Sulle trasformazioui birazionali delle curve algebriche interpretate come rotazioni del piano iperbolico

Sunto Ricorrendo all'uniformizzazione mediante funzioni fuchsiane, le trasformazioni birazionali d'una curva algebrica in sè, dotate di almeno un punto unito, possono rappresentarsi mediante rotazioni periodiche del piano iperbolico. L'Autore si vale di tale rappresentazione per la ricerca del massimo periodo corrispondente a valori assegnati del genere della curva e del numero dei punti uniti. è particolarmente approfondito, tanto dal punto di vista algebrico, quanto da quello gruppale, il caso delle curve contenenti trasformazioni a periodo massimo, restandone tra l'altro precisata, negli elementi essenziali, la determinazione geometrica di poligoni fuchsiani caratteristici.     

Uber eine Schranke für den Satz von De Franchis-Severi

Riassunto SiaK/k un campo di funzioni di una variabile di genereg con caratteristicaO e sian(k) il numero di sottocampiL/k diK/k di genere >1. Si dimostra che il numero finiton(k) è limitato seK/k varia su tutti i campi di funzioni di genereg con base il campok. La dimostrazione si basa sulla teoria dei moduli di curve e trae spunto da alcune questioni di geometria numerativa di curve.

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Summary LetK/k be a function field of one variable of genusg in characteristicO and letn(K) be the number of subfieldsL/k ofK/k of genus >1. It is shown that the finite numbern(K) is bounded ifK/k varies over all function fields of genusg with base fieldk. The proof is using moduli theory of curves and hints to some questions of enumerative geometry of curves.

     

Maximal rank space curves of high genus are projectively normal

Riassunto Se il genere è alto, le curve di rango massimo sono proiettivamente normali. La nozione di ?genere alto? è precisata fornendo un limite explicito, dipendente solo dal grado.

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Summary Maximal rank space curves of high genus are projectively normal. We precise the meaning of ?high genus?, by giving an explicit bound, depending only on the degree.

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Dal 14 giugno 1990: Dip. di Matematica ?U. Dini?, viale Morgagni 67/A, 50134 Firenze.     

Subbundles of maximal degree of the normal bundle of algebraic space curves almost complete intersection of special type

Summary LetX⊂P ³ be an irreducible smooth curve which is not a complete intersection. The main result of this paper shows that whenX is an a.c.i. of special type, i.e. its homogeneous ideal is generated by three polynomial of the same degreem, and additionallym>2, the subbundles of maximal degree of the normal bundle ofX inP ³ correspond to the singular points of maximal multiplicity of a plane curve which is the image ofX by a map (the linear system of the surfaces of minimal degree throughX). In particular this normal bundle is stable. The initial case of this family of curves, i.e. form=3, has been studied by E. Ballico-Ph. Ellia with different methods.

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Riassunto SiaX⊂P ³ una curva irriducibile e liscia che non è una completa intersezione. Il risultato principale di questa Nota mostra che quandoX è una almost completa intersezione di tipo speciale, cioè il suo ideale omogeneo è generato minimamente da 3 polinomi dello stesso gradom, e, inoltre,m>2, i sottofibrati di grado massimo del fibrato normale diX inP ³ corrispondono ai punti singolari di molteplicità massima di una curva piana che è l’immagine diX tramite una mappa (il sistema lineare delle superficie di grado minimo passanti perX). In particolare questo fibrato normale è stabile. Il caso iniziale di questa famiglia di curve, i.e. perm=3, è stato studiato da E. Ballico-Ph. Ellia con differenti metodi.

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This research is supported by GNSAGA (Italy).

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The main results of this paper have been the object of a talk at the meeting on ?Curves in Projective Space? held at Rocca di Papa in june 1985.     

Sulle curve sghembe

Sunto Associate, in maniera metricamente intrinseca, ad una curva sghemba (X) in E_n due superficie rigate ℛ eC, di cui l'una sviluppabile e l'altra un cono, passanti ambedue per (X) ed aventi un raccordo in corrispondenza ad un punto X⁰ generico su questa curva, vengono esaminati gli ordini di contatto delle due curve (r) e (c) segate su queste due superficie da un iperpiano π. L'ordine del contatto stesso risulta indipendente sia dalla scelta di (X) che da quella di X⁰. A Enrico Bompiani in occasione del suo Giubileo scientifico.     

Curve aritmeticamente Buchsbaum su superfici di grado 3 e 4 dello spazio proiettivo

Riassunto Si studiano curve aritmeticamente Buchsbaum nello spazio proiettivoP ³, tali che l’ordine minimo di una superficie che le contiene è 3 o 4. Per tali curve si determinano l’ordine, il genere aritmetico, il carattere numerico connesso, il modulo di Hartshorne-Rao e la curva legata di ordine minimo. Nel caso di curve situate su superfici cubiche lisce si determinano anche i multigradi corrispondenti.

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Summary In this paper we study arithmetically Buchsbaum curves in the projective spaceP ³, such that the minimal degree of a surface containing them is 3 or 4. For such curves we determine the degree, the aritmethic genus, the connected numerical character, the Hartshorne-Rao module, and the linked curves having minimal degree. For curves lying on smooth cubic surfaces ofP ³ we determine also the associated multidegrees.

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Lavoro eseguito sotto gli auspici del G.N.S.A.G.A. del C.N.R.     

Sulla caratterizzazione delle curve di diramazione dei piani tripli

Sunto Si studiano e si caratterizzano, dal punto di vista aritmetico e funzionale, le curve di diramazione dei piani tripli. Nel presente lavoro la suddetta caratterizzazione è limitata al caso dei piani tripli ottenuti per proiezione di una superficie di ordinen (≥3), sprovvista di curva multipla, da un suo punto multiplo secondon−3. Si dimostra l'unicità birazionale del piano triplo avente una data curva di diramazione e si dà l'equazione effettiva di un suo modello proiettivo. Giunto alla Redazione nel gennaio 1946.     

Le serie lineari speciali sulle curve trigonali

Sunto Introdotto, per le curve trigonali di dato genere. un altro carattere invariante per trasformazioni birazionali della curva (carattere che qui vien chiamatola specie della curva stessa), si procede alla determinazione delle serie lineari speciali complete su ogni curva trigonale di generep e di speciem, precisandone la dimensione. In fine. come applicazione. si determinano le curve trigonali. di dato genere e di data specie, appartenenti ad unS _r e aventi il minimo ordine. Ricevuta in Redazione nel gennaio del 1945.     

The genus of space curves

LetC be a curve contained in ℙ _k ³ (k of any characteristic), which is locally Cohen-Macaulay, not contained in a plane and of degreed. We prove thatp _a (C)≤≤((d−2)(d−3))/2. Moreover we show existence of curves with anyd, p _a satisfying this inequality and we characterize those curves for which equality holds.

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Sunto Si dimostra che seC⊃ℙ _k ³ (k di caratteristica qualunque) é una curva, non piana, localmente Cohen-Macaulay, di gradod, allorap _a (C)≤((d−2)(d−3))/2. Si mostra che questa limitazione è ottimale, e si classificano le curve di genere aritmetico massimale.

     

Normal surfaces of degrees 8 inP n

The purpose of this paper is to describe the normal singular surfces of degree 8 (linearly normal and not contained in any hyperplane) embedded inP ⁿ .n≥4. A list of all normal singular projective surfaces with sectional genus 5 is also given. Unfortunately, in both cases there are some open cases left.

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Sunto Lo scopo di questo lavoro è di descrivere le superfici singolari normali di grado 8 (linearmente normali e non contenute in alcun iperpiano), immerse inP ⁿ ,n≥4. Viene presentata anche la classificazione di tutte le superfici singolari normali di genere sezionale 5. Sfortunatamente, in entrambe le situazioni ci sono casi rimasti aperti.

     

Algebraic non ruled surfaces with sectional genus equal to seven

Summary Let (X, L) be a pair consisting of a smooth, algebraic, non-ruled surfaceX and a very ample line bundleL on it. In this paper we classifyX in the casesď=2g−i, wherei=2, … 5,g is the sectional genus ofX andď is the degree of the minimal reduction ofX. We also give good estimates of the irregularityq and the geometric genusp _g. In particular we apply our results to the caseg=7.

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Riassunto Sia (X, L) la coppia formata da una superficie algebrica, liscia, non-rigataX e un fibrato di retteL molto ampio suX. In questo lavoro diamo una classificazione diX nel caso in cuiď=2g−i, dovei=2, … 5,q è il genere sezionale diX eď è il grado della riduzione minimale diX. Diamo anche delle stime dell'irregolaritàq e del genere geometricop _g diX. In particolare applichiamo i nostri risultati al casoq=7.

     

Bipolarized threefolds with hyperelliptic curve sections

A classification of smooth complex projective threefoldsX polarized by two very ample line bundlesL andM is given, under the assumption that two general elements of |L| and |M| intersect transversally along a smooth hyperelliptic curve.

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Sunto Si fornisce una classificazione delle terne (X,L,M), doveX è una varietà algebrica proiettiva complessa liscia di dimensione 3 edL,M sono due fibrati lineari molto ampi suX, tali che l’intersezione di due elementi generici di |L| ed |M| sia una curva iperellittica.

     

Défaut de postulation et singularités du schéma de Hilbert

Résumé Le résultat principal de cette Note est le Th. III.6 qui donne un procédé général pour exhiber des points singuliers de HilbP ³, situés sur une composante irréductible, génériquement lisse du schéma de Hilbert. Ces points singuliers représentent des courbes lisses, irréductibles deP ³. On étudie, plus en détail, le schéma de Hilbert des courbes lisses, irréductibles de dégré 18 et genre 39.

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Riassunto Il risultato principale di questa Nota è il Teorema III.6 che dà un procedimento generale per esibire punti singolari di HilbP ³, situati sopra una componente irriducibile, genericamente liscia dello schema di Hilbert. Questi punti singolari rappresentano delle curve liscie, irriducibili di ordine 18 e genere 39.

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Pendant la préparation de ce travail le premier auteur était ?professore visitatore del CNR? à l'Istituto Matematico, Università di Ferrara.     

A note on the genus of 3-manifolds with boundary

Summary In this paper we prove that the minimum among all regular genera of the graphs representing a 3-manifold with boundaryM ³ can always be obtained by a crystallization. As a consequence, we also prove that every 3-coloured graph representing ∂M ³ is the boundary of a 4-coloured graph which representsM ³ and whose genus equals the regular genus ofM ³.

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Riassunto In questo lavoro si prova che ogni 3-varietà con bordoM ³ ammette sempre una cristallizzazione di genere minimo. Come conseguenza, si ottiene che ogni grafo 3-colorato che rappresenta ∂M ³ è il bordo di un grafo 4-colorato che rappresentaM ³, il cui genere è uguale al genere regolare diM ³.

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Work performed under the auspices of the G.N.S.A.G.A.-C.N.R., and within the Project ?Geometria delle varietà differenziabili?, supported by M.P.I. of Italy.     

A note on the postulation of maximal rank curves

Summary Lets be the lowest degree of a surface containing a maximal rank curveY. We want to compare the dimension of the space of the surfaces of degrees containingY with the dimension of the space of the surfaces of degrees+1. We apply the bound that we find for getting a bound for the third Chern class of a rank-two reflexive sheaf onP _k ³ with seminatural cohomology, thus answering to a conjecture proposed byR. Hartshorne.

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Riassunto Sias il più basso grado di una superficie contenente una curva di rango massimoY. Si vuole confrontare la dimensione dello spazio delle superfici di grados contenentiY con la dimensione dello spazio delle superfici di grados+1. Applichiamo la limitazione trovata per ottenere una limitazione per la terza classe di Chern di un fascio riflessivo di rango 2 suP _k ³ con coomologia seminaturale, rispondendo così ad una congettura posta daR. Hartshorne.

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Résumé Soits le plus petit degré d’une surface contenante une curveY de rang maximum. Nous comparons la dimension de l’espace des surfaces de degrés contenantesY avec la dimension de l’espace des surfaces de degrés+1. Nous appliquons la borne trouvée pour obtenir une borne pour la troisième classe de Chern d’un faisceau réflexif de rang deux surP _k ³ à cohomologie seminaturelle. Ceci répond à une conjecture posée parR. Hartshorne.

     

On minimum problems for families of functionals

Sommario Per una famiglia { | λ ∈ ⁁} di funzionali reali definiti in uno spazio metricoX e dipendenti da un parametro λ ∈ ⁁, dove ⁁ è uno spazio topologico, si pone il problema di come si comporta, al variare di λ, l'insieme dei punti di minimo di I_λ. Lo studio di tale problema è l'oggetto del presente lavoro e il risultato principale è dato dal Teorema1.

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Entrata in Redazione il 3 marzo 1970.     

Sulla esistenza e sulla costruzione effettiva con la «piccola variazione» delle curve algebriche piane con assi di simmetria obliqua (in particolare ortogonale)

Riassunto Dimostrati alcuni opportuni teoremi viene datoun metodo per la ricerca degli eventuali assi di simmetria obliqua (in particolare ortogonale) di una curva algebrica piana di ordinen, nota che sia la sua equazione cartesiana e, viceversa, con l'uso della ?piccola variazione? viene indicato un procedimento costruttivo atto a tracciare curve algebriche piane di ordinen, dotate di dati requisiti di simmetria ed un procedimento analitico per scriverne la relativa equazione.

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Résumé Après avoir démontré quelques thêorèmes utiles on donneune méthode pour la recherche des éventuels axes de symétrie oblique (en particulier de symétrie orthogonale) pour une courbe algébrique plane d'ordren, si l'on conna?t son équation carthésienne. Vice versa, à l'aide de la ?petite variation?, on donne quelques avisements opportuns pour procéder ensuite à la construction effective des courbes algébriques planes d'ordren, douées de certaines qualités de symétrie et un procédé analytique pour écrire l'équation relative.

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Nota III     

Sopra le trasformazioni in sè della varietà di Jacobi relativa ad una curva di genere effettivo diverso dal genere virtuale,in ispecie nel caso di genere effettivo nullo

Sunto. Si precisa la natura del problema di determinare le trasformazioni in sè della varietà quasi abeliana diJacobi, relativa ad una curva di genere virtualeπ, ottenuta da una curva di genere effettivop considerando su questaδ ₁ coppie neutre a punti distinti eδ ₂ coppie neutre a punti coincidenti, in modo che siaπ=p+δ ₁+δ₂. Come nel coso abeliano (δ ₁=δ₂=0), tale problema ha un aspetto aritmetico, che si collega alla considerazione di relazioni, che generalizzano quelle note diHurwitz. Nel casop=0 si trovano tutte le trasformazioni in sè dellaV _π diJacobi, mostrando che queste costituiscono un gruppo formato sempre da infinite schiere ∞^π (tranne nel casoπ=δ ₁=1, δ₂=0), dipendenti da parametri in parte variabili in modo continuo ed in parte in modo discreto. Le trasformazioni sono tutte birazionali seδ ₁=0 oδ ₂=0, mentre seδ ₁ ≠ 0 eδ ₂ ≠ 0 si presentano anche trasformazioni trascendenti.     

Petites déformations de droites dans le plan projectif réel

Résumé SoitD une famille deN droites dans le plan projectif réelRP ², telle que chaque point appartient au plus à deux droites. Le but de ce travail est l'étude de la topologie des courbes algébriques non singulières obtenues en faisant des petites déformations deD et la construction des algorithmes qui permettent de calculer le nombre de composantes connexes et le type topologique de ces courbes. De plus cet article contient les résultats du programme qui réalise ces algorithmes par un ordinateur dens les casN<-6.

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Riassunto SiaD un insieme diN rette nel piano proiettivo realeRP ², tale che ciascuna retta incontra tutte le altre e tutti i punti d'intersezione sono punti doppi. Lo scopo di questo lavoro è di studiare la topologia delle curve algebriche non singolari ottenute mediante piccole deformazioni diD e di costruire gli algoritmi che permettono di calcolare il numero di componenti connesse e il tipo topologico di queste curve. Inoltre nel lavoro sono contenuti i risultati del programma che realizza su calcolatore tali algoritmi perN<-6.

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/laUn petit d'un petit c'est un ovale…/ra (Van Rooten:Mots d'heures gousses et rames)     

Sulla classificazione delle curve algebriche sghembe in base alla determinazione di tutti i multilateri sghembi connessi per ogni ordine e genere

Riassunto In questa Nota si dà un metodo per ottenere il numero ed i tipi di multilateri sghembi di ordinen e generep dati, conn+p−1 vertici di connessione e che sono casi limite di curve algebriche sghembe irriducibili.

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Résumé Dans la prèsente Note on donne une méthode pour obtenir le nombre et les types des multilatères gauches d'ordren e de genrep donnés, ayantn+p−1 sommets de connexion, et qui sont des cas limites de courbes gauches algébriques irriductibles.