从圆的定义谈起

湖北教育出版社出版的数学《双基训练》中有这样一道几何题; 在等边三角形ABC外作一锐角∠PAC,在AP上截取AD=BC,求∠BDC的度数(图1) 本题若用直线形知识求解,则过程较繁,即∠BDC=(1/2)(180°-∠CAD)-∠ADB=90°-(1/2)∠CAD-(1/2)(180°-60°--∠CAD)=90°-(1/2)∠CAD-60° ∠CAD=30°若用圆的定义解此题,则可达事半功倍的效果。由题设知AD=AC=AB=BC,即点D,     

从高考到竞赛的三道三角试题谈起

1.求sin~2(20)° cos~2(80)° 3~(1/2)sin(20)°cos(80)°的值.(1992年高考文科题) 2.求cos~2(10)° cos~2(50)°-sin40°sin80°=_____.(1991年全国高中数学竞赛题) 3.求cos~2(73)° cos~2(47)° cos47°cos73°的值.(1987年江苏省少年数学夏令营选拔赛题) 这三道都是求值试题,侧重基础,考察学     

对一道习题条件的探索

<正>《中学生数学》2013年第1期(初中刊)刊登了文章《一题多解在几何综合题中的应用》,文中习题如下:原题(1)如图1,在△ABC中,AB=AC,当∠ABD=∠ACD=60°时,猜想AB与BD+CD数量关系,请直接写出结果     

解答三角题常用的几种方法

解答三角题,除了要掌握三角公式外,还要掌握一些常用的解题方法,下面分别介绍。一、变换角度许多三角题出现不同角或非特殊用,应从用的数量关系着眼,进行角度变换,常用的变换方法是或化为同角,或化为特殊角,或减少不同角。例1 求 cos°/cos35°(1-sin20°)~(1/2)的值. COO6O\/——SlllLU 解原式=cos~2 10°-sin~2 10°/cos35°(cos10°-sin10°)~2~(1/2) =cos10° sin10°/cos35° =sin80° sin10°/cos35°     

一道中考几何综合题的多种解法

<正>2014年的北京中考24题,是一道基于正确作图的几何综合题,如果同学们对轴对称的概念掌握不好,那么本题的求解将受阻.下面,我们先一起阅读原题:24.在正方形ABCD外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为E,连接BE,DE,其中DE交直线AP于点F.(1)依题意补全图1;(2)若∠PAB=20°,求∠ADF的度数;(3)如图2,若45°<∠PAB<90°,用等式表示线段AB,FE,FD之间的数量关系,并证明.     

黄金分割与圆内接正五边形

欧几里德《几何原本》卷二11题,卷四10题,11题,卷六界说三和30题等,都是研究著名的黄金分割问题.我国清初著名数学家梅文鼎用了十余年时间在《几何通解》(1691年),《几何补编》(1692年)中,用我国古代传     

2005年全国中考试题精选 海南省

(含超量题全卷满分110分,考试时间100分钟)一、选择题(本大题满分20分,每小题2分)1·如果零上3°C记作 3°C,那么零下3°C记作()·A·-3B·-6C·-3°CD·-6°C2·海南的富铁矿是国内少有的富铁矿之一,储量居全国第6位,其储量约为237000000吨,用科学记数法表示应为()·A·237×1     

新题征展(70)

A 题组新编 1.(1)在△ABC中,已知AB=AC=1,∠A=20°,E,D分别是AB,AC上的动点.求BD DE EC的最小值dmin; (2)在(1)中,将∠A=20°改为∠A=30°,求dmin;     

用60°角构造等边三角形解题

有些几何题条件中含有60°角,利用它构造等边三角形是个不错的想法,借助等边三角形的特性可以使隐含的关系明朗化,请看以下几例:     

还有一种情况

初中《几何》第二册复习参考题六的第2题是;已知△ABC中,AB=15,AC=20,高AD=12,求角平分线AE的长。教参给出的图形(如图1)和提示:用勾股定理求得BD=9,DC=16,再应用角平分线性质     

解题方法的多样化

题目《数学(七年级下册)》(北师大版)复习题第186页第二题:一个零件的形状如图1所示:按规定∠A应等于90°,∠B,∠D应分别是20°和30°,李叔叔量得∠BCD=142°,就断定这个零件不合格,     

几何定值题的参变量证法

几何定值问题是平面几何中的一个难点,难之所在,一是题设中某些几何量的任意可变性,给人一种不确定感;二是题断中定值究竞为何,是一个谜。通常的证法是,先由特殊情形探出定值,再证一般情形结论成立,若由题设中某些几何量的可变性,联想到代数中研究变量与常量的函数问题,则可考虑应用函数观点来处理几何定值问题,具体思路是:通过引入适当的几何变量x,利用几何定理、计算公式、三角法等,建立起所要研究的几何量y与变量x间的函数y=F(x),把问题转为研究、考察函数y=F(x)的值,是否与x无关,恒等于某一常数,下面略举数题说明。     

构造图形 巧解三角

<正>解(证)三角题的一般方法是通过三角函数的恒等变形来进行,这是基本的方法,也是很重要的方法,但不是唯一的方法.事实上,有些三角题还可以构造图形,用图形性质来解答,而且方法巧妙,值得一学.现举例说明.例1求tan20°+4sin20°的值.解由式子中角的特点,可构造直角三角形ABC,使∠C=90°,AB=2,BC=1(如图1),则CA=3^(1/2),∠A=30°,∠ABC=60°.作∠CBD=20°,则DB=sec20°,DC=tan20°.     

立体几何学习之“窍门”

学习立体几何与学习平面几何有许多相似之处,笔者略加归纳如下. 一、学会说立体几何中的命题比较复杂,但它们都是由简单的几何语句组合而成,因此,首先必须学会说简单的几何语句.新版教材(第二册)P20第6题(人教社):直线AB平行于平面a,经过AB的一组平面和平面a相交.求证:它们的交线a、b、c、…是一组平行线.这是一个比较复杂的命题,它是由三个简单的几何语句构成.     

妙用旋转巧解竞赛题

<正>旋转是几何中的一种图形变换,充分利用旋转的性质,将分散的已知条件和未知条件巧妙加以整合,可以在已知与未知之间架起一座桥梁,可使复杂问题简单化,使解题过程简洁.下面举例说明.例1(第十九届全国中小学生数学公开赛八年级人教版第24题)如图1,△ABC是边长为1的等边三角形,△BCD是顶角为120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°的∠MDN,点M、N分别在AB、AC上,求△AMN的周长.     

都是正弦定理惹的祸?

一、问题的引出 刚学完正弦定理,小明先后做了以下几道题: (1)△ABC中,a=(√2),b=(√3),A=45°,则B=____. (2)△ABC中,a=2,b=(√2),A=45°,则B=____. (3)已知△ABC中,a=(√3)-1,b=1,C=30°,求A、B. 小明第(1)题填了60°,同桌说他错了.小明想了想,发现自己丢掉了和60°正弦值相等的120°角. 小明接着做第(2)题时,很得意地填了30°或150°.但同桌又说他错了.小明疑惑了,这次考虑到和30°正弦值相等的150°角,怎么又错了呀?仔细一想,发现150°不符合题目要求.     

例析高中数学研究型问题

根据近年教学实践,选出研究型问题一组,似对高中数学总复习、特别对教师的备课有好处.现整理如下:例1在△ABC中计算:sin2A sin2B sinA·sinB的值.(1)若A=30°,B=30°(2)若A=45°,B=15°(3)若A=40°,B=20°(4)从上述(1)、(2)、(3)中能否得出一个一般性规律?请给予证明.解(1)sin230° sin230° sin30°·sin30°=43(2)sin245° sin215° sin45°·sin15°=43(3)sin240° sin220° sin40°·sin20°=1-c2os80° 1-c2os40° 21(cos20°-cos60°)=1-21(cos80° cos40°) 21cos20°-41=1-21·2cos60°cos20° 21cos20°-41=43(4)猜测:在△AB…     

几何题的三角证法

<正>用三角法证几何题可以不添辅助线或少添辅助线,降低证明难度,同时又能开拓思路,从而提高证题能力.在初中用三角法证几何题是以直角三角形为基础,以锐角三角函数为主要手段,通过运算或用运算代替推理进行证明,它的证题步骤是:(1)选择或构造直角三角形;(2)设某角为α,用一些线段和α的三角函数表示其他的线段,建立起边角关系等式.     

高考中的一题多解

笔者今年6月份参加了全国卷(Ⅰ)的阅卷工作,改的是选做题的22题,即选修4-1几何证明选讲,题本身并不难,但笔者不得不佩服考生的智慧,以下是整理的2题解法,先看题:     

一道课本习题的高考引申

旧教材平面解析几何第112页第10题：“在椭圆x^2/45 y^2/20=1上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直”．这是道几何背景深刻，耐人寻味的好题，它直接道出了圆与椭圆的内在联系．就是这道小题成为两届高考关键题目的起源地．足见课本题的重要性．而且高考对它做了进一步引申，引出两道更为精彩的试题，它们分别是2000年全国高考理(14)和2004年全国高考理(21)的(Ⅰ)问．本文将对它作更进一步的引申．