球为止 ,求取球次数的期望及方差 .分析　由于题中并未指明取出的黑球是否放回 ,所以本题应分两种情况…     

一道取球试题的拓展

2005年山东高考理科第19题是：袋中有黑球和白球共7个。从中任取2个球都是自球的概率为1/7，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取、乙后取，然后甲再取…取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止。每一个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止时所需要的取球次数．     

一类数学期望问题的解法探究

在学习离散型随机变量数学期望时(中等职业学校国家审定教材,江苏教育出版社出版,数学三册),本人遇到这样的一道题目,一个袋中有白球5个,黑球3个,从中任取一球,若为白球则停止取球;若为黑球则继续取球且黑球放回,问取球的次数ξ的数学期望为多少?……     

初等概率介紹

§1.概率概念概率論是数学的一个分支。它研究或然現象。或然現象如何理解呢?为了說明或然現象我們先看它的对立概念“必然現象”。所謂一个現象是必然的,就是说这一現象在一定的条件下必然发生。例如在欧氏几何里,三角形三个內角和必然等于180°,又如手拿一块鉄,如果松手,鉄必然下落等等。必然現象的对立概念就是或然現象,例如擲一顆股子(条件),我們得到哪个点是事先不能肯定的。又如一个口袋內有同大小同重的紅白球各十个,閉着眼从口袋里取一个球,誰也不敢肯定所取的球是紅还是白。所以取球这一事件称作或然事件,如果当条件一实行,事件A可能发生但不一定发生,則事件A叫作或然事件。对于或然事件的量的刻划就是它的概率。一个或然事件的概率大就表示这个事件的发生可能性大。例如在上面所說的口袋里,我們問取紅球的概率与取白球的概率如何,我們一下子可以回答說,这两种事件的概率是相等的,又如一个口袋有10个白球,一个紅球,那么一下子可以說出,取白球的概率比取紅球的概率大。必須合理地定义或然事件的概率,才能說出其概率究竟等于多少。     

巧选样本空间 简解古典概型

同一个古典概型问题由于考虑的角度不同,其解法繁简差别较大.因此,在选取样本空间时,务必抓住欲求事件的本质,而把其它无关的因素抛开,以简化求解过程. 例1袋中装有a只白球,b只黑球,每次从中任取一个,取后不放回,求第k次(0相似文献   

利用等可能性计算概率

许多通常要用全概公式或逆概公式来求解的问题事实上可以不用全概公式或逆概公式而直接利用等可能性。例 1　装有 m( m≥ 3 )个白球和 n个黑球的罐子中失去一球 ,但不知是什么颜色。为了猜测它是什么颜色 ,随机地从罐中摸取两个球 ,结果都是白球 ,问失去的球是白球的概率是什么 ?解法一　本题一般是利用全概公式和逆概公式来求解的。设 A={失去一球是白球 } ,B={随机地从罐中摸取两个球 ,结果都是白球 } ,由已知条件 P( A)= mm+n,P( A) =nm+n,P( B|A) =C2m- 1C2m+n- 1,P( B|A) =C2m C2m+n- 1,本题求的是 P( A|B)。由全概公式P( …     

由摸球想到出行

1.今天是元旦,学校在礼堂里举办游园活动.古拉格和谷拉拉来到了摸球台面前. 古拉格:这里只要求取一个球,“任取”的意思是我们可以从A口袋里取,也可以从B口袋里取球,随便取哪一个球都可以. 2.古拉格:你觉得一共会有多少种取球方法呢? 谷拉拉:两只口袋里的每个球都有可能被取出来,所以一共有3+ 8=11(种)取法.     

浅析条件概率的计算

<正>条件概率是高中数学统计与概率新增加的一部分内容,考试说明规定:了解条件概率的概念,并能解决一些简单的实际问题.但在学生学习过程中往往会产生理解错误,为此笔者就条件概率的几种情形进行分析,供同学们参考.一、利用条件概率的定义计算例1已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球,它们大小形状完全相同,甲每次从中任取一个不放回,求他第一次拿到白球的条件下,第二次拿到红球的概率()     

一道初中数学竞赛题的推广

1998年平江初中数学竞赛中有这样一道题：“48根火柴分成三堆，从第一堆中取出与第二堆一样多的火柴放入第二堆；再从第二堆中取出与第三堆一样多的火柴放入第三堆；又从第三堆火柴中取出与此时的第一堆一样多的火柴放入第一堆，这样，三堆火柴就变成一样多问原来三堆各有多少根火柴？”我们将这道问题推广为：‘有火柴若干根，分成若干堆（至少两堆），从第一堆中取出与第二堆一样多的火柴放入第二堆；再从第二堆火柴中取出与第三堆一样多的火柴放入第三堆，如此继续，直到从最后一堆中取出与此时的第一堆一样多的火柴放入第一堆，这样，各…     

谈中学概率的复习

高中课本《概率》一章只介绍概率的初步知识,等可能事件的概率计算,互斥事件的概率加法,相互独立事件的概率乘法,独立重复试验,这些是本章的重点。下面分别予以阐述,谈点个人意见。一关于等可能事件的概率例1 口袋里装有大小形式一样,颜色为红、黄、蓝,白、黑的球各一个。从袋中任意摸出两个球,其中肯定有一个白球的概率是多少? 按照题设条件可能取得的样本,有红黄,红蓝、红白、…,黑白等共C_5~2=10种但满足另一条件A即肯定含有一个白球的样本则只有红白、蓝白、黄白、黑白4种,即C_1~1C_4~1=4种。所以,本题答案是(C_4~1)/(C_5~2)=2/5 从这里推向一般,就得到计算等可能性事件的概率的一个基本公式     

概率题的多解多答与慎答

概率问题与生活实际紧密相联 ,涉及面广 ,题型多变 ,解法灵活 ,具有独特的思维方式 .要想掌握好概率题的一般解法 ,必须重视多解、多答与慎答 .所谓多解就是从不同的角度考虑将一个概率问题纳入不同的概率模型 (从事件的等可能性与有限性方面可归入古典概型 ,从试验重复独立方面可归入独立重复试验模型 ) ,或先求它的对立事件的概率 ,或由于选取的基本事件空间 (全体基本事件的集合 )不同 ,便得到不同的解法 ,但最后的结果是一致的 .例 1　甲、乙、丙三个口袋内都装有大小相等的 2个黑球和 3个白球 ,从甲、乙、丙三个口袋中依次各摸出 1个球…     

概率

选择题1 .从装有白球 3个、红球 4个的箱子中 ,把球一个接一个地取出来 ,到第五个恰好把白球全部取出的概率是 (　　 )(Ａ) 435.　 (Ｂ) 17.　 (Ｃ) 635.　 (Ｄ) 27.2 .现有甲、乙两颗骰子 ,从 1点到 6点出现的概率都是 16 ,掷甲、乙两颗骰子 ,设分别出现的点数为ａ ,ｂ时 ,则满足ａ <|ｂ2 -2ａ| <1 0ａ的概率为 (　　 )(Ａ) 11 8.　 (Ｂ) 11 2 .　 (Ｃ) 19.　 (Ｄ) 16 .3.两人投一枚硬币 ,掷出正面者为胜 ,但这个硬币不太均匀 ,以致出现正面的概率Ｐ1与出现反面的概率Ｐ2 不相等 ,已知出现正面与出现反面是两个对立的事件 .设两人各掷一次…     

联系概率的由来及其在风险决策中的应用

观察一简单随机摸球实验:当盒子中只有白球时,事件A="任抽一球是白球"是必然事件;当盒子中有白球黑球时,事件A是随机事件,这一实验表明事件A的随机性是2个事物(白、黑球)相互联系的一种属性,借此实验说明概率用联系数表述的原理以及联系概率的来由,同时还介绍了引出联系概率时用到的一些新概念,举例说明联系概率在风险决策中的应用.     

对一道组合题的再分析

翻开《中学生数学》2004年第9月上期第36 页上有王倩茹同学写的一篇《一类排列组合问题 的辨析》一文,为便于说明,现摘出题目及其解答 (取其认为正确的一解)如下: 有3个不同的红球,5个相同的白球,要从 中取出3个球,其中至少有一个红球的取法有多 少种?     

一个组合恒等式的两种证法

在前不久 ,作业中出现了这样一道题 :证明 :(C0 n) 2 +(C1 n) 2 +(C2 n) 2 +… +(Cnn) 2 =Cn2n.我想了半天终于想出了常用的一种证法 ,如下 :设一袋中有n个白球 ,n个黑球 ,每次摸出n个 ,其中包含 0个白球 ,n个黑球 ,1个白球 (n - 1)个黑球 ,… ,直至n个白球与 0个黑球 ,它们恰好组成一个必然事件 ,故这个事件发生的概率总和为 1,即得到C0 n·CnnCn2n+C1 n·Cn -1 nCn2n+… +Cnn·C0 nCn2n=1.两边同乘以C1 2n,即得所证。经过几天的思考 ,我又想出了另一种比较新颖的证法 ,如下 :∵　 ( 1+x) n=C0 n+C1 nx +… +Cnnxn,　　 ( 1+1x) n=…     

“摸球赢钱”的把戏

路边有一种叫做“摸球赢钱”的把戏:一个布袋内装有6个红球和6个白球,除颜色不同外,这些球完全一样．每次从袋中摸出6个球,输赢的规定为: