问题与解答

本栏所提问题,专供读者解答,但答案不必寄来,本期答案在下期发表,欢迎广大读者提供适合初、高中数学水平且具有思考性和启发性的问题和解答,以便选用。     

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一本期问题 1.设a、m、n是正整数,n是奇数。证明数a~n-1和a~m+1的最大公因数不大于2。 2.证明数2~(5n+1)+5~(n+2)当n=0,1,2,…时,可以被27整除。 3.求出一个形如的整数的九位数,此数是四个不同素数的平方之积,且,(a_1≠0)。     

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(一)本期问题 1已知一个止整数M的四次幂等于某个5位数ABCDE,其中不同的子母不必代表不同的数码,且A+C十E二B+D,求正整数M. 2设a》,/8,求证方舀硕不丙万了‘丁而不万万东二+刁a一(a+,)/3一了J而蕊二万兀飞l 3已知一木无穷数列x,,xZ,劣,,…,x,,(x,年0)在。>3时,满足条件(川刁一心+.二十二茗一,)(心十嘴+.“+心),(x:x:+x:“3+…+二。一,x。)2.求证这无穷数列是等比数列. 大庆市二十八中李世君一提供 ;化简刁厄一干万百~. 5设f(,)是一个整系数多项式,且f(0)与j(l)都是奇数,则f(二)=。不能有整数根. 福建周宁四中叶润才提供 6证明(军1)(4/…     

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如等。:2。今万Z陀‘O叼A一C 2_叹一C一训丁一r、/丁十3120“一旦二兰玉二2一了丁,一3+了315“,A一C=3。。.② 二厂七︸二C二9﹄刀.十月一二匕且tg月一 一本期问题 ,设a、b、‘是不等于零的复数,集合A ={a,b,c},B={aZ,乙2,:、2},c={a石,bc,ea},且A二B=C,则A=笼1,。少,、“卜(其中。、=(一1+侧丁艺)/2). 2设数列{。.,不的通项为。·。=1/(1+了了:),(:是虚数单位,:〔N),%的实数部记为/。,求数列{子。}的各项和。 四川忠县忠州中学李仁杰提供 3设m为一自然数,试证明阴“‘m+1为非平方数。 4已知四边形月召CD的对角线‘「lC’、BD相交…     

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<正> 1.一个越野赛跑者用30分钟的时间跑完了6哩的全程,试证明他在赛程中的某个地段,恰好用5分钟跑完1哩。解用x表示自起点开始沿着赛跑路线量     

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一本期问题‘__1已知某等差数列的S一s二,二斗”,求葱正占。不.二0。2求锐角。的值,使方程劣2一铭co:a十2=O和方程x’一4x‘.:二一2二.有公共根。3一个四位数,若加上195完全平方数,则称这个四位数为’数的个数。5后就成为一个“好数”,求好山东高青一中不查表求证lo若函数f(x)胡称亚提供g:万+10多。万)2.对于任意正数a、bf(a二f(a)(a/b)二f 已知方程 +f(b),求证(a)一(b)满足xZ+1.一十众=器有一个根是吐事上其中幼负数,求k。翔能挤者二申肖继才提撰 7设才 (x+百)(夕+ (言+x)(劣+样的关系?今。,要使下列三式同时成立.”zx,(沙+之)(之+劣)。x…     

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一、本期问题1在△ABC中,若流+六二‘,且Icg‘:i:A+109.51:C=一i,求A、B、C。 2若。、‘>。,且有“‘(1+含,‘4”+誉,。24,‘作以。、,的值为根的二次为,· 福建璋平县高级职中王念佳掇供 3设P为单位圆上任意一点,A:,A:,A。,…,A。为圆内接正,边形的顶点,求证PA至+PA落+…十尸A二为定值。 4已知:为自然数,A=(斌亨+助:.币岛,而刀是滩的小数部分,求证A·刀二3二.寸‘。 江苏兴化沈论中学宗树信提供 5求证.x9671(x3e“二’一x日es)。 念京市南沙滩中学扬风河吉仲忘捉供k︸…G尸 二、上期问题解答 1△A:B:C:内接于圆,过A:、A:作兰角…     

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一本期问题 1 已知一自数N的十位数字是b,个位数字是c,且b为奇数,c为0、4或8,求证N不能被8整除。 2 已知一直角三角形的三边长部是整数,其内切圆半径为R,画积为S,周长之半为p,求证(1)R为整数;(2)S能被p整除。 3 在已知半圆内,任意作一直径为d的小圆与半圆切于C,与直径AB切于D。求证AD·BD/d为定值。黑龙江纳河同心中学刘凤提供 4 P为等轴双曲线x~2-y~2=a~2右半支上一点,F_1、F_2为两焦点,且∠F_1PF_2=π/2,又∠PF_1F_2=α, ∠PF_2F_1=β,试求 ((seca+ctgβ)/(seca-ctgβ))~(1/2)-((seca-ctg)β/(seca+ctgβ))~(1/2)之值     

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一、本期问题 1 已知x~2-y~2-z~2=0,试将x~3-y~3-z~3分解为一次因式的积。 2 求证(3+7~(1/2))~n的整数部分是奇数。 3 已知x~2+y~2≤1,(x、y∈R)试证5-2~(1/2)≤u(x,y)=|x+y|+|y+1|+|2y-x-4|≤7 宜昌市一中叶家振提供 4 解方程     

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一、本期问题 1、已知△ABC的面积为S,D、E、F分别为BC、CA AB边上的点,且BD/DC=CE/EA=AF/FB=1/n,求以AD、BE、CF为边长的三角形的     

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一本期问题 1.a、b、c、d为相异实数,x、y、z满足方程组求证:x、y、z三数中必有且仅有两数同为负。四川西昌市二中高88级董键提供 2.若9cosB+3sinA+tgC=0。sin~2 A4COSBtgC=0,求证tgc=9cosB。山东聊城三中王章琪提供     

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一本期问题 1 △ABC中,已知BC、CA、AB边上的高分别是h_a=6、h_b=4、h_C=3,试求△ABC的面积。 2 设以r为半径的圆内接正992边形P_1P_2…P_(992),P是圆周上的任意一点,求证PP_1~2+PP_2~2+…+PP_(992)~2=1984r~2。上海金山县中学生朱维欧提供 3 证明当n是自然数时,2~(1/2)·4~(1/4)·8~(1/8)…2~n(2~n)~(1/2)<4。 4 设x、y为正整数,且3x~2+2y~2=6x,问x取何值时,x~2+y~2达到最大值,并求出此最大值。巴东安居中学谭志新提供 5 求证 lg1+lg2+…+lgn相似文献   

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本栏所给问题,专洪读者练习或参考,适合初中、高中数学水平的问题及其解答, 一、本期问题但答案不必寄来,本期答案将在下期发表,欢迎读者提供以便选用。计算lim了巡竺卫、’八\义.19841 2设R,二1,Rn不:=1+,/凡,求〔R,石。.), 〔x〕表示x的整数部分。 3比较(了三丽百)7了万百花与(召西丽)71下面了的大小。 华东交大附中叶柯提供 4求证一个三角形为正三角形的充要条刹佗受二它的各边a:、a:、a:,中线二:、仇:、。:满足 a盈执含=aZ拼a=a3仇1- 5设a:、a:、a3是三角形的三条边,。:。2、?3是各边上的中线,求证。氢(淤’朴,等号当且仅当为正三角形…     

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一、本期问题 1已知sin~3A=(1/2)sinB,cos~3A=(1/2)cosB,求锐角A、B。 2已知锐角α、β为方程acosx bsinx=c(a(≠0,6≠0)的二不等实根,求证 cos((α-β)/2)=c~2/(a~2 b~2) 沈阳财经学院杨锦生提供 3 已知三次方程 2x~3-3ax~2 2(a 7)x a~2-9a 8=0的根均为自然数,求这三个根及整数a的值。安徽淮南基建七中谢志永提供 4 求出所有使方程(x a-1)(x a)(x-a-1)(x-a-2)=a~4-2a~3-3a~2 2a 2有四个相异根的实数a的值。河南潢川官渡中学张士林提供     

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一本期问题 1 化简: 1+cosx/cosx+cos2x/cos~2x+cos3x/cos~3x+…+cosnx/cos~nx。湖南临澧一中沈文选提供 2 已知锐角△ABC的三边分别为a、b、c,外接圆圆心O到三边距离分别是x、y、z试证:abc≥243xyz~(2/2) 3 试证:由3~n个单位1组成的数必能被3~n整除(n∈N)。山东文登县广播电视大学褚学璞提供 4 设F_r=x~rsin(rA)+y~rsin(rB)+z~rsin(rC),其中x、y、z、A、B、C为实数,且A+B+C为π的整数倍,试证:若F_1=F_2=0,则对于一切正整数r有F_r=0: 浙江开化县中学方光雄提供 5 求19~(8~7)的末三位数。石家庄师范专科学校数学系冯祥树提供     

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一本期问题 1 已知一直角三角形的面积为S,周长为l,求以二直角边为二根的一元二次方程。 2 求证(π-3.1415926) (π-3.1415927)≥-2.5×10~(-15) 陕西富平美原中学八五级郭翔宇提供 3 若x、y为实数,且有 y=(1-x~2)~(1/2)+(x~2-1)~(1/4)/2x-3求log_(1/2)(x+y)的值. 4 已知2x+5y+4z=0.3x+y-7z=0,求证 x+y-z=0. 5 已知锐角△ABC中有cosA+cosB-cos(A+B)=3/2,求证△ABC为等边三角形。     

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一本期问题 1若x、万满足椭圆方程x“/1984十g活=1985,求证.x一卜岁.‘1985. 2求证‘鉴’4*,能被1 05。,整除,商为1 985汤。 3设x、夕)0,且x+,=1 986,求别‘’‘’的最大值。 南昌华东交大附中叶柯提供 4设无为正整数,且一元二次万程(无一1)x生一Px十k二o有两个正整数根,试求k“P(pp+无“)+l的值。 5第四世纪,有个希腊数学家在他所著的算术书中,有一道这样的问题: x‘一60为一个完全平方数,求x,你能不能解答? 6已知x、,、:为三个正实数,且x一卜y十z=3,1/x+1/,+r/z=3,求x“,忿+:,的值 皖祈门芦溪木材收购知长进球提供 7如果二、n、P是方程x…     

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一、本期问题 1、如图△ABC内接于圆O,SB、CT是切线,B、C为切点,AE∥CT交BC于E,AD∥SB交BC的延长线于D,求证:(1)AD=AE; (2)AE是EC和BD的比例中项。襄阳县二中黄道伟提供 2、试证(5 (26~(1/2)))~(1986)在小数点后连续1986位数字完全相同。 3、若k为正整数且一元二次方程(k-1)x~2-px k=0有两个正整数根,求k~(KP)(p~P k~K) 3的值。安徽肖县梅村中学颛孙长宗提供 4,若x∈(0,π),求(?)(sec x/2 sec x/4…sec x/2~n)的值。     

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<正> 证记题中的表达式为F(x),这是一个x的多项式。显然,F(1)=0,因而(x-1)是F(x)的因式。由微积分基本定理,有     

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一、本期问题 1 △ABC中,BC=a,其内切圆半径为r,如图两个半径同为r_a的⊙X、⊙Y分别与AB、 BC和AC、BC相切,且⊙X、⊙Y也彼此外切。试证:1/γ_a-1/γ=2/a。 2 设函数f(x)是奇函数,对任意x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)<0,f(1)=-2,求f(x)在〔-3,3〕上的最大值和最小值。江苏省六合县八百中学周永道供题 3 比较sum from n-1 to 25(1-n/365)与1/2的大小。