探究向量模的求法

题目（苏北2013年调研）已知平面向量a,b,c两两所成角为2π/3,并且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求|a+b+c|的值.分析求向量的模,利用模长公式|a|=a⁽1/（?）=x²+y^21/2解决.解|a+b+c|= a+b+c^1/2=（?）=3^1/33.进一步思考变式1已知平面向量a,b,c两两所成角相等,并且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求|a+b+c|的值.分析本题得了解对向量的夹角的定义,夹     

新题征展(49)

A　题组新编1 .在△ ABC中 ,∠ C =2∠ B.( 1 )则 sin3Bsin B等于 (　　 ) .( A) ab　 ( B) ba　 ( C) ac　 ( D) ca( 2 )则边 c等于 (　　 ) .( A) 2 bsin C　　　 ( B) 2 bcos B( C) 2 bsin B　　　 ( D) 2 bcos C( 3)求证 :c2 - b2 =ab.( 4 )已知△ ABC三边组成一个公差为 1的等差数列 (且最大角是最小角的 2倍 )求三条边长 .2 .已知 | a| =2 ,| b| =3,( 1 )如果向量 a与 b的夹角为 1 2 0°,则| a b| =;| a - b| =.( 2 )如果 | a - b| =7,则 a与 b的夹角θ = .( 3)如果 ( a 2 b) . ( a - 3b) =- 53,试求出向量 a与 b的夹角…     

课外练习

初一年级1.对于整数a、b、c、d,定义等号|ab/dc|=ac-bd,若1<|1b/d4|<3,试求b+d 的值. (山东梁山县梁山镇二中(272600) 王可民) 2.对有理数x、y,定义运算“(?)”;x(?)y =ax+by+c(a、b、c为常数,等式右边是通常的加法与乘法运算),已知3(?)5=15,4(?)7 =28.求1(?)1值.     

解题基本思路相似的一组最值问题

<正>在高中数学学习中,同学们会遇到下面一组有一定难度的最值问题.问题1(2014年高考辽宁卷·理16)对于c>0,当非零实数a、b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,3/a-4/b+5/c的最小值为.问题2已知A、B、C是平面上任意三点,     

应用基本不等式求最值的“代换”技巧

<正>基本不等式已知a、b∈R⁺,则a+b/2≥ab+,则a+b/2≥ab^(1/2).基本不等式是高中数学的一个重要内容,具有广泛的应用,而且非常灵活,在解决有关多元变量的代数式(可看作是多元函数)的最值问题快捷有效.应用基本不等式求最值要求     

再诡辩--算术平方根也可以是负数

读本刊文[1]题目: 已知a+b=-5, ab=1,求(a/b)~(1/2)+(b/a)~(1/2)的值. 有下列解法. 解法1     

例谈应用(a+b)~2≥4ab解取值范围的问题

<正>众所周知,不等式a²+b2+b²≥2ab在求最值时经常用到,而这个重要不等式的两边如果都加上2ab,便得(a+b)2≥2ab在求最值时经常用到,而这个重要不等式的两边如果都加上2ab,便得(a+b)²≥4ab,当且仅当a=b时取等号.由于该不等式直接反映了两个数的和及其乘积之间的不等关系,所以它在很多竞赛题中求有关取值范围时有着广泛的应用.我们还知道,如果已知两数和与两数积,根据韦达定理的逆定理,常常可以构造一个一元二次方程,通过判别式大于等于零来解决相关问题.但笔者通过研究发现:利用(a+b)2≥4ab,当且仅当a=b时取等号.由于该不等式直接反映了两个数的和及其乘积之间的不等关系,所以它在很多竞赛题中求有关取值范围时有着广泛的应用.我们还知道,如果已知两数和与两数积,根据韦达定理的逆定理,常常可以构造一个一元二次方程,通过判别式大于等于零来解决相关问题.但笔者通过研究发现:利用(a+b)²≥4ab,     

一道世界数学团体锦标赛试题的探究

<正>1问题呈现(2017年世界数学团体赛不等式试题)已知a,b>0满足a+2b=1,求a+ab(1/2)的最大值.因为ab(1/2)=((6(1/2)-2)/2*a·(6(1/2)+2)b)(1/2)≤((6(1/2)-2)/2*a+(6(1/2)+2)b)/2.     

课外练习及参考答案

初一年级1.已知三个互不相等的有理数,既可以表示为1,a+b,a的形式,又可以表示为0,ab,b的形式,且x的绝对值等于2,求(a+b)2012+(ab)2011-(a+b-ab)x+x2的值.(北京含笑)     

诡辩一则--对数值是存在还是不存在

题目　已知实数 a、b满足 a + b =- 1 0 0 ,ab=1 ,问 lga2b+ lgb2a与 lg( 1a+ 1b)的值存在吗 ?若存在求出值来 ,若不存在请说明理由 .解　 lga2b+ lgb2a与 lg( 1a+ 1b)的值均存在 .lga2b+ lgb2a =lg( a2b .b2a) =lg( ab)=| lg1 | =0 ,或　 lga2b+ lgb2a =lga2 - lgb + lgb2 - lga=2 lga - lgb + 2 lgb - lga =lga + lgb =lg( ab) =0 .lg( 1a + 1b) =12 lg( 1a + 1b) 2 =12 lg( a + bab ) 2 =12 lg1 0 0 2 =12 × 4 =2 .诡辩揭密由已知条件 a+ b=- 1 0 0 <0 ,ab=1 >0可知 :实数 a、b均为负数 .从而　 a2b<0 ,b2a <0 ,1a + 1b <0 ,所以 lga2b+…     

一道联赛题的另解

<正>题目(2015年全国初中数学联赛第二试(B)试题)若正数a,b满足ab=1,求M=1/(1+a)+1/(1+2b)的最小值.解因为a,b是正数,所以M=1/(1+a)+1/(1+2b)>0.由已知条件,得方程组{ab=1,M=1/(1+a)+1/(1+2b)     

综合练习

1.设a∈R,A={x|1≤x≤4},B={x|x~2-2ax+a+2≤0},当AB时,求a的取值范围。 2.(1)讨沦函y=arcctgax(a>0,a≠1)的增减性 (2)求函数的反函数 3.已知x>0,x≠1,n为大于1的自然数,试比较1/log2x+1/log3x+…+1/log~nx与n/log2x的大小。 4.(1)已知a、b、c是互不相等的复数,试求a+b/b=b+c/c=c+a/a的值。 (2)设z_1、z_1是复数,且满足|z_1|<1,|z_2|<1,求证|(z_1-z_2)/(1-z_1z_2)|<1。 5.设等比数列z_1,z_2,z_3,…,z_n,…中的     

课外练习

初一年级1.已知A= ,求1/A的整数部分.(江苏省睢宁县双沟中学(221212) 赵先明)2.已知|a|=a 1,|x|=2ax,求|x a|的最小值.(山东省梁山县梁山镇二中(272600) 王可民)3.小明在做加法运算时,把一个加数写错了,个位上的1错写为7,十位上的7错写为1,最后所得的和是402,正确结果是多少?(山东王可民)     

课外练习

初一年级1.已知a +b =1a+ 1b≠ 0 ,试求出 (ab) 2 0 0 3 的值 .( )2 .设A△B =AB +A +B ,如 2△ 3 =2× 3 + 2+ 3 =11.(1)求 [(1△ 9)△ 9]△ 9;(2 )求 (… ((1△ 9)△ 9)…△ 9)3 .观察下列图形 :根据①、②、③图的规律 ,图④中三角形的个数是多少 ?初二年级1.已知a,b ,c为整数 ,且满足a2 +b2 +c2 =1,a(1b+ 1c) +b(1a+ 1c) +c(1a+ 1b) =-3 ,求a+b +c的值2 .如图 ,八个点处各写一个数字 ,已知每个点处所写的数字等于和这个点有线段相连的三个点处的数字的平均数 ,则代数式a +b +c +d -12 (e + f +g +h)a +b +c +d -13 (e + f +g +h)的值…     

数量积在解析几何中的应用举例

平面向量的数量积在处理长度、角度、垂直等问题时有独到之处。本文举例如下。例1 已知点(x,y)满足(x-3)2 (y 2)2=25,求6x-8y的最值。解构造向量利用a·b=|a|·|b|cosθ≤|a|·|b|解题。设a=x-3,b=y 2,则a2 b2=25,6x-8y=6a-8b 34,     

课外练习

高一年级1.已知m ,n ,p∈A ={x |x - 1|≤ 3且x∈Z}.试求logm +nP的不同值的个数 .2 .已知函数 f(x)为偶函数 ,对于定义域R内在任意x ,都有 f(x) =f( 4-x) ,且当x∈ [0 ,2 ]时 ,f(x)=1-x2 ,求x∈ [2 0 0 2 ,2 0 0 4 ]时f(x)的解析式 .3 .已知函数 f(x) =- 2x +2 ,x∈ [12 ,1] ,设 f(x)的反函数为y =g(x) ,a1 =1,a2 =g(a1 ) ,… ,an =g(an-1 ) ,求数列 {an}的通项公式高二年级1.已知函数f(x) =lg(log3 2 x -klog2 x +2 ) ,若f(x)在( 1,+∞ )上均有意义 .试求实数k的取值范围 .2 .设a∈k,函数 f(x) =ax2 +x -a ( - 1≤x≤ 1) .( 1)若 |a|≤ …     

椭圆中的最值问题

<正>最值问题是解析几何中的一类常考问题,具有综合性强、思维量大等特点,经常作为压轴题出现.下面以椭圆为例,谈一下破解策略,供大家参考.策略一、借助二次函数的性质例1已知点P(x,y)在椭圆x²/8+y2/8+y²/4=1上,点B(0,1),求|PB|的最大值.解因为|PB|2/4=1上,点B(0,1),求|PB|的最大值.解因为|PB|²=x2=x²+(y-1)2+(y-1)²,且x2,且x²=     

课外练习

高一年级1.已知:函数f(x)=ax2+(2a-1)x+1在x∈[-3/2,2]上的最大值为3,求实数a的值. (山东汶上县一中(272500)张宪铸)2.解关于x的不等式|loga(ax2)|<|logax|+2. (江苏张家港职业教育中心校 (215600) 周文国)3.已知数列{an}是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令bn=anxn(x∈R),求数列{bn}前n项 和的公式. (江苏如东县掘港钲北街274号 (226400) 童枚     

挖掘隐含条件的十种方法

<正>题设条件是解题的依据和出发点,有的题设条件背后常常还有隐含条件,它是隐含于已知条件后面的可知条件,如不能把这些隐含条件挖掘出来,往往会直接影响到数学问题能否解决.下面介绍挖掘隐含条件的十种方法:一、从数学概念的意义中去挖掘例1已知实数a满足|2017-a|+(a-2018)^(1/2)=a,求a-(2017)(1/2)=a,求a-(2017)²的值.简析∵有隐含条件a-2018≥0,∴2017-a<0.原式可化为:     

韦达定理、根的判别式携手求最值

在一定条件下求某些代数式的最大值、最小值,如果将其与一元二次方程中的根与系数关系及根的判别式联系起来,将会给我们提供一种十分巧妙的解题思路.例1已知实数a、b、c满足a+b+c=2,abc=4.(1)求a、b、c中最大者的最小值;(2)求|a|+|b|+|c|的最小值.