用三面角公式求二面角大小

先介绍三面角公式：如图1,设O-ABC为一个三面角,∠AOB＝α,∠AOC＝β,∠BOC＝γ,二面角B-OA—C的大小为θ,则有cosθ=（cosγ-cos αcosβ）/sin αsinβ。     

求二面角大小的又一方法

众所周知 ,求二面角的方法有定义法、射影法等 ,但这些方法都免不了比较复杂的计算 .下面本文介绍一种求平面角为锐角的二面角的大小的比较简捷的方法 ,这种方法的依据是 :图 1　命题中的示意图命题　如图1 ,若α∩β =ＭＮ ,且ＰＭ⊥α ,则二面角α ＭＮ β(锐角 )同ＰＭ与β所成的角互余 .其证明留给读者 ,此处从略 .下面举例谈谈其应用 .图 2　例题图例　如图 2 ,在正三棱柱ＡＢＣ Ａ1Ｂ1Ｃ1中 ,Ｅ∈ＢＢ1,截面Ａ1ＥＣ⊥侧面ＡＣ1,ＡＡ1=Ａ1Ｂ1,求平面Ａ1ＥＣ与平面Ａ1Ｂ1Ｃ1所成二面角 (锐角 )的度数 .( 1 996年高考题 )解　连结ＡＣ1交…     

一个计算二面角大小的公式

高中现行立体几何教材仅给出运用定义求二面角大小的一般方法,而未提供公式计算法。本文以向量为工具,得出一个计算二面角大小的有效公式,现介绍如下。公式如图1,从空间一点O引三条射线OA,OB,OC,在OC上任取点C,作CA⊥OC于C交OA于A,作CB⊥OC于C交OB于B,设(?),二面角A-OC-B的大小为α,则有 cosα=(cosθ-cosθ_1cosθ_2)/(sinθ_1sinθ_2)。证明如图1,由CA⊥OC,CB⊥OC知∠ACB为二面角A-OC-B的大小, ∴α=∠ACB=(?)。     

求二面角大小的直接计算法

利用向量求二面角,如何判断所求二面角是锐角或钝角?现行中学数学教材[1]或教辅资料给出的方法是通过观察图形来确定;常见的大学数学教材[2]、[3]亦未涉及此问题. 由于一个平面有共线且方向相反的两个法向量,所以两个平面所成二面角的平面角的大小与其法向量所成之角可能相等,也可能互补;而现行中学数学教材是用点积的办法来求法向量的,点积法的缺陷是不能控制法向量的方向,所以也就无法准确判断所求二面角究竟是钝角或锐角.     

求二面角大小的向量方法

向量具有一套良好的运算性质 ,它可以把几何图形的性质转化为向量运算 ,变抽象的逻辑推理为具体的向量运算 ,实现了“数”与“形”的结合 .因此用向量知识解决立体几何的二面角问题 ,有时显得特别简捷 .以下就举例说明用向量法求二面角大小的解题策略 .1　以平面向量为工具 ,建立求解二面角的平面向量模型以平面向量为工具 ,建立求解二面角的平面向量模型后 ,再利用平面向量的数量积公式 :a·b =|a|·|b|cos〈a ,b〉 ,可以使整个解题过程程序化 ,使问题变得熟悉化 .图 1　公式证明用图如图 1,若CE⊥AB于E ,DF⊥AB于F ,则二面角C AB D…     

求二面角大小的展平法

在立体几何中,求二面角大小是高考考查线面关系最综合、最见数学功力、最能体现能力、倍受专家青睐的地方,是年年有题、卷卷有题的热点．方法灵活多变,若按作、证、算的传统方法求解其大小,入门关和拦路虎是作二面角的平面角．本文给出一个化难为易的通用方法一展平法．     

来自梯子的启示——求二面角大小的一个简单公式

本文在为学生创设情境、提供素材 ,开展研究性学习方面 ,具有一定的价值 ,供同行们参考 .图 1　三线平行　　　　　　图 2　三线交于一点一架梯子 (记作平面γ)斜靠于墙地之间 (墙地成直二面角α l β) ,设梯地交线为m ,梯墙交线为n ,一个众所周知的结论是 :或者l∥m∥n ,或者 ,l,m ,n相交于一点O (为什么 ?) .在现实生活中 ,梯子的放置通常使得l∥m∥n ,这样安全 .如果有谁把梯子放置得让l,m ,n相交于一点O ,那是可笑的 ,也是危险的 .不过这种于实际生活中可笑而危险的做法 ,在数学上却能创造意想不到的奇迹呢 !笔者经研究发现 ,利用上述…     

用公式法求二面角的平面角

１　问题的提出大家知道,当一个三面角的三个面角都固定时,则它们任意两个面的平面角的大小也就确定;它们之间一定存在着某种必然的内在联系;事实上,我们有如下的定理;图１ＢαＣ２θ１θＯＡ定理　设Ｏ－ＡＢＣ为一个三面角,∠ＡＯＢ＝φ,∠ＡＯＣ＝θ１,∠ＢＯＣ＝θ２,二面角Ａ－ＯＣ－Ｂ的平面角为α,则有ｃｏｓφ＝ｃｏｓθ１ｃｏｓθ２＋ｓｉｎθ１ｓｉｎθ２ｃｏｓα;略证：如图１,ＡＣ⊥ＯＣ,ＢＣ⊥ＯＣ,则∠ＡＣＢ＝α;令ＯＡ＝ａ,ＯＢ＝ｂ;在Ｒｔ△ＡＣＯ中,ＡＣ＝ａｓｉｎθ１,ＯＣ＝ａｃｏｓθ１;同理,Ｂ…     

一组角度公式及其应用

定理　若OB与OC确定的平面为α ,OA为平面α的一条斜线 ,且AB⊥α ,若记∠AOB =θ1,∠BOC =θ2 ,∠AOC =θ ,二面角C -OA -B的大小为β ,则图 1　定理证明用图cosθ =cosθ1·cosθ2 (1)cosβ =tanθ1tanθ (2 )sinβ =sinθ2sinθ (3)简析 :要证明 (1) ,只需过B作BD⊥OC于D即可 (如图 1) ;要证明 (2 ) ,(3) ,则过B作BE⊥OB于B ,且使BE∩OC =E ,然后过B作BF⊥OA于F ,再连结EF .可以证明图 2　定理证明用图∠BFE =β(如图 2 ) ,具体证明从略 .例 1　如图 3,球O的截面BCD把球面面积分成1∶3两部分 ,BC是截面圆的直径 ,…     

用法向量夹角求二面角大小的教学设想

在苏教版高中数学选修教材2-1(以下同)中,用法向量的夹角来求二面角的大小.教材这样总结方法: “由于平面的法向量垂直于平面,这样,这两个平面所成的二面角就可以转化为这两个平面的法向量所成的角.考虑到二面角的取值范围是[0°,180°],所以二面角的平面角θ与这两个平面的法向量的夹角相等或者互补.”     

利用法向量求二面角大小的一个判定方法

利有法向量解决立体几何问题是近几年高考的一个新亮点.众所周知,二面角的大小与其两个面的法向量的夹角相等或互补,但“相等”还是“互补”这个问题始终困扰着大家,即使是高考试卷的解答也没能得到彻底的解决,总让人觉得美中不足.本文拟给出一个简单的判定方法.引理向量m是平面α的一个法向量,点O在平面α内,点P在平面α外.1)若m·OP>0,则向量m与向量OP的方向指向平面α的同侧(如图1所示);2)若m·OP<0,则向量m与向量OP的方向指向平面α的异侧(如图2所示).图1引理图图2引理图分析:1)由m·OP>0得∈[0,π2),易知向量m与向量OP的…     

利用法向量求二面角大小的一个判定方法

利有法向量解决立体几何问题是近几年高考的一个新亮点．众所周知，二面角的大小与其两个面的法向量的夹角相等或互补，但“相等”还是“互补”这个问题始终困扰着大家，即使是高考试卷的解答也没能得到彻底的解决，总让人觉得美中不足．本文拟给出一个简单的判定方法．     

谈如何解决求二面角大小的法向量法的不足

求二面角大小时，用平面的法向量法与其他方法相比，思想清晰且推理简易。     

对新教材中如何用法向量求二面角大小的补充

在立体几何中适当地引入向量,对一些问题的求解有着十分重要的作用.但是在上海新课改的大纲中只说明了可以运用向量法求解,而高三拓展Ⅱ（理科）配备的例题中,对于如何用法向量确定二面角也没有给出很好的解决办法,只是强调由图可知.这就给教师和学生带来很大的困惑,到底如何用法向量来确定所求的二面角就是所找的呢？     

法向量求二面角大小的又一个简单判定方法

立体几何中的求二面角大小问题,是高考重点考查内容,法向量法是求二面角大小的一种主要方法.我们知道:二面角大小与其两个平面的法向量的夹角相等或互补.但到底是相等还是互补,教学中很多师生采用直观判断,参考资料涉及此问题也回避不谈.文[1]给出了一种很好的判定方法,本文给出     

求一类勾股数组的公式

定义:如果正整数x、y、z能满足下列不定方程x~2+y~2+=z~2,那么,x、y、z叫做勾股数。观察下列各式: 这样,我们就得到了三组勾股数:4、3、5;12、5、13;24,7,25。按照此法,在数列1,3,5,7,…2k+1,…中找出一平方数,它前面的项数与项数加1再和这个平方数的平方根一起就构成一个勾股数组。如49=7~2=     

用乘法公式求勾股数组

初二《几何》教材中规定:能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数(或勾股弦数).换句话说,若正整数a、b、c具有关系a2+b2=c2,我们就称(a,b,c)为一组勾股数.在勾股数组(a,b,c)的三个数中,已知其中二个求剩余的一个,利用勾股定理可很快求出(知二求一);若只知三数中的一个,求出另两个则较为困难(知一求二).知一求二的方法很多,本文利用乘法公式介绍一种简单而又易于操作的方法,供学习与参考.     

组合数公式的变形及其应用

组合数公式的变形及其应用１３１１００吉林省前郭五中陈炆，张秀杰通过对组合数公式的分母左端、分子的左、右两端添、减连续个正因子的办法，可得该公式的三类十种形式的变形．将这些变形应用于解题，不仅使某些与之有关的数学问题化繁为简，化难为易，而且更重要的是对...     

关于Euler-Maclaurin求和公式的一种余项表示

Let f(t) be a functiin defined on [a,b] and Let f^(r-1)(t)(r≥2) be of bounded variation there. Then for any x∈[0,l] we have (?).It is shown that the expression given above has various consequences including those mentioned in [1], [2],[3], respectively. Also the result included in this note is a refined estimate fcr the remainder term of an asymptotic expansion of a kind of oscillatory integral (See (13) - (16)).