"驴桥定理"新证明

定理"等腰三角形两底角相等"又叫驴桥定理,你知道为什么吗?原来关于这个定理的证明,欧几里德的证法与现代中学教科书通常采用的方法不同,它不是作顶角的平分线,而是采用了虽较繁但又很巧妙的方法,初学者往往于此开始感到困难,以至于无兴趣继续学下去,所以这定理被称之为驴桥定理(意即笨蛋的难关).欧几里德的证法如下:     

Viviani定理的解析证明应用及推广

维维安尼(viviani)是意大利物理学家、数学家，是著名物理学家伽利略的弟子．生于1622年，卒于1703年，以他的名字命名的定理在几何学上有一定的位置．该定理的证法较多，唯独坐标法证明新颖别致．     

Rolle定理的新证明

在多年的微积分教学中,笔者感到其中的Rolle定理是一个特别呆板的项目,它似乎要求一个完全固定的证法和一套几乎固定的语言,使人感到意外的是,在去年一堂成功的微积分课上我们竟然找到了一种不同的证法。 设f(x)定义在[a,b]上,它在(a,b)上可微。在a、b速续,f(a)=f(b)。我们来证明在(a,b)中     

完全覆盖和加标分割在分析中的应用

通过对数学分析中众多定理的证法的分析,说明利用文中的两个引理可使一些定理的证法既直接又易于接受,使黎曼可积的一个充要条件的证明简捷,文章最后给出了罗尔中值定理的一种简单的新证法.     

关于仑巴菲特引理的证明

１８４０年莱莫斯（ｌｅｍｅｓ）提出命题：“两内角平分线相等的三角形是等腰三角形．”很难用纯几何方法证明．瑞士几何学家斯坦纳（ｓｔｅｉｎｅｒ）第一个给出了证明,于是该命题就成了著名的“斯坦纳──莱莫斯”定理,但证法比较麻烦．于是人们又寻求定理的简单证法,大约于１９４０年前后,有人基于法国数学家仑巴菲特（Ｒｅｂａｆｆｅｔ）的引理“三角形中大角的平分线小些．”利用反证法,给出了一个较简单的证法,但美中不足的是引理的证法,如同定理的证法一样困难;如朱德祥先生在《初等几何研究》（高等教育出版社,１９８５年…     

利用导数证明不等式

读了贵刊今年第3期上刊登的“证明不等式的初等方法”等文章受益不浅。这几篇文章结合一些具体实例从各个不同角度对用初等方法证明不等式进行了较系统地归纳和总结,于教于学都是大有裨益的。但有些不等式运用微分法来进行证明思路清晰、方法简便、具有独到之处,而从近年来全国高考及各地高考予选情况来看,对于这方面的知识学生掌握得并不理想,本文试图就统编高中数学课本第四册“导数和微分的应用”一章对用导数证明不等式的方法作点归纳。一用微分中值定理证不等式定理1 如果函数f(x)在闭区间〔a,b〕上连续,在开区间(a,b)内可导,那么在(a,b)内至少有一点§,使得 f′§=(f(b)-f(a))/(b-a)。(见教材P114) 根据这个定理,我们可以依导函数f′(x)的变化范围(如有界等)及a<§相似文献   

关于“三垂线定理”授课的教学管见

“三垂线定理”是立体几何中的一个重要定理,它不但联系着一系列主要概念(如平面的垂线、斜线、斜线在平面内的射影等),而且其证明中又包含有较为典型的证题方法(线面垂直与线线垂直证法),并且有着广泛的应用。因而这一定理是立几数学中的重点。又因其牵涉到的概念较多,故又是教学中的难点。下面就笔者在教学中的作法谈一点体会,以就教于同行诸君。一、引导学生发现矛盾,造成悬念,激发学     

正弦定理的又一证法

现行数学课本 (试验修订本 )第一册 (下 )中关于正弦定理是利用向量的数量积证明的 .此种证法有三个难点 :①需分三种情况讨论 ;②作辅助单位向量j;③对向量等式的两边取与同一向量的数量积 .这对初学者来说是不易突破的 .下面介绍一种简单的证法 .定理　在△ABC中 ,BC=a ,CA =b ,AB=c,则 :asinA =bsinB =csinC.证明　如图建立直角坐标系 ,则 :A( 0 ,0 ) ,C(b ,0 ) ,又由任意角三角函数的定义可知 :B(ccosA ,csinA)所以AC =(b ,0 )AB =(ccosA ,csinA)CB =AB -AC =(ccosA-b ,csinA)以CA、CB为邻边作平行四边形ACBB′ ,由平行…     

谈谈数学猜想

《数学课程标准》要求学生要有一定的数学猜想、验证的能力.近几年各地市中考试题中都有考查学生猜想能力的题目.究竟什么是数学猜想?我们如何进行数学猜想呢?当代深负众望的美国数学家G·波利亚教授指出:“数学的创造过程是与任何其他知识的创造过程一样的,在证明一个数学定理之前,你先得猜测这个定理的内容,在你完全做出详细证明之前,你先得推测证明的思路,你先得把观察到的结果加以综合,然后加以类比.你得一次又一次地进行尝试.”这段话告诉我们,数学教科书中那些精辟的结论,深刻的定理,巧妙的证法,不是从天上掉下来     

HPM视角下“正弦定理”的教学

<正>HPM是数学史与数学教育之间关系的简称,数学史融入数学教学是当下HPM研究的一个重要领域.在高中数学中,正弦定理是求解三角形的重要工具.在“正弦定理”的教学中,教师应该尝试多种不同的教学模式.翻开数学史料,笔者发现古人已经探索出多种不同的正弦定理的证明方法,有不少漂亮的证法有必要介绍给学生,让学生感受古人的智慧.基于此,本文中在HPM视角下,开发不同于以往的“正弦定理”的教学设计.     

一个逆定理的两种证法

课本里有这样一个定理:在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半．在习题里给出了该定理的逆定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜角的一半,那么这条直角边所对的锐角是30°．逆定理的证法可仿照定理的证法,很容易完成(用加倍法或截半法)．该定理还有另外一个逆命题:“在一个三角形中,如果30°所对的边等于另一边的一半, 那么这个三角形是直角三角形．”这个命题是     

柯西中值定理的应用——一道研究生试题的证法分析

1一道试题上海交通大学1979年招收研究生的数学试题中有如下一道试题[1]试证明：若f（x）、g（x）都是可微函数,且当x≥a时,则当x≥a时,2一个证法的简化因（1）式等价于故为证右半不等式,可令（x）=g（x）-f（x）,则由拉格朗日中值定理知其次,令,则同理可证这便是书[1]、[3]所给的证法．其实,由即知是增函数,所以,即,何须运用拉格朗目中值定理！3柯西中值定理的优越性是增函数,故（1）式又等价于时,则由柯西中值定理得这就避免了上一证法分两种情形的麻烦．然而,题没只能推出,还无法肯定这便是本题运用柯西中值定理的难处．4…     

圆锥截线定理的又一证法

直圆锥面与平面相贯,其截线不外是圆、椭圆、抛物线、双曲线等四种曲线,即二次曲线,这就是圆锥截线定理。它的证明通常是纯几何的。作者通过教学实践获得如下的又一证法,它是利用几何关系作出的一种分析的证法。可供教学上参考。 为方便计,只讨论平面与圆锥在一侧相贯的情     

Hamilton-Cayley定理的一种证法

<正> Hamiltion-Cayley定理是矩阵代数中一个基本定理,有重要的理论和应用价值。本文提出一种简明的证法,它仅利用矩阵的Jordan标准形和矩阵的乘法运算规则。引理设T_i是对角线上第i个元素为零的n阶上三角矩阵(i=1,2,…,n)测     

关于“变分原理中的几点注记”的注记

本文用不同方法更简单地证明了Aziz得到的关于积Hilbert,空间上抽象方程有适定解的充分条件,并且重证了这个充分条件也是必要条件,对于抽象方程的适定解我们用不同的证法对Lax-Milgram定理给出一个不同的表述形式;对于Lions证明的关于Hilbert空间上变分不等式的一个基本结果,指出了它在积Hilbert空间的特定条件下也是成立的;改正了[6]中的失误。     

定理〔a,b〕= ab/(a,b)的教学体会

在中等师范算术理论的教学中,有关最小公倍数的定理[a,b]=ab/(a,b)的教学确是一个难度较大的内容。课本对于定理采用格列本卡著《算术》的证法。这种证法抽象,它牵涉的概念多,运用的性质多,证明的步骤繁,其方法实难于使学生在短时间内接受。     

《不等式》一章在新旧教材中的异同

《不等式》一章在新旧教材的对比中新教材有以下几个突出特点 :( 1 )注重基础 ,承上启下 ;( 2 )联系实际 ,重视应用 ;( 3)渗透数学思想方法 ,突出培养思维能力 ;( 4 )因材施教 ,增强了弹性具体表现在以下几个方面 :1　教学要求不同1 1　不等式性质教学要求不同旧教材要求使学生系统地掌握不等式的性质 ,并通过这些性质的证明培养学生逻辑推理论证能力 .新教材要求学生理解不等式的性质及证明 .1 2　平均值定理教学要求不同旧教材要求掌握两个或三个正数的算术平均数小于它们的几何平均数这一重要定理 ,并能运用它们去解决一些有关的问题 ,…     

有限维空间完备性的一种证法

<正> 有限维赋范空间的完备性,各书的证法不一,这里提供的证法以两个引理为基础,这两个引理本身,超出了有限维的范围,因而具有一般性,如果不把引理先列出而归并入完备性的证明过程之中,那么这种证法仍然是比较简捷的。     

用复数证平几欧拉定理

欧拉定理:三角形的外心O,重心G,垂心H三点共线,且OG:GH=1:2。此定理的证法很多,但纯平面几何证明需较高的添辅助线的技巧,解析法又往往计算较繁,以下,笔者给出一种简单的复数证法。以O为原点建立复平面(如图),在以下叙述中,各字母既代表点,又代表该点对应的复数。则易知|A|=|B|=|C|,G=1/3(A B C)。故只须证     

积秩定理的别证

<正> 积秩定理有多种证法。本文再给出二种比较简便的证法。积秩定理设A是数域P上的n×m矩阵,B是数城P上的m×s矩阵,则R(AB)≤min{R(A),R(B)}即乘积的秩不超过各因子的秩。