Nonlinear analysis of flow pulses and shock waves in arteries

Zusammenfassung In jeder Gruppe von Menschen variieren die Kreislaufparameterwerte von Individuum zu Individuum ziemlich stark. Um die Effekte realistischer Schwankungen dieser Parameter auf die Strom-und Druckpulse in arteriellen Leitungen zu untersuchen und um mögliche Manifestationen gewisser pathologischer Zustände wie Arteriosklerosis und die Insuffizienz der Aortenklappen zu identifizieren, werden hier einige der Resultate präsentiert, die sich auf Grund des im ersten Teil beschriebenen mathematischen Modells ergeben. Insuffizienz der Aortenklappen ist nachgebildet durch einen Ausströmungspuls mit aussergewöhnlich grossem Rückstrom. Der zugehörige Druckpuls zeigt die bekannten Eigenschaften von Stosswellen, die anscheinend verantwortlich sind für die pistol shot sounds, die man über der arteria femoralis und der arteria radialis von Patienten mit Aorteninsuffizienz hört.

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For Part I see Z. ang. Math. Phys.22, 217 (1971).     

On the temperature and humidity dependence of the ice forming activity of silver iodide

Zusammenfassung An AgI-Pulver mit der Korngrössen-Verteilung nach Figur 1 wurde die Eiskeimbildungsaktivität in Funktion der temperatur gemessen; Figur 2 zeigt das Resultat, das kurz diskutiert und mit Experiment und Theorie anderer Autoren verglichen wird.Die Abhängigkeit der Aktivität vom Dampfdruck zeigte sich in einem orientierenden Versuch, bei dem der unterkühlte Nebel aus Steinsalzlösungströpfchen bestand; mit den so reduzierten Dampfdrücken gemäss Figur 3 ergaben sich die in Figur 4 dargestellten Aktivitätskurven, woraus zu schliessen ist, dass AgI im ganzen Bereich seiner Eiskeimbildungsaktivität als Sublimationskern wirkt.

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Paper presented at the International Congress of Cloud Physics in Verona, August 9–13, 1960.     

Analysis of turbulent boundary layers with zero pressure gradient

Zusammenfassung Das hier entwickelte, formale, mathematische System beschreibt turbulente Grenzschichten an glatten und rauhen Platten und vermittelt eine zusammenhängende und folgerichtige Behandlung von solch groben Schichteigenschaften wie Durchschnittsgeschwindigkeitsprofil, Schubspannung, Wirbelviskosität und Grenzschichtdicke. Die erhaltenen Lösungen zeigen gute Übereinstimmung mit den Versuchsergebnissen. Die gegebene Formulierung kann in gewisser Hinsicht als eine neuartige Mischungsweghypothese betrachtet werden.Die Arbeit beschränkt sich auf Grenzschichten mit Nulldruckgradienten. Eine Verallgemeinerung auf von Null abweichende Druckgradienten ist einer späteren Mitteilung vorbehalten, in welcher gezeigt werden soll, dass die benutzte Methode zu mit dem Experiment übereinstimmenden Ergebnisse führt und keiner weiteren Hilfshypothesen bedarf.Die physikalische Bedeutung der Arbeit kann darin gesehen werden, dass ein allerdings nicht ganz genaues Mischungswegmodell dennoch auftretende Mischungsvorgänge näherungsweise beschreiben kann, was somit die Aufstellung einer Mischungsweghypothese ermöglicht, die mit genügender Genauigkeit ein grobes Bild verschiedener Aspekte der beobachteten Vorgänge gibt. Es ist somit möglich, zu einer handlichen und folgerichtigen mathematischen Formulierung zu gelangen, mit deren Hilfe allgemeine Eigenschaften von turbulenten Grenzschichten an festen Oberflächen untersucht werden können.

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Address for 1958: California Institute of Technology.

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Supported in part by a grant from the Rockefeller Foundation RF 56160.     

Approximate solution of boundary layer problems with injection or suction

Zusammenfassung Der grundlegende linearisierte Ansatz zur Näherungslösung von Grenzschichtproblemen wird auf neue Anwendungen erweitert, um die Behandlung von Problemen mit Massenaustausch durch die Oberfläche zu ermöglichen und die Beschränkung auf die Prandtl-Zahl 1 zu mildern. Das klassische Problem der konstanten, d. h. nicht ähnlichen Geschwindigkeitsverteilung an der Oberfläche wird behandelt, und die Ergebnisse werden mit der exakten numerischen Lösung verglichen. Es ergibt sich eine ausgezeichnete Übereinstimmung. Sodann wird eine Lösung des schwierigen und praktisch wichtigen Problems einer Stufenfunktion für die Oberflächengeschwindigkeit gegeben. Die freie Konvektion über einer vertikalen Platte mit konstanter Temperatur und Oberflächengeschwindigkeit wird erstmalig gelöst. Schliesslich wird das der Schlitzeinspritzung entsprechende Anfangswertproblem unter Milderung der bisherigen AnnahmeP _r =1 behandelt.

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This work was supported by the National Science Foundation, Grant No. GK-310,     

Die thermodynamischen Grundlagen der Kontinuumsmechanik (Vergleich zwischen verschiedenen Zugängen)

Zusammenfassung Die Anwendung des zweiten Hauptatzes auf das Kontinuum wurde von verschiedenen Autoren untersucht. Es sind dabei einige Formalismen entstanden, die sich in den Voraussetzungen sowie in der Technik der Ausschöpfung dieses Satzes unterscheiden. Es ist das Ziel dieser Abeit, die Gedankengänge der wichtigsten Formalismen zu skizzieren, Vergleiche zu ziehen und Uebergänge von einem zum anderen zu untersuchen.Der zweite Hauptsatz wird sowohl in der integralen Form zwischen zwei Gleichgewichtszuständen als auch ind der momentanen sogenannten Clausius-Duhem-Form aufgestellt. Es wird gezeigt, dass die integrale Form stets aus der momentanen folgt, und dass unter gewisse Voraussetzungen, welche sich auf Eigenschaften der betrachteten Stoffgleichungen beziehen, auch das Umgekehrte der Fall ist. Im übrigen werden Konsequenzen aus der Clausius-Duhem-Ungleichung untersucht. Es wird festgestellt, dass die Ungleichung erst dann konkret ausgebeutet werden kann, wenn eine grobe Struktur der Materialgleichungen vorgegeben wird.Die in dieser Arbeit behandelten Materialien lassen sich in Stoffe mit inneren Parametern, Stoffe in Funktionaldarstellung und Stoffe vom Differentialtyp unterscheiden.Es stellt sich unter anderem heraus, dass eine Unterklasse der Stoffe in Funktionaldarstellung existiert, die die Materialien mit inneren Parametern und momentaner Elastizität enthält.

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Different formalisms in the application of the second fundamental law of thermodynamics to continuum mechanics are compared.The theorem is applied in both its global form between two equilibrium states and the momentary Clausius-Duhem form. It is shown that the integral form follows from the momentary one, and that, if certain hypotheses on constitutive equations are satisfied, the inverse is also true.Furthermore, the second law supplies concrete results only if a rough structure of the constitutive equations is given. The materials dealt with here include those described by internal parameters, those described by functionals, and those of differential type.It is finally shown that there exists a subclass of materials described in functional form which contains those with internal parameters and instantaneous elasticity.

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Zusammenfassender Bericht.     

Mathematische Programmierung in der Zementindustrie

Zusammenfassung Mit Hilfe der Methoden der Mathematischen Programmierung wird für eine Zementfabrik ein Modell gebildet, das gestattet, die optimale Größe der Klinkerhalle, Mahlanlage und Siloanlage zu berechnen. Vorgegeben ist eine jährliche Klinkerproduktion von 500 000 Tonnen; in Abhängigkeit vom saisonalen Absatzverlauf, dem Tarif für die elektrische Energie und Leistung, dem Baukostenverlauf für variable Größe der betrachteten Anlageteile, der technischen Lebensdauer dieser Anlageteile und dem langfristigen Zinssatz werden die gesuchten optimalen Größen berechnet. Der Absatzverlauf, der dieser Berechnung zugrunde liegt, wird zuerst durch eine Erweiterung der dualen Aufgabe des primären linearen Programms hergeleitet; dieser Absatzverlauf muß so gewählt werden, daß die Lösung des linearen Programms eine fat solution im Sinne der linearen Programmierung unter Unsicherheit ergibt; dies führt auf eine quadratische Programmierungsaufgabe. Abschließend werden einige numerische Resultate diskutiert.

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Summary A model for a cement factory is developed by using the methods of mathematical programming, which allows to calculate the optimum capacity of the clinker hall, grinding works and silo plant. An annual clinker output of 500 000 tons is given; the desired optimum capacities are calculated in dependence on the seasonal sales trend, electrical power rates, the trend of building costs of the variable plant capacities taken into consideration, the technical life-span of the plant and the long-term rate of interest. The sales trend taken as a basis for these calculations is first derived from an extension of the dual problem of the primary linear program. This sales trend is thus chosen that the solution of the linear program results in a fat solution in the sense of the linear programming under uncertainty. In order to find out this underlying sales trend a quadratic programming problem has to be solved. In conclusion some numerical results are discussed.

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Bezeichnungen: In den folgenden Ausführungen sind Matrizen mit großen Buchstaben bezeichnet, Zeilenvektoren mit kleinen Buchstaben mit waagrechtem Pfeil; Koeffizienten und Konstante sind durchwegs mit kleinen Buchstaben bezeichnet.

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Dissertation, angenommen von der Rechts- und Staatswissenschaftlichen Fakultät der Universität Zürich. Ich möchte dem Referenten, Herrn ProfessorH. P. Künzi, hier meinen Dank aussprechen. Der Zementfabrik Holderbank AG bin ich für die großzügige Unterstützung zu Dank verpflichtet; ebenfalls möchte ich der Firma IBM danken für die Zurverfügungstellung einer IBM 7090-Rechenanlage.

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Vorgel. v.:H. P. Künzi     

Cylindrically orthotropic circular plates with large deflections

Zusammenfassung Es werden die Verschiebungs- und Spannungszustände in einer Kreisplatte mit grossen Durchbiegungen und zylindrischer Orthotropie mit Hilfe zweier Methoden untersucht, nämlich der Methode des kleinen Parameters vonPoincaré und einer modifizierten Methode vonGalerkin.Ein numerisches Beispiel für gleichmässige Belastung der Platte, die Poissonsche Zahlv =1/4 und die Beziehungv :v _r =4 wird gegeben.

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This work has been sponsored by the United States Army under contract No. DA-11-002-ORD-2059     

Lösung großer linearer Regionalplanungsprobleme mit der Methode vonDantzig undWolfe

Kurzfassung Ein großes, für den Agrarsektor der BRD konzipiertes räumliches Gleichgewichtsmodell ist als lineares Optimierungsproblem zu groß, um ohne Schwierigkeiten mit einem Standard-LP-Programm gerechnet werden zu können. Zur Lösung solcher Probleme wird ein Programmkonzept entworfen, das die Verwendung von Standard-LP-Programmen vorsieht und sich am Vorgehen der Dekompositionsmethode vonDantzig undWolfe orientiert. In Versuchsrechnungen mit einem ca. 1250 Spalten und 900 Zeilen umfassenden kleineren Problem wird dieses Konzept getestet und untersucht, inwieweit der Rechenaufwand durch die Wahl der Ausgangslösung sowie bestimmte Matrixzerlegungen beeinflußt werden kann.

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Summary The programming formulation of a large spatial equilibrium model of the agricultural sector of Germany, which is in preparation, results in a very large linear programming problem. For solving it, existing computer programs for linear programming (LP-programs) provide too little capacity. The author traces out the solution of such problems by a decomposition program, which allows the unchanged use of existing LP-programs. The underlying method is the decomposition principle ofDantzig andWolfe. This concept is tested by solving a problem with about 1250 colums and 900 rows. Furthermore, it is investigated to which extend an appropriate starting solution or specific matrix divisions influence optimization time.

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Überarbeitete Fassung eines Vortrags, der auf der Jahrestagung 1973 der Gesellschaft für Operations Research (DGOR) in Karlsruhe unter dem Titel Zur Anwendung linearer Dekomposition gehalten wurde.     

On the solution of the general inhomogeneous linear differential equation of second order using lie series representation

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit wird die lineare, inhomogene, gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung mit beliebigen regulären Koeffizientenfunktionen mittels Liereihen gelöst. Es werden zwei Wege beschritten, von denen einer auf Rekursionsformeln und der andere auf die iterative Auswertung eines Störintegrals führt; ersterer ist programmiertechnisch einfacher, läßt aber keine exakte Fehlerabschätzung zu, während für das Störintegral der Fehler angegeben werden kann.

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the result communicated in this paper were obtained in the course of research sponsored by NASA under Research Grant No. NGR-52-046-001. (Princical investigatior: Prof. Dr. Ferdinand Cap.)     

Zur Schätzung der Marktreaktion mit Zeitreihendaten: Die Band-Spektrum-Regression

Zusammenfassung Der folgende Beitrag befaßt sich mit einer der vermutlich häufigsten Ursachen für Fehlschläge bei der empirischen Marktmodellierung: zu Parametrisierung des auf spezifischen Hypothesen beruhenden Strukturmodells werden Zeitreihen-Daten herangezogen, in denen typischerweise andere als die gesuchten Interdependenzen dominieren. Dies führt zu den bekannten spurious regressions und falschen Modellkoeffizienten. Um die spezifischen Hypothesen in erster Linie mit der ihnen entsprechenden Variation in den Daten zu konfrontieren, schlägt der Autor die Band-Spektrum-Regression vor, die es ermöglicht, die für die Parametrisierung eines Marktreaktionsmodells relevante Information in den Daten zu lokalisieren und, von störenden Einflüssen befreit, in die Schätzung einzubringen. Anhand einer empirischen Studie wird gezeigt, daß sich das theoretische Konzept der Band-Spektrum-Regression auch bei der praktischen Marktmodellierung bewährt.

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This paper discusses a main problem in empirical market modelling, namely that rather specific hypothesis about market structure are confronted in the estimation phase with time series which are typically dominated by interdependencies from other sources than formulated in the model. Results are spurious regressions and wrong coefficients. In order to evaluate the specific hypothesis on the basis of the appropriate variation in the data, Band-Spectrum-Regression can serve as an instrument to locate the relevant part of information in the data and to eliminate the misleading information. An empirical case study proves that the theoretical concept of Band-Spectrum-Regression can successfully be applied in the practice of market analysis.

     

A time-dependent method for the solution of one-dimensional radiating flow

Zusammenfassung In dieser Arbeit lösen wir die eindimensionale Gasströmungsgleichung einschliesslich des Effektes der Strahlungsübergänge für zähe und für reibungsfreie Fälle. Der Charakter der Hauptgleichung wird bestimmt und man findet, dass in Gegenwart von Strahlungsprozessen der zähe Fall zu parabolischen Charakteristiken führt. Die Stabilität des numerischen Schemas wird untersucht und ein Grenzkriterium für den Fall starker Strahlung wird bestimmt. Im Einklang mit diesem Kriterium wird gefunden, dass im Falle starker Stösse und starker Strahlung die Rechnungen sehr langwierig werden.

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This research was conducted under the soponsorship of the Office of Naval Research, under Contract No. Nonr 839(34), Project No. NR 061-135.     

Nonlinear constitutive equations for directed viscoelastic materials with memory

Zusammenfassung Es werden die nichtlinearen Konstitutionsgleichungenfür ein richtungsorientiertes viskoelastisches Material mit Gedächtnis entwickelt. Die Beziehungen zwischen dieser Theorie und derjenigen der klassischen Elastizität und Viskoelastizität und einige andere Arbeiten auf dem Gebiete der Theorie der richtungsorientierten Medien werden besprochen.

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Acknowledgment. This work was sponsored by the National Science Foundation under Research Grants NSF GK 1608 and GK 1769.     

Algorithmische Kombinatorik auf der Stufe programmierbarer Taschen-Rechner

Zusammenfassung Es ist zu erwarten, dass der programmierbare Taschen-Rechner mit zunehmender Verbreitung in der Lehre neue Akzente setzen wird. Mit diesem Gerät besteht nämlich die Möglichkeit, im Unterricht vermehrt Beispiele und Anwendungen einzubauen und auf diese Weise die Pflege des algorithmischen Denkens anzuheben. Andererseits ist der programmierbare Taschen-Rechner auch dem forschenden Mathematiker ein höcht willkommenes Werkzeug, weil sich damit in vielen Fällen numerische Probleme in der eigenen Studierstube bewältigen lassen. Zugleich steht mit dem Taschen-Rechner ein gewisses Experimentierfeld offen, das bei theoretischen Untersuchungen die entscheidenden Impulse vermitteln kann. Die vorliegende Note will diese Aspekte des programmierbaren Taschen-Rechners an drei konkreten Beispielen aus der algorithmischen Kombinatorik aufzeigen.

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Summary The programmable pocket-calculator will give new perspectives in mathematical education. More examples and applications can be given in courses of instruction and the importance of algorithmic processes can be stressed. But this is also a fine tool for the research mathematician since it can be equally well used for numerical evaluations or for speculative experiments. The present paper illustrates these aspects with three examples from the field of algorithmic combinatorics.

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Meinem verehrten Lehrer und Kollegen E. Stiefel gewidmet     

An initial value problem in rectilinear flow of a thermo-viscoelastic material with memory

Zusammenfassung Die Grundgleichungen für eine Theorie der Thermo-Viskoelastizität von Stoffen mit Gedächtnis werden auf das Problem der gradlingen Schichtströmung zwischen zwei Wärmespeichern angewandt. Es werden die Geschwindigkeit, die Spannungen und die Wärmeströmung bestimmt.

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Acknowledgement. This work was sponsored by the National Science Foundation under Research Grant NSF GK99.     

Einheitliche Untersuchung der elektrischen Maschinen mit Hilfe des Poynting-Vektors und des elektromagnetischen Energieflusses im Luftspaltraum

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit werden elektrische Maschinen, im Hinblick auf die Dichte und den Fluss elektromagnetischer Energie im Luftspaltraum, einheitlich untersucht. Der Grund für derartige Untersuchungen ist, die elektrischen Maschinen als physikalische Gebilde mit Strombelägen, Durchflutungen, elektrischen und magnetischen Feldern zu, betrachten und dementsprechend zu analysieren. Anschliessend sind die aus solchen Analysen erhaltenen Ergebnisse mit denjenigen, bereits bekannten, Ergebnissen zu vergleichen, die sich bei der Betrachtung der elektrischen Maschinen als Netzwerke aus Widerständen, Induktivitäten, Gegeninduktivitäten und Rotationsinduktivitäten ergeben. Um die Analyse systematisch durchführen zu können, wird zunächst eine allgemeine Theorie entwickelt, die der Gegenstand dieses Aufsatzes ist. Mit dieser Theorie werden in einem zweiten Aufsatz verschiedene elektrische Maschinen einheitlich untersucht.

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Summary In this treatise a unified analysis of electrical machines has been presented with respect to the density and the flow of electromagnetic energy in the air-gap space. The reason for such an analysis is to investigate the physical aspects of electrical machines based on current sheets, magnetomotive forces and electric and magnetic fields. The results of such kind of investigations are to be compared with the results obtained by considering the electrical machines as networks having circuit-elements like resistances, inductances, mutual inductances and rotational inductances. For a systematic investigation it is necessary to develop a general theory first, which is, as a matter of fact, the topic of this paper. A unified analysis of several electrical machines by applying the general theory is the theme of a subsequent paper.

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Dieser Aufsatz ist ein stark gekürzter Auszug aus der gleichnamigen Habilitationsschrift des Autors.     

Produktionsplanung bei losreihenfolgeabhängigen Maschinenumstellkosten

Zusammenfassung In einer Mehrprodukten-Mehrstufenproduktion mit losreihenfolgeabhängigen Umstellzeiten und unterschiedlichen Takten der aufeinanderfolgenden Maschinen läßt sich ein exaktes Steuerungsverfahren für die Loseingabe mit dem Ziel der Minimierung von Umstellkosten und Zwischenlagerkosten nicht allgemein angeben. Für den Spezialfall sind Näherungsverfahren für die Produktionseingabe und -steuerung möglich (Abschnitt 2). Solche Verfahren können Zwischenlager zu Auswahlzwecken einschließen (Abschnitt 3). Derartige Auswahllager sind begrifflich von den wegen der Maschinentaktdifferenzen erforderlichen losgrößenabhängigen Zwischenlagern zu trennen (Abschnitt 1). Bei gegebenem Näherungsverfahren für die Produktionseingabe lassen sich in bezug auf die Umstell- und Lagerkostenminimierung optimale Losgrößen und Zwischenlager ermitteln (Abschnitt 4).

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Summary Production scheduling cannot be fitted in an exact model in processes dealing with multi-product- and multi-stage-production depending on the lot-sequence and with different speeds of successive machines. But in special cases one can approximate production scheduling (section 2). In such a production scheduling inventories for lotselection are applicable (section 3). But there are inventories depending only on the lot size and differences of machine speed (section 1). Procedure of production scheduling given, it is possible to obtain the minimum setup costs and inventory costs, i. e. one has to find out the optimal lot size and the optimal inventories (section 4).

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Meinen Kollegen Dipl.-Volksw.W. Förster und Dipl.-Math.W. Piesch bin ich für wertvolle Anregungen zu Dank verpflichtet. Der Aufsatz beruht auf Überlegungen zu einem praktischen Fall, dessen Lösung wir gemeinsam erarbeitet haben.     

The response of a thin elastic rod to combined thermal and mechanical impulse

Zusammenfassung Es wird das Charakteristikenverfahren benützt, um zwei Probleme zu untersuchen, welche mit dem kombinierten Einfluss eines thermischen und mechanischen Stosses auf die Fortpflanzung einer elastischen Längswellenfront im eindimensionalen Körper zusammenhängen. Im ersten Fall werden die beiden Stösse gleichzeitig am freien Ende appliziert, und es werden die Änderungen in der Fortpflanzungsgeschwindigkeit studiert, welche auf das durch Diffusion erzeugte ungleichförmige Temperaturfeld zurückzuführen sind. Es wird gezeigt, dass die Vorläuferfront durch den modulierenden Effekt des Diffusionsprozesses in ihrer Intensität herabgesetzt wird. Das zweite Problem betrifft einen mechanischen Stoss, der einige Zeit nach Entstehen eines ungleichförmigen Temperaturfeldes infolge Wärmeflusses appliziert wird. Es werden Ausdrücke hergeleitet für die Modulation der Verzerrungen und Geschwindigkeiten an der Wellenfront, während die elastische Welle in ein festeres Medium hineinläuft.

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Presented at the Canadian Congress of Applied Mechanics, Laval University, May 22–26, 1967.     

Time-dependent radiative transfer in a semi-infinite medium with a reflecting boundary

An exact solution for the intensity due to a pulse radiation on the free surface of a semiinfinite medium with a known surface reflectivity is obtained via the multiple collision method. The time-dependent scalar intensity at the free surface is evaluated for several reflectivities and albedos using the corresponding steady state solution.

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Zusammenfassung Die exakte Lösung für die von einem Strahlungspuls erzeugte Intensität auf der freien Oberfläche eines halb-unendlichen Mediums mit bekannter Oberflächen-Reflektivität wird bestimmt mit Hilfe der Methode der mehrfachen Zusammenstöße. Die zeitabhängige skalare Intensität auf der freien Oberfläche wurde berechnet für verschiedene Reflektivitäten und Albedos, mit Benützung der entsprechenden stationären Lösung.

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Consiglio Nazionale Delle Ricerche (CNR) Visiting Professor at the University of Bologna.     

Nonideal magnetogasdynamic flows in boundary layer approximation

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit werden schwach konvergierende und schwach divergierende MGD-Strömungen in der Grenzschichtnäherung untersucht. Das Verhalten dieser magnetischen Grenzschicht, charakterisiert durch alleinige Berücksichtigung der magnetischen Viskosität und Vernachlässigung der dynamischen Viskosität, wird durch die starke Kopplung zwischen Magnetfeld und Strömungsfeld bestimmt. Es werden im allgemeinen durch diese Kopplung die MGD-Grenzschichtgleichungen komplizierter, so dass deren analytische Lösung nur mit Hilfe von Ähnlichkeitstransformationen möglich ist. Nur im GrenzfallR _M (magnetische Reynoldszahl sehr gross) erhält man eine analytische Lösung. Mit Hilfe bestimmter Symmetriebedingungen werden die Lösungen auf symmetrische Strömungen eingeschränkt (freier Strahl oder Kanalströmungen). Schliesslich wird noch gezeigt, dass die endliche elektrische Leitfähigkeit die Ursache der freien Turbulenz gewisser Jet-Konfigurationen ist.

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This research has been sponsored in part by the United States Government under Contract No. F61052-67-C-0014.     

Numerical analysis of longitudinal elastic-plastic waves with radial effects

Summary The two-dimensional problem of longitudinal elastic-plastic waves in circular rods taking radial-inertia effects into account is solved based on the finite-element method and an explicit integration algorithm. The elastic-plastic constitutive equations are the yield criterion of von Mises with isotropic work hardening and the Prandtl-Reuss flow rule. Numerical results are shown for the region near the impact end of a semi-infinite rod for two sets of boundary conditions, namely prescribed longitudinal velocity and prescribed longitudinal stress at the bar end. The lateral motion of the struck end is assumed to be unrestrained (zero shear stress).The numerical results show response characteristics which deviate from the one-dimensional solution and which are in a good qualitative agreement with a number of experimental observations reported in the literature. These impact test results have been examined with respect to the predictions in order to separate radial- and strain-rate effects. Several specific calculations for the various test conditions have been performed to obtain quantitative agreement with experimental observations.

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Zusammenfassung Das zweidimensionale Problem der elastisch-plastischen Längswellen in kreisförmigen Stäben unter Berücksichtigung der Querschwingungen wird mit Hilfe der finiten Elemente und eines expliziten Integrationsalgorithmus gelöst. Als Materialgleichungen wurden die von Misessche Fliebedingung und das Fliegesetz nach Prandtl-Reuss verwendet. Für den halbunendlichen Stab werden numerische Resultate fur den Bereich des belasteten Endes gezeigt, wobei entweder die Geschwindigkeit oder die Spannung am belasteten Ende vorgegeben ist. Zusätzlich wird angenommen, da sich das Stabende in der Querrichtung frei bewegen kann.Die numerischen Resultate zeigen abweichend von der eindimensionalen Lösung Details, die gut mit einigen in der Literatur beschriebenen experimentellen Beobachtungen übereinstimmen. Diese Versuchsergebnisse wurden den numerischen Resultaten gegenübergestellt, um so den Einflu der Querschwingungen vom Einflu der Dehnungsgeschwindigkeit zu trennen. Um eine quantitative Übereinstimmung mit den experimentellen Beobachtungen zu erzielen, wurden einige Rechnungen mit den Versuchbedingungen als Eingabewerte durchgeführt.

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This paper is based on the doctoral dissertation of first author's dissertation at the Swiss Federal Institue of Technology (ETH), Zürich, Switzerland.