Sur l'unique ergodicité des 1-formes fermées singulières

Summary We study the relations between the de Rham cohomology class of a closed differential 1-form with Morse singularities on a manifoldM of dimensionn3, and the ergodic properties of the foliationF it defines. We show by examples that, if the fundamental group is large enough, very different behaviours can occur in the same class. In contrast, if the fundamental group admits no surjective homomorphism onto the free group on 3 generators, thenF is always uniquely ergodic provided it has no compact leaf; if the natural homomorphism ₁(M)H ₁(M,Z)/torsion does not factor through a free group, then the same result is true in almost every cohomology class. We also give results about the existence of noncompact leaves and the number of ergodic measures.     

Densité de l'intégrale d'aire et intégrales singulières

In his 1983 paper [3], R. F. Gundy introduced a new functional related to the Littlewood-Paley theory, called thedensity of the area integral. In this paper, we prove that this functional (although highly non-linear) can be expressed as the principal value of an explicit singular integral. This result provides us with a new and precise connection between the density of the area integral and the theory of Calderón-Zygmund operators. It does not seem to be a consequence of the standard Calderón-Zygmund-Cotlar theory, because thesign of a harmonic function in the half-space fails to have, in some appropriate sense, boundary limits.      

Solutions d'équations elliptiques semi-linéaires singulières

Résumé Récemment T.Kusano et C. A.Swanson ont étudié l'équation elliptique semilinéaire u+j(x)u ^– =0,x R ⁿ,n 3et 0Ils ont montré l'existence d'une solution positive globale se comportant comme ¦x¦ ^2–n pour ¦x¦ grand. Nous démontrons l'existence et l'unicité d'une telle solution pour >/ 0.

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Summary T.Kusano and C. A.Swanson have recently studied the semilinear elliptic equationu+j(x)u ^– =0,x R ⁿ,n3 and 0< < 1. They have shown the existence of a global positive solution behaving like ¦x¦^2–n for large ¦x¦. We establish the existence and uniqueness of such a solution when > 0.

     

Quelques considérations sur la théorie des intégrales singulières

Sans résumé     

Théorème de Merle: cas des 1-formes de type courbes généralisées

Resumé Cet article contribue à l'étude des 1-formes holomorphes de type courbes généralisées. Nous observons que deux 1-formes de type courbes généralisées ayant les mêmes séparatrices partagent certaines propriétés. Nous en déduisons que dans le cas d'une unique séparatrice, son type topologique est déterminé par ses invariants polaires. Nous commençons donc par étendre la notion d'invariant polaire aux 1-formes holomorphes de type courbes généralisées. Nous étudions ensuite le polygone de Newton d'une 1-forme holomorphe pour mesurer le contact de la séparatrice d'une 1-forme holomorphe de type courbe généralisée avec ses courbes polaires. Nous terminons la preuve par une formule à la Plücker.     

Systoles des surfaces plates singulières de genre deux

The extremal metrics for the isosystolic problem on surfaces of genus two are studied in this paper. We show that, contrary to E. Calabis conjecture in genus three, no flat metric with conical singularities is extremal for this problem in genus two.in final form: 28 August 2003     

Complète intégrabilité singulière

We show that an holomorphic vector field in a neighbourhood of its singular point 0 0 ∈ ℂⁿ is analytically normalizable as soon as it has a sufficiently large number of commuting holomorphic vector fields, a sufficiently large number of formal first integrals, and that a Diophantian small divisors condition related to its linear part is satisfied.     

Sur les caractères du groupe de Suzuki

Let σ be the automorphism of $\mathrm{Sp}(4\text{,}{2}^{2n+1})$ so that the set of fixed points is the Suzuki group. We propose in this Note to calculate the irreductible characters of $\mathrm{Sp}(4\text{,}{2}^{2n+1})?〈\sigma 〉$, extension of degree two of the symplectic group, and describe two consequences: first, the principal block of the Suzuki group and of this extension are perfectly isometric, and secondly we determine the eigenvalues of Frobenius of the unipotent characters of the Suzuki group. To cite this article: O. Brunat, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 339 (2004).     

Paramètres algébriques de groupes formels et critères d'isogénie

We generalise G. and D. Chudnovsky's isogeny criterion for elliptic curves over Q to the case of Abelian varieties of dimension g. The proof is bused on an explicit construction of algebraic parameters of their formal groups.     

Fonctions entières et intégrales de Fourier multiples

Sans résumé