构造数学模型,解决初等数学的最值问题

在初等数学复数和函数教学中,我们时常见到关于求复数和函数最值的问题.如果我们对复数的绝对值不等式性质熟悉,构造一个恰当的数学模型,利用复数模的性质,即||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|,则可简捷、明快地解决这一类复数和函数的最值问题.利用它来求解十分方便,现举例来说明.     

求解复数问题的基本思路

复数是实数的拓广 ,它与几何、三角有着紧密的联系 ,解决复数问题时 ,可根据题目的特点 ,将问题进行适当的等价转化 ,转化为代数、三角或几何问题求解 .1　利用复数的代数形式化归为代数问题例 1　 (1992年全国高考题 )已知z∈C ,解方程zz - 3iz =1+3i.解　设z =x +yi(x ,y∈R) ,代入原方程得(x +yi) (x - yi) - 3i(x - yi) =1+3i,整理得x2 +y2 - 3y - 3xi=1+3i,由复数相等的条件得- 3x =3,x2 +y2 - 3y =1,解得　 x =- 1,y=0 ,或 x =- 1,y =3.故z1=- 1,z2 =- 1+3i.2　利用复数的三角形式化归为相应的三角问题例 2　已知复数z1,z2 满足z1+z2…     

复数在几何中的应用

复数可以用点和向量表示,复数集与复平面上的点集及复平面上从坐标原点发出的向量集具有一一对应关系,复数的加减法运算可以按照向量的加减法进行,若设z=r(cosθ isinθ)复数z_1与向量OZ_1对应,那么Z·z_1的几何意义是把向量OZ_1绕o点按逆时针方向旋转θ角,再把|OZ_1|变为原来的r倍,而z-1/z(z≠0)的几何意义则是把向量OZ_1绕o点按顺时针方向转θ角,再把|OZ_1|变为原来的1/r倍,根据复数及其运算的几何意义,平面上某些图形的几何关系可以通过复数关系来刻划,从而一些几何问题就可以通过一系列的复数运算,巧妙地导出所需的结果。     

商是纯虚数的几何意义及其应用

设非零复数z1,z2对应的向量分别是OZ1^→,OZ2^→则商z1/z2是纯虚数的充要条件是OZ1→⊥OZ2→，这就是两复数商z1/z2是纯虚数的几何意义，用好这一几何意义可简化某些复数题的计算，现举例说明。     

巧用一个辐角公式求辐角主值

如果记复数z的辐角为Argz,则Argz=argz 2kπ(k∈Z),其中argz为复数z的辐角主值.利用 zz-=|z|2及Arg(az)=Argz(a∈R ),有公式 这样就有公式 ,(当 巧用这一辐角公式,求解某些辐角主值问题,新颖简洁,妙不可言. 例1 已知复数z1、z2满足|z1|=|z2|=1,且z2-z1=-1,求argz1/z2.     

用复数性质解题举隅

复数有许多的性质,如: ①|z|2=zz-;②若z1=z2则z1-=z2-,[z1|=|z2|;③z∈R z=z-;④若|z|=1则1=zz-等等.解答某些复数问题时,若能灵活运用这些性质,则常使问题获得巧妙简捷的解法,下面列举几个性质的应用供同学们参考. 1.用|z|2=zz- 例1 设复数z满足|z|=2,求|z2-z 4|的最值. 分析常规方法是设z=2(cosθ isinθ)代入,此法运算量大,不易解得.若利用|z|2=zz-=4代入并作适当的变形,则解法简便快捷.     

解复数求值问题的几种途径

复数求值问题是复数运算中的一个难点，处理不好，就会陷入繁冗的计算中去，针对这点，本文试图通过数例来说明解决这类问题的几个途径．1选择恰岂的表示形式复数有代数、三角、几何（点，向量）三种表示形式，要处理好有关复数求值问题，首先要注意选择恰当的复数表示形式．又∵z1、z2对应向量OZ1和OZ2的夹角，在△Z1OZ2中，则由复数的三角式知：2转化为一元二次方程求根问题有些复数求值问题，可利用复数的有关性质，转化为以所求值为本知数的一元二次方程，再求这个方程的根．例2已知a、B为实系数二次方程ax2＋bx＋c=0的两根，a为虚…     

若干复数问题的几何直观

学了复数及其运算以后,一般学生都不习惯应用它们的几何意义思考问题,这当然不利于学生对复数的几何意义的掌握,也影响他们解题能力的提高,因此在教学过程中适当地补充一些应用这方面知识的例题,有助于学生逐步地形成应用复数几何意义的意识和提高应用这方面知识的能力,下面的一些例题可供参考。例1、设z是满足|z|=1的复数,求|z-2|的范围。解:设复数z在复平面上对应的点为Z,依题设,Z位于以原点为圆心的单位圆上。从而     

用复数的几何意义解题

用复数的几何意义解题是高中数学中数形结合思想的重要应用,试举数例如下: 例1 已知复数z1,z2满足|z1|=|z2|=1且 ,求z,z2的值. (199年上海高考题)解 设z1 z2,z1,z2在复平面内表示的点分别为Z0,Z1,Z2,显然Z0,Z1,Z2都在单位圆上(如图1).     

|Z|~2=Z的应用技巧

公式、|z|~2=z(?)表达了共轭复数及复数模的重要性质。它沟通了复数,|z|~2与一对共轭复数zz的关系。应用它可以将复数模的问题与一对共轭复数的问题互相转化,使之在不改变问题的性质的前提下改变了问题的结构形式,有助于促成问题的解决。另外,该公式又可将关于复数z与|z|的方程转化关于     

在课堂上培养学生的“联想思维”能力——以复数教学为例

在推导复数的一个基本定理(*)时,教师可先引导学生复习平面几何中的一个基本定理:平行四边形两条对角线的平方和等于其四条边的平方和. 由复数所对应的几何意义,学生不难猜想出复数的一个基本定理:| z1+z2| 2+| z1-z2| 2=2 | z1 | 2+2 | z2 | 2(*). 如上,仿照平行四边形,学生可轻松地猜想出复数的基本定理.之所以如此,是在教师巧妙诱导下学生不自觉地运用了一种“联想”的思维方法.     

复数几何意义的适用类型和用法分析

挖掘复数的几何意义，揭示适用问题的特征，可暴露问题实质，使解答过程简化，利于培养思维的深刻性．复数几何意义哪些情况下用？如何用？本文就此略谈浅见．1构成三角形类以z1、z2对应向量为邻边作平行四边形，则两对角线对应复数if一zZ和if＋z。，并有关系式：hi一z。卜十hi＋zZH一引if卜十Zlz。l’成立．例1复数z1、z。、z。的We角为a、q、y，而lz11—1，liZI—k，fi3一2—k，且z1＋z。十z。一O，求c。s（o——y）的最大值和最小值，并求k值．（1998年上海高考题）解如图1，以OA、OB为邻边作当k一号或手时，COS（在一y）的最小值…     

利用|z_1 z_2|~2 |z_1-z_2|~2=2|z_1|~2 2|z_2|~2解题

关于复数模的有关性质之一有公式|z_1 z_2|~2 |z_1-z_2|~2=2|z_1|~2 2|z_2|~2其几何意义是:平行四边形两对角线的平方和等于四边平方和,利用它解决一类有关复数模的问题不但有效,而且解题过程简单,方法新颖。例1 已知|z 3 4i|~2 |z-3-4i|~2=80求|z|:并说明z点的轨迹表示的图形。分析若设z=x yi代入已知整理,则会步骤冗长,利用     

复数题的平几直观解法

应用复数的向量表示及其运算的几何意义,可以十分简捷地解决平面几何、平面解析几何以及三角中的许多问题,对此己有好多文章作了详尽的论述.本文考察其另一面,试就如何根据复数及其运算的几何意义,应用平几知识来直观地求解一些复数问题,作一粗浅的探讨,供大家参考.     

复数开方法与正多边形

在平面解析几何,求正多边形的顶点坐标问题,通常需要应用许多有关直线的知识,因而是一个比较麻烦的问题。本文试利用点的平移变换及复数的开方法,将此类问题归结为一类高次方程的求根问题。 1 点的平移 在复数集C中作变换:w=z b(w、z、b∈C,其中b为常数)。它的几何意义,按照向量的加法祛则,可以解释为将向量平移到向量。     

有关向量平行与共线问题的简便解法

在复数中有关向量平行与共线的问题是我们经常遇到的,例如,求平行四边形、梯形的顶点和已知复数z满足|z-z_1=r,求|f(z)|取得最值时的复数z等等,对于这类问题的常见解法是利用复数四则运算的几何意义或转化为平面解析几何问题来解答,则解法较繁,如果我们根据向量相等的规定来解答,既新颖又简捷。现行高中课本在复数的向量表示中规定,“模相等且方向相同的向量,不管它们的起点在哪里,都认为是相等的向量。”同时还     

复几何中关于点的位置的讨论

除了在平几、立几、解几中要注意点的位置的讨论外,在复几何中也要注意点的位置的讨论,现举二例例1 复数z_1,z_2满足|z_1|=|z_1 z_2|=3,|z_1-z_2|=3 3~(1/2),求z_1/z_2之值。分析此题用复数的代数式三角式求解很困难,题设条件是一系列模的式了,因此很容易想到模的几何意义。下面用几何法求解此题。先将条件转化为有明显几何意义的式子。     

2011年高考中复数问题的热点回顾

正复数是每年高考必考的内容之一,高考中一般以选择题或填空题的形式出现,其中以选择题为主,且大部分省份题量稳定在1题.主要考查复数中最基本的问题,像复数的有关概念、运算、性质、几何意义以及复数的交汇新型问题等,属于基础题,难     

2011年高考复数问题的热回顾

复数是每年高考必考的内容之一,高考中一般以选择题或填空题的形式出现,其中以选择题为主,且大部分省份题量稳定在1题.主要考查复数中最基本的问题,像复数的有关概念、运算、性质、几何意义以及复数的交汇新型问题等,属于基础题,难度不高于课本习题.为了使同学们做到有针对性的复习,本文就2011年高考中复数问题的热点回顾如下.     

利用“Z=(︱Z︱)~2”解题两例

本文利用复数的一个简单性质“若问|Z|＝1，则，给出两道复数题的巧妙解法，其简捷性也是显而易见的．题1已知复数z1，z2满足|z1|＝|z1|＝题2已知复数z满足|z|＝1，|z－i|＝1，求z．利用“Z=(︱Z︱)~2”解题两例@兰贤光$江西省南康市蓉江中学!341400