一道IMO题的对偶式与面积解释

第２４届ＩＭＯ第６题是：在△ＡＢＣ中，ａ、ｂ、ｃ是三边长，求证：ａ２ｂ（ａ－ｂ）＋ｂ２ｃ（ｂ－ｃ）＋ｃ２ａ（ｃ－ａ）≥０．（１）文［１］指出了它的下述对偶形式：ａｂ２（ａ－ｂ）＋ｂｃ２（ｂ－ｃ）＋ｃａ２（ｃ－ａ）≤０，（２）并给出了统一的距离解释．即不等式（１）、（２）的几何解释为：三角形内Ｂｒｏｃａｒｄ点到内心的距离非负．受此启发，笔者研究了第６届ＩＭＯ第２题：在△ＡＢＣ中，ａ、ｂ、ｃ是三边长，求证：　ａ２（ｂ＋ｃ－ａ）＋ｂ２（ａ＋ｃ－ｂ）＋ｃ２（ａ＋ｂ－ｃ）≤３ａｂｃ，（３）发现它也有如下的…     

两类产生增根的分式方程的判定

判定（一）（ｉ）命题：若ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ，且ａ≠０，ｂ≠－１分式方程：ｃｘ－ａ＋ｂ＝ｂ－ｘｘ－ａ当ｂ＝ａ＋ｃ时，必有ｘ＝ａ为分式方程的增根。（ｉ）例举：（１）１ｘ－１＋２＝２－ｘｘ－１，（ｂ＝ａ＋ｃ即２＝１＋１），ｘ＝１是方程的增根。（２）３ｘ＋２＋１...     

与匹多不等式有关的一个等式

与匹多不等式有关的一个等式方明（四川平昌二中６３５４００）约定ａ，ｂ，ｃ，△和ａ′，ｂ′，ｃ′，△′分别表示△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′的边长和面积，Ｈ＝ａ′２（ｂ２＋ｃ２－ａ２）＋ｂ′２（ｃ２＋ａ２－ｂ２）＋ｃ′２（ａ２＋ｂ２－ｃ２）．著名的匹多不等式...     

构造二项平方和函数证不等式

对于某些不等式证明题,我们若能根据其条件和结论,结合判别式的结构特征,通过构造二项平方和函数：ｆ（ｘ）＝（ａ１ｘ－ｂ１）２＋（ａ２ｘ－ｂ２）２＋…＋（ａｎｘ－ｂｎ）２,由ｆ（ｘ）≥０,得Δ≤０,就可以使一些用一般方法处理较繁的问题,获得简捷、明快的证明．例１　已知ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,求证：ａ２ｂ＋ｃ＋ｂ２ｃ＋ａ＋ｃ２ａ＋ｂ≥ａ＋ｂ＋ｃ２．（第二届“友谊杯”国际数学邀请赛题）证　构造函数ｆ（ｘ）＝（ａｂ＋ｃｘ－ｂ＋ｃ）２＋（ｂｃ＋ａｘ－ｃ＋ａ）２＋（ｃａ＋ｂｘ－ａ＋ｂ）２＝（ａ２ｂ＋ｃ＋ｂ２ｃ＋ａ＋…     

一条件恒等式证明之我见

一条件恒等式证明之我见徐鸿迟（江苏省泰州中学２２５３００）考察这样的问题：已知ａ＋ｂ＋ｃ＝ａｂｃ，求证ａ（１－ｂ２）（１－ｃ２）＋ｂ（１－ｃ２）（１－ａ２）＋ｃ（１－ａ２）（１－ｂ２）＝４ａｂｃ．徐南昌在［１］中用数学审美的目光发现了下面的“证法”：...     

数学问题解答

数学问题解答１９９８年１月号问题解答（解答由问题提供人给出）１１１１已知实数ａ，ｂ，ｃ，ｄ满足ａ＜ｃ，ｂ＞ｄ，证明：（ａ－ｂ）（ａ２＋ｂ２）＜（ｃ－ｄ）（ｃ２＋ｄ２）．证明∵ａ＜ｃ，ｂ＞ｄ∴ａ－ｂ＜ｃ－ｄ又∵幂函数ｙ＝ｘ３在Ｒ上是增函数∴ａ３＜ｃ３，...     

两道著名不等式等价性证明的启示

贵刊文［１］通过构造恒等式　　ａ２ｂ＋ｃ＋ｂ２ｃ＋ａ＋ｃ２ａ＋ｂ－ａ＋ｂ＋ｃ２　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａｂ＋ｃ＋ｂｃ＋ａ＋ｃａ＋ｂ－３２）巧妙地证明了著名不等式（１）、（２）的等价性：命题１　（１９６３年莫斯科竞赛题）设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,求证：　ａｂ＋ｃ＋ｂｃ＋ａ＋ｃａ＋ｂ≥３２．（１）命题２　（第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,求证：ａ２ｂ＋ｃ＋ｂ２ｃ＋ａ＋ｃ２ａ＋ｂ≥ａ＋ｂ＋ｃ２．（２）受其启发,我们可得更为一般的结论：设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,ｎ∈Ｎ,则　ａｎｂ＋ｃ＋ｂｎｃ＋ａ＋ｃ…     

1998年全国初中数学竞赛试题

１９９８年全国初中数学竞赛试题一、选择题１、已知ａ，ｂ，ｃ都是实数，并且ａ＞ｂ＞ｃ，那么下列式子中正确的是（）（Ａ）ａｂ＞ｂｃ（Ｂ）ａ＋ｂ＞ｂ＋ｃ（Ｃ）ａ－ｂ＞ｂ－ｃ（Ｄ）ａｃ＞ｂｃ２、如果方程ｘ２＋ｐｘ＋１＝０（ｐ＞０）的两根之差为１，那么ｐ等于（...     

从威森波克不等式的证明谈起

从威森波克不等式的证明谈起武爱民（河南鹤壁四矿中学４５８０１０）威氏不等式：ａ２＋ｂ２＋ｃ２４３△（其中ａ，ｂ，ｃ和△分别为△ＡＢＣ的边和面积）．目前人们已发现了它的十多种证法，而且被加强为ａ２＋ｂ２＋ｃ２４３△＋（ａ－ｂ）２＋（ｂ－ｃ）２＋（ｃ...     

用αsinx＋bcosx＝c有解的条件探求高考试题

用aｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝ｃ有解的条件探求高考试题杜楚琼，陈建军（湖南邵东八中）高中《代数》上册第２３６页中指出：形如ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝ｃ的三角方程（ａ、ｂ不同时为零）有解的条件是我们不妨把△＝ａ２＋ｂ２－ｃ２称为上述三角方程的判别式．那么ａ２?..     

Domains in C n+1 with noncompact automorphism group

We consider certain pseudoconvex domains in C ⁿ⁺¹ and show that if the automorphism group is noncompact, then the domain is equivalent to for some integerm ≥ 1. Communicated by Steven Krantz     

一类步数为2(k+1)的次黎曼流形上测地线的研究

构造了一类步数为2(k+1)的次黎曼流形,给出其上连接原点和t轴上一点测地线的条数和相应测地线的长度,同时得到其中最短的测地线.     

Individual blocking probabilities in the loss systemGI + M|\vec M|N|0

In this paper we investigate anN server loss system, where the input is a superposition of two types of traffics, namely of a renewal process and a Poisson process. The holding times of the two customer types are exponentially distributed with different parameters. For this model, denoted by , we derive a numerical algorithm for computing the individual blocking (loss) probabilities. The analysis is given by constructing a two-dimensional embedded Markov chain and by using the intensity conservation principle as well as point process arguments. The results generalize those of Kuczura [8] and Willie [11]. Finally, for the loss system we give a system of partial differential equations for the densities of the steady state distribution and discuss a special case.     

关于指数丢番图方程a~x+b~y=c~z的Terai猜想

本文证明了:当a=|m(m4-10m2+)|,b=5m4-10m2+1,c=m2+1,其 中m是偶数时,如果m≥542,则方程ax+by=cz仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,5).     

Explicit Formulas of the Bergman Kernel for Some Reinhardt Domains

In this paper we obtain the closed forms of some hypergeometric functions. As an application, we obtain the explicit forms of the Bergman kernel functions for Reinhardt domains \(\{|z_3|^{\lambda } < |z_1|^{2p} + |z_2|^2, \ |z_1|^{2p} + |z_2|^2 < |z_1|^{p} \}\) and \(\{|z_4|^{\lambda } < (|z_1|^2 + |z_2|^2)^{p} + |z_3|^2, \ (|z_1|^2 + |z_2|^2)^{p} + |z_3|^2 < (|z_1|^2 + |z_2|^2 )^{p/2} \}\).     

由圈长分布确定的二部图~$K_{n,n r}-A\ (|A|\leq 3)$

The cycle length distribution of a graph G of order n is a sequence （c1 （G）,…, cn （G））, where ci （G） is the number of cycles of length i in G. In general, the graphs with cycle length distribution （c1（G） ,…,cn（G）） are not unique. A graph G is determined by its cycle length distribution if the graph with cycle length distribution （c1 （G）,…, cn （G）） is unique. Let Kn,n＋r be a complete bipartite graph and A lohtaib in E（Kn,n＋r）. In this paper, we obtain： Let s 〉 1 be an integer. （1） If r = 2s, n 〉 s（s - 1） ＋ 2｜A｜, then Kn,n＋r - A （A lohtain in E（Kn,n＋r）,｜A｜ ≤ 3） is determined by its cycle length distribution; （2） If r = 2s ＋ 1,n 〉 s^2 ＋ 2｜A｜, Kn,n＋r - A （A lohtain in E（Kn,n＋r）, ｜A｜ ≤3） is determined by its cycle length distribution.     

一类含Caffarem-Kohn-Nirenberg不等式的奇异椭圆型方程正解的存在性

本文研究一类带奇异项及临界指数的方程 利用纤维方法证明方程在满足一定条件下正解的存在性．     

L~p INEQUALITIES AND ADMISSIBLE OPERATOR FOR POLYNOMIALS

Let p(z) be a polynomial of degree at most n. In this paper we obtain some new results about the dependence of p(Rz)-βp(rz) + α (R+1/r+1)n-|β | p(rz) s on p(z) s for every α, β∈ C with |α|≤ 1, |β | ≤ 1, R > r 1, and s > 0. Our results not only generalize some well known inequalities, but also are variety of interesting results deduced from them by a fairly uniform procedure.     

典型實照函數的最小?妥钚∑

<正> 1.如果函數f(z)在包含實軸土某一區間的區域B中是正則的,f(z)在此實軸區間上取實值.在區域B的其餘地方f(z)與(z)同符號;即