抽象函数关系给出的对称性与周期性

命题１设函数ｙ＝ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ,且满足条件ｆ（ａ＋ｘ）＝ｆ（ｂ－ｘ）,则函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ＝ａ＋ｂ２成轴对称．证明设函数ｙ＝ｆ（ｘ）图象上任一点为Ｐ′（ｘ′,ｙ′）,它关于直线ｘ＝ａ＋ｂ２的对称点为Ｐ（ｘ,ｙ）,则ｘ＝ａ＋ｂ－ｘ′...     

与反函数有关的几个对称问题

由高中《代数》（上册）互为反函数的性质知：互为反函数的两个函数ｙ＝ｆ（ｘ）与ｙ＝ｆ－１（ｘ）的图象关于直线ｙ＝ｘ对称．那么函数ｙ＝ｆ（ｘ＋１）与函数ｙ＝ｆ－１（ｘ＋１）的图象是否也关于直线ｙ＝ｘ对称？它们之间到底有何关系？本文从函数图象入手,探讨与之有关的几个问题：定理１　若函数ｙ＝ｆ（ｘ）的反函数为ｙ＝ｆ－１（ｘ）,则函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ｃ）（ｃ∈Ｒ）与ｙ＝ｆ－１（ｘ＋ｃ）的图象关于直线ｙ＝ｘ＋ｃ对称．证明　设Ｐ（ａ,ｂ）是函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ｃ）上任意一点,则　　　　　　ｂ＝ｆ（ａ＋ｃ）①而点Ｐ（ａ…     

复合函数求导法则的又一证明

复合函数的求导法则是求导运算的重要法则;对于ｙ＝ｆ（ｕ）,ｕ＝ｇ（ｘ）,复合函数ｙ＝ｆ〔ｇ（ｘ）〕的求导法则的证明有一个很自然的想法：ΔｙΔｘ＝ΔｙΔｕ·ΔｕΔｘ,ｌｉｍΔｘ→０ΔｙΔｘ＝ｌｉｍΔｕ→０ΔｙΔｕ·ｌｉｍΔｘ→０ΔｕΔｘ;但是,当Δｘ→０时,Δｕ可能等于０,此时ΔｙΔｕ没有意义,所以上面很直接的想法行不通;一般的证明采取另外的方法［１］,［２］;本文仍从上面直观的想法出发,加以改进,得到了又一个证明;定理　若ｙ＝ｆ（ｕ）在ｕ可导,函数ｕ＝ｇ（ｘ）在ｘ可导,则复合函数ｙ＝ｆ〔ｇ（ｘ）…     

反函数的性质及应用

反函数是高中数学的重要知识点 ,也是难点 .本文主要系统介绍反函数的性质 ,并巧妙运用这些性质去解答相关的问题 .性质 1　函数 ｙ =ｆ(ｘ) 的定义域 ,正好是它的反函数 ｙ =ｆ- 1(ｘ)的值域 ;函数 ｙ =ｆ(ｘ) 的值域 ,正好是它的反函数 ｙ =ｆ- 1(ｘ)的定义域 .性质 2　函数 ｙ =ｆ(ｘ) 的图象和它的反函数 ｙ=ｆ- 1(ｘ)的图象关于直线 ｙ =ｘ对称 .性质 3　若单调函数 ｙ =ｆ(ｘ) 和 ｙ =ｇ(ｘ) 的图象关于直线 ｙ =ｘ对称 ,则函数 ｙ =ｆ(ｘ) 和 ｙ =ｇ(ｘ) 互为反函数 .性质 4　函数 ｙ =ｆ(ｘ) 若是单调函数 ,则它的反函数 ｙ =ｆ- 1(…     

读《一个值得商榷的问题》有感

笔者最近阅读了《一个值得商榷的问题》（以下简称文［１］）之后,也有一些不成熟的看法,且与文［１］的观点有些出入,遂写成下文,供大家商讨．１　普遍共识 例１ 若ｙ＝ｆ（１／ｘ）的定义域是［１／３,１／２］,求 的定义域． 解 １／３≤ｘ≤１／２,则２≤１／ｘ≤３, 故 若ｆ（　（ｘ））＝ｇ（ｘ）,那么习惯上称ｆ（ｘ）为外层函数,　（ｘ）为内层函数,而ｆ（　（ｘ））即ｇ（ｘ）称为ｆ（ｘ）与　（ｘ）复合而成的复合函数． 上例中ｙ＝ｆ（１／ｘ）与ｙ＝　虽然是两个不同的函数,但对应法则是一致的．由十ｅ【２,３」知…     

复合函数的性质及应用

复合函数这一概念,现行高中课本未直接定义．而复合函数的应用实例,在现行高中课本《代数》上册（以下简称课本）中大量出现．如　ｙ＝ｌｏｇ０．５（４ｘ－３）（课本Ｐ１００）;ｙ＝１６－５ｘ－ｘ２（课本Ｐ１０８）;ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）（课本Ｐ１７８）;ｙ＝ｓｉｎ（ａｒｃｓｉｎｘ）（课本Ｐ３００）．在全国高考数学试题中,复合函数的应用问题成为命题热点．本文试对复合命题的性质作点介绍．设ｙ＝ｆ（ｕ）,ｕ＝ｇ（ｘ）,则ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］为复合函数．根据函数单调性的定义,容易得出下列结论．（１）若ｙ＝ｆ（ｕ…     

浅议函数的概念

有关函数及其图象的问题,常存在一些不科学的提法,例如：１．“函数在其定义域内没有反函数,而在它的单调区间上存在反函数”．２．“在同一坐标系中,函数ｙ＝ｆ（ｘ）和它的反函数ｘ＝ｆ－１（ｙ）的图象本来是同一个图象,当我们改为习惯写法ｙ＝ｆ－１（ｘ）之后,...     

自反函数初探

本文探讨反函数为其自身的函数的特征与构造．１定义：定义域为Ａ的函数ｙ＝ｆ（ｘ）存在反函数ｙ＝ｆ－１（ｘ）,若对任意ｘ∈Ａ,恒有ｆ（ｘ）＝ｆ－１（ｘ）,则称函数ｙ＝ｆ（ｘ）为自反函数．显然,自反函数的定义域与值域相等．２特征定理１：若函数ｙ＝ｆ（ｘ）在...     

函数f（t）＝ψ（t）／θ（t）值域的一种图示解法

函数ｆ（ｔ）＝ψ（ｔ）／θ（ｔ）值域的一种图示解法王友金（河北省青龙县职教中心）对于函数，若令ｘ＝θ（ｔ），ｙ＝（ｔ），则参数方程表示的曲线Ｃ：ｇ（ｘ，ｙ）＝０上任一点Ｐ（ｘ，ｙ）与原点Ｏ所在约直线ＯＰ的斜率为．由此及曲线上Ｐ点的任意性，通过讨论直线...     

何以点可以视为圆?

何以点可以视为圆？周传忠（华南师范大学５１０６３１）我们知道，若曲线ｌ：ｆ（ｘ，ｙ）＝０和ｋ：ｇ（ｘ，ｙ）＝０相交，则方程ｆ（ｘ，ｙ）＋λｇ（ｘ，ｙ）＝０表示通过这些交点的一个曲线系．利用这一结论来解一些问题常是很方便的．文［１］、［２］更提出，可以...     

关于条件极值的一个充分性条件

对于求多元函数的条件极值问题，有下面熟知的拉格朗日乘数法为了求函数ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在附加条件φ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０下的极值，令Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋λφ（ｘ，ｙ，ｚ）则方程组Ｆｘ（ｘ，ｙ，ｚ）≡ｆｘ（ｘ，ｙ，ｚ）＋λφｘ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０...     

论函数与其反函数的图象的公共点

我们知道 ,单调函数都存在反函数 ,且反函数与原函数具有相同的增减性 ;互为反函数的两个函数的图象关于直线 ｙ =ｘ对称 ,但是它们的图象不一定有公共点 ,如函数ｙ =2 ｘ 与ｙ =ｌｏｇ2 ｘ的图象就没有公共点 .如果互为反函数的两个函数的图象有公共点 ,那么公共点是否一定在直线 ｙ =ｘ上呢 ?例 1　求下列函数的反函数 ,以及原函数与其反函数的图象的公共点 .1) ｆ(ｘ) =ｘ3 ;( 2 ) ｇ(ｘ) =-ｘ3.解　 1)由 ｙ =ｘ3,得ｘ =3 ｙ.因此函数 ｆ(ｘ) =ｘ3 的反函数为 ｆ-1 (ｘ) =3 ｘ .解方程组 ｙ =ｘ3,ｙ =3 ｘ .消去ｙ ,得 :ｘ3 =3 ｘ .两边…     

深入理解偶函数概念

本文帮助同学们深入理解偶函数概念 .1　形象化感受作出函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 的图象如图 1,你觉得这个图 1　ｆ(ｘ) =ｘ2 的图象图象与 ｙ轴之间有什么关系吗 ?若把 ｙ轴形象地看成“平面镜” ,把图象右支看成一个物体 (比如弯曲的铁丝 ) ,那么左支就可以看成什么 ?图象左右两支关于ｙ轴对称 .当把 ｙ轴看成平面镜时 ,那么图象左支可看成右支的像 ,左右两部分成双成对 ,我们不妨把它比喻作一对“配偶” .请同学们自己作出函数 ｆ(ｘ) =- |ｘ|的图象 ,再作类似如上的思考 .数学家就把图象关于 ｙ轴对称的一类函数通称为偶函数 ,“偶”就是“配偶…     

NOTE ON THE OSCILLATION OF THE SOLUTION FOR GENERALIZED LIENARD EQUATIONS

Ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇｓｙｓｔｅｍ：ｘ＝φ（ｙ）－Ｆ（ｘ），ｙ＝－ｇ（ｘ）｛（Ｅ）ｉｎｗｈｉｃｈＦ（ｘ）＝∫ｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ，ｆ（ｘ），ｇ（ｘ），φ（ｙ）ａｒｅｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ，ａｎｄｓａｔｉｓｆｙｔｈｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｗｈｉｃｈｅｎｓｕｒ...     

系统x=ψ（y）,y=—g（λ）—f（x）y的极限环唯一性问题

本文给出系统ｘ＝ψ（ｙ），ｙ＝－ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｙ条件较小的极限环唯一定理。     

巧用函数单调性解赛题

函数ｆ（ｘ）在区间［ａ,ｂ］上单调增加（或单调减少）,又ｃ、ｄ∈［ａ,ｂ］上,若ｆ（ｃ）＝ｆ（ａ）,则有ｃ＝ｄ．１　求代数式的值例１　已知ｘ、ｙ∈［－π４,π４］,ａ∈Ｒ,且　ｘ３＋ｓｉｎｘ－２ａ＝０４ｙ３＋ｓｉｎｙｃｏｓｙ＋ａ＝０则ｃｏｓ（ｘ＋２ｙ）＝　　．（１９９４年全国高中数学竞赛题）解　由已知条件,可得　　ｘ３＋ｓｉｎｘ＝２ａ（－２ｙ）３＋ｓｉｎ（－２ｙ）＝２ａ故可设函数ｆ（ｔ）＝ｔ３＋ｓｉｎｔ,则有ｆ（ｘ）＝ｆ（－２ｙ）＝２ａ．由于函数ｆ（ｔ）＝ｔ３＋ｓｉｎｔ,在［－π２,π２］上是单…     

关于反函数教学的若干思考

关于反函数教学的若干思考高吉全（上海市松江四中２０１６０１）１关于反函数的概念什么是反函数？人教版统编高中教材《代数》上册指出：“一般地，式子ｙ＝ｆ（ｘ）表示ｙ是自变量ｘ的函数，设它的定义域为人值域为Ｃ，我们从式子ｙ＝ｆ（ｘ）中解出ｘ，得到式子如果对...     

函数的周期性

函数的周期性冯光庭（湖北随州四中）【基本概念】一般地，对于函数ｙ＝ｆ（Ｘ），如果存在一个不为零的常数Ｔ，使得当ｘ取定义域内的每一个值时，ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ（ｘ）叫做周期函数，不为零的常数Ｔ叫做这个函数的周期．对于一个周期...     

两个函数的图象关于两条互相垂直的直线均对称的充要条件

两个函数的图象关于两条互相垂直的直线均对称的充要条件郑日锋（浙江省瑞安中学３２５２００）众所周知：“如果一个函数的图象关于ｘ轴、ｙ轴均对称，则这个函数的图象必关于原点对称”．我们进行类比联想：“如果给定两个函数它们的图象关于ｘ轴、ｙ轴均对称，则它们的...     

关于有界二元密度函数的一个公式

设Ｆ（ｘ，ｙ）是二元连续型分布函数，ｆ（ｘ，ｙ）是其密度函数，本文的目的是给出公式α＾２Ｆ（ｘ，ｙ）／αｘαｙ＝ｆ（ｘ，ｙ）成立的一个充分条件。