数学问题解答

:札1990年9月号问题解答 丈解答由问题提供人给出)671解之得:二+梦=1990诱二或x一1990诱二或夕=1 990·无二(无任名)由(3)与(4)知,无二0.所以 x+夕二O或x=O或y=O将它们分别与(1)联立,解得.{劣=995,一995,0,0,1990,一1990夕=一995;995;1990;一1990;0;、,产、、.产,10‘了.、了‘、解方程组(劣、夕任R):{:i+}夕l=199051·蠢+S‘n蠢一‘·盎 解由}:+川成}川+}川及(l)得: Ix+y,毛1990 及!x!(1990,ly}簇1990将(2)和差化积并整理,得:672解方程(一卿,:专十渗0 11 990‘81nx十y1990.Sln X1990.Sln y1990 且口易知a 令劣=1990+a,夕=1990+b(a,b任N…     

解读"x±1/x=a"型条件求值问题

含有条件“x±1x=a”的代数式,外形虽然简单,但其变化非常丰富,相关的题型类型多,技巧性强.下摘几例,与同学们一起交流.一、化代数式为关于“x±1x”的形式例1(第六届“五羊杯”初中数学竞赛)已知x+1x=3,x2+x12=a,x3+x13=b,则a3-b2A.19B.94C.0D.无法计算解:∵x+1x=3,∴a=x2+x12=x+1x2-2=7b=x3+x13=x+1xx2-1+x12=x+1xx+1x2-3=18,所以a3-b2=73-182=19故选A点评:由于x,1x互为倒数,相应地,完全平方公式及立方和、立方差公式有下列重要的变形:①x2+x12=x±1x2?2;②x3±x13=x±1xx2?+x12=x±1xx±1x2?.利用上述公式可将部分“xn+x1n”形式的代数…     

含参不等式恒成立问题的几种类型

对于含参不等式恒成立问题,涉及知识面广,具有较高的解题技巧.下举例介绍含参不等式恒成立问题的类型及求解方法.一、对于一次函数f(x)=kx+b,若f(m)>0,f(n)>0,则当x∈[m,n]时,f(x)>0.例1已知y=(log2x-1)(olgab)2+log2x-6log2x·logab+1(a>0,a≠1),当x∈[1,2]时,y的值恒为正,求b的取值范围.解由y=(log2x-1)(logab)2+log2x-6log2x·logab+1=[(logab)2-6logab+1]·     

又一个对数换底公式

设N,>0,a‘>o,a‘笋l(i二1,2,…刀),b、,bZ,…,b。是a,,a:,…,a。的任一排列,则: 1 09。、N 1 1 09。2 NZ’“’1 09。.N。一10“。、N,10“,2N2.‘’10“,.N,(浓) 证明:因b,,bZ,…,b。是a,,“2,一,“,的任一排列,故:l:a,loaZ…loa.一lgb,lgbZ…仅b,这样(浓)式左边 lgN]19无方lgN。一lga x lgaZ“’lga。二右边. 公式(浓)表明:几个对数相乘,任意交换它们的底数,其积不变.计算‘·g:矗‘·93音‘口、,;原式=10只,,·92告lo;3杳例解一10955一210922一310933一2‘二(一2)(一3)(一2)二一12gfJZ计算10、。910:2,4910:,25109。2·解:原式一…     

不等式问题错解八例

本文列出八道不等式问题的错误解答 ,他们集中反映了中学生学习不等式时常犯的错误 ,你能知道错在哪里吗 ?正确解法又是什么 ?今后如何避免类似错误的发生 ?请先独立思考 ,然后再看错解分析与正确解答 .1)已知x ,y∈R+ ,且x +y =9,求 1x+9y的最小值 .错解 :∵ 1x +9y ≥ 2 1x·9y =6xy≥6x +y2=12x +y=129=43 ,∴ 1x+9y min=43 .2 )已知 0 0 ,∴m +8mx -x2 =m -x +x +8x(m -x) ≥ 33 (m -x)·x· 8x(m -x) =6,∴ m +8mx -x2 min=6.3 )不等式 (a2 -9)x2 +2 (a -3 )x -2 …     

底数不同的对数不等式的解法

底数不同的对数不等式 ,用常规解法难以奏效 ,须采用特殊的解法 .例如通过某种变换 ,运用函数的单调性 ,可化难为易 ,速得其解 .例 1　解不等式log6 ( 1 x ) >log2 5x.解　设 t=log2 5x,则　 x =5t　 (其中 x >0 ) .原不等式化为 log6 ( 1 5t) >t.得　 1 5t>6 t,两边同除以 6 t得( 16 ) t ( 56 ) t>1 ,令 f ( x) =( 16 ) t ( 56 ) t.则函数 f ( t)在 t∈ R上是减函数 ,且( 16 ) 1 ( 56 ) 1=1 ,∴　 t<1时 ,( 16 ) t ( 56 ) t>1成立 .这时 ,　　 t=log2 5x <1 ,∴　原不等式的解集为 :{x| 0 相似文献   

极(最)值问题的若干错解分析

一、忽视条件的相互制约导致错解例lx、夕、二任R+、x+夕+二=1。求3成‘蕊5。 .’.4成9a一‘(15。.,.4落八3)攫15。令十十+令的最小值·分析:不难找到函数广(x)=130(义2一34)错解:,.’二、,、:任R:.’.:+生》2使f(1)==一1 .1。f(2)=一1而f(3)= 5一万.,+达一)2 y 1~.刃-t-—台多乙.相加有(x+升+约+(令十令+令)》6·十十专+誉李5.由x十升十:=1。得故令+令十令的最小值是5这一反例(厂(劝三一1也行)驳斥了上面的解法.此解“病”在当同时取得f(1)、厂(幻制约条件的右端值一1和5时未必是a取得最大和c取得最小(左端也如此).即给定的条件与方程组(…     

2007年全国高中数学联赛湖北省预赛试题答案

1.C.原方程变形为lolgo3g(333x) lolgo3g(3327x)=-34,即1 l1og3x 1 l3og3x=-34.令1 log3x=t,则1t 3t=-43,解得t1=-1,t2=-3.所以1 log3x=-1或1 log3x=-3,所以方程的两根分别为91和811,故a b=8110.2.A.连PD,则DP=25BC,所以DP//BC,故∠ADP=∠B,故S△APDS△ABC=12AD.DP.sin∠ADP12A     

曲线的对称性

本文将讨论曲线的轴对称和中心对称。 一、曲线F(x,妇的对称性 定理1(关于已知点的对称点)已知点尸(x,鲜于,则它(1)关于直线x=n.的对称点为p;(Zm一丫,妇; (2)关于直线ax+占刀+‘=。(乙寺。)的对称点 为P:(a,刀),其中a,口满足方程组摆:_”}一又二义 l瓜‘改卜j{之习一口)/(x一a)·(一a/b)=1;a[(x+a),2〕+西[(夕+夕),2」+‘=0. 图3称点为尸‘(一x,夕); :.a二2口一,, 刀=2/)一刃. 于是点刃3的坐标为P抓二a一芳,2凡一对). 推论已知点尸(x,妇,则它 (1)关于之轴的对 (3)关于点(a,b)的对称点为尸:(Za一x’2乡一夕). 证(1)如图1,过点P作直线x=m的…     

可换BCK代数的方程系统

In this paper we give three equational systems of commutative BCK-algebra. The first system CBKⅠconsists of the following three identities: ((x·y)·(x·z))·(z·y)=0,x·0=x,x·(x·y)=y·(y·x).The second system CBK Ⅱ consists of the following three identities:0·x=0,x·0=x,(x·y)·(x·z)=(z·y)·(z·x).The third system CBKⅢ consists of the following three identities: x·x=0,x·0=x,(x·y)·(x·z)=(z·y)·(z·x).     

上海市高三年级数学竞赛试题解答

第一轮 (1988年4月17日上午8:30一9:45) 本试春共7趁,第l一2城,每题10分:第3一7翅,每趁12分,满分80分. 各砚只委埃写最后结果,不必写出中间过租. 1.已知集合 A={(x,,)}扩+犷+Zx‘l}』业芬业<1958、-匹琴卫今,,一64 乙乙64 X 63 2=1 9531988一1953=35.内哪的分母为35,又分子分母和为64.卜“_29二“:,一~百丁·B=={(x,夕)}x一夕+a)o}若AnB仅含有一个点,则“的值为一1解:l分+矿+Zx一1=0 Ix一夕+a=o 令2产+2(a+l)x+矿一l=0 △=4(a+1)2一8(矿一l)=0 二a=一l,a二一3(舍去) 5.满足P(一l)=l,P门)=3,P(3)=21.尸(21)=8823的一个多项式尸(x)=丫一…     

北京数学奥林匹克学校课堂实录

课题一元~次方程 适用年级初中一年级 学’、期2 00匕、2006学年度第一学期 训练目的 典型范例 例解下列一元一次方程 0.7 0.17一0.2二 0。03 解将分母化为整数 xXIO 0 .7 X 10 (0 .17一0.Zx)火100 0 .03 X 100 10x 7 17一20x 3 去分母女 睁。之 30x一7(17二20主)=21, 170x一140 14 x~行· 去师课堂用题 1.解下列一元一次方程 (l) 0 .4x+0.gx一5 0.03十0.02) 、一声0.5、2 ~、1 fl厂1,活牛2., 气乙夕军丁《勺军!六乏气一下目州,七住 ,(1 LO。· 0 .03 ,+6」+8}一‘; ,。、_,.,、1,二、,;一.、 LJjd灭x十1夕,下~又x一1夕=乙Lx一1)一 一…     

两类特殊二元一次方程组的解

二元一次方程组{(1)当a:、b:、a一x b.夕=cla:x bZ少=cZc:和a:、b:、(!忿;会;},。)c:分别成等差数列时,方程组的解是{(2)当a:、b:、劣=一1y二2c;和a:、bZ、。2分别成等比数列且公比分别为q:、q,时,方程组的解是{y=证明:(l)一q一qZq一 q:将方程组改写成a:‘ (a: d:)夕=a: Zd;aZ二 (a: dZ)夕=a: Zd:(I)(I)(a:b:一匕:d:斗。)(I)xa:一(I)xa:,得(a;d:一a,dZ)夕=2(a Zd:一a,dZ)(2) 夕=2代入(I)〔或(I)〕得x=一1.将方程组改写成.’.广“一1 、夕=2。X q lyx q:y=好=q量(I)(F)(g:一Q:车。)(l(一(F),得(g:一g;)少=g荃.’.y=q: qZ,代入(l)一…     

不共线三点所确定的圆的方程

P.设不共线三点尸:(x:,夕:)、p:(x:,夕:)、(x:,夕。)所砍定的圆的一般方程为xZ+万:+Dx+E召+F二o(l)奋把三点坐标代入方程(I),并略加整理而成D、E、F的方程组(xl·夕+夕,·E+F=一(川十川),lx,’甘+夕:·E+F二一(x要+杏二),一x3.口卜万3·E+F=一(x孟十夕孟).由三点不共线跳充要条件可知 ‘“U 笋心.二口.几姗.工丫1夕-劣:玄:工3刀s应用克莱姆法则可得..r‘...,月.‘..lr!!1 1 .1 1 1 1 2 21豹脚如豹如如豹如如xl九xs朴介介幻朴勺川川川嘴几,二..人,二,几,二 .二,﹄3 y夕g山口‘人22,自,曰 y夕yJ++,舀,︸门山,.,.侣」X XXD*一内占1曰…     

“分步法“巧证分式不等式

常言道:“饭要一口一口地吃”.面对千姿百态的分式不等式,如果一时难以“一步到位”达到证明目的,不妨探究“分步法”,分成两步或多步,逐步实现证明目的.1.将分式不等式化为整式不等式例1设x,y,z∈R+,求证:(y+z)x(yx+z)+(z+x)y(zy+x)+(x+y)z(xz+y)≥43.(《数学教学》1992(6),数学问题289)证明(1)待证不等式可化为整式不等式:x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx2≥6xyz;(2)x2y+xy2+y2z+yz2+zx2+z2x≥66x2y·xy2·y2z·yz2·z2x·zx2=6xyz.证毕例2若a,b,c∈R+,求证:a·aa++cb+b·bb++ca+c·cc++ab≥a+b+c.(1992年国际“友谊杯”数学邀请赛试题)证明(1)证…     

用判别式解2011年全国联赛初赛题(江西)

题目一试确定,对于怎样的正整数a,方程5x2-4(a+3)x+a2-29=0有正整数解?并求出方程的所有正整数解.解把原方程化为关于a的一元二次方程,得a2-4ax+(5x2-12x-29)=0.由于a是正整数,故Δ=-4x2+48x+116≥0,且是一个完全平方数,解得:6-65<1≤x≤14<     

二次函数图象性质的应用点滴

一、利用“性胶”求扭值. 例1求x〔〔0.,l〕s月,/(二),x“+(2一6a)x+sa,的最小位,刀将得到的最小值看作是。的函数g(。).洲出它的图象. 解厂整理:/(二)盖〔,一(3a一1)〕’一6a“+6a一1. 设j(x)在x〔〔。,幻内鼓小值为夕.”势“3一<。,“·:·泣{J·<{.在。(二、1讨、,f(二)是增区数(图l)…g二f(0)=3。“2’)当:、,a一<,,尽},;‘·<:竹寸.口J、二工一3。一1时j(x)最刁、(图2),所以夕=f(3。一l)二一6。“+〔a气l3‘)当s。一J):。JJ。);时,在。《二<,;”:j、,) O是减函数(图3).所以g=l(l)=3。“一助+3二:(。一l)“ l龙{此得 3(。一)2g(a)=一…     

课外练习

磷招留澳口 1.(1)已知sina+51峭=1,eosa+eos召=O,求cosZa+ CosZ口的值. (2)已知3sinA+SCosA一5,求}3cosA一ssinA}的值. 。、、.二涯、_,品偏**二 (3)若sinx+siny一等,求cosx+cosy的取值范围. “一’曰--一’-一夕2”甲----一一“护”甲一r一~’目~’ (重庆市九龙坡区渝西中学(401326)慕泽刚) 2·(‘,设XoR+,解方程t一〔5兀(合)·:一1. (2)若b>a>。,x>。,试用a,b表示方程 5 in(ax)·sin(bx)一sin(Zb一a)x·sin(3b一Za)x 的x. (湖南平江七中(414501)张大授) 3.不查表求值:cos粤+。。。琴+c。。寥. IJ/ (陕西西安市户县二中(710307)王户…     

2005趣题几例

工作之余,将部分题目改编整合,使之与2005有机结合.下给几例,供同学们练习.1.设f(sinx)=sin2005x.求证:f(cosx)=cos2005x.2.数列{an}满足下列条件:a1=2;当n为奇数时,an+1=an+2;当n为偶数时,an+1=2an.求a2005.3.证明log20052004·log20052006<1.4.已知x+(1/(x-1))=3.求的值.下面给出以上各题的简解,供参考.     

一类五阶线性周期缓变系统周期解的存在唯一性

考虑5阶线性方程 x(5)+a,(t)戈(屯)+a:(t)x(3)+a:(t)x(2)+a‘(t)劣(‘)+as(t)x=e(t)将方程(1)化为等价方程组(1)一.、J,自-(勒dX_,,‘、。.,,。—=月、‘户了飞一I、‘夕dt这里X=(二,,…,戈5)’,A(t)=(a‘,(t)),f(t)=(o,o,o,o,e(t)),=a一。=1,aol二一a。,a。:=一a4,a。,=一a3,a。‘=一az,a。。=一al,,j=1,2,“·,5.我们得到如下的 定理.假设方程(1)满足如下条件 1 .a‘(t)连续可微,e(t)连续,且a‘(t+T)=a‘(t),e(t+T)=<月,{e(t)}相似文献