利用等积变换求三棱锥体积的几种技巧

在求三棱锥的体积时 ,当棱锥的底面面积或高较难直接求 ,甚至不能求时 ,这就要求我们将三棱锥的底面或高进行变换 ,利用等积变换来求其体积 .利用等积变换求三棱锥的体积时 ,常有如下几种技巧 :图 1(1)1　换顶点 ,换底面例 1　如图 1 (1 )所示 ,正方形ABCD的边长为 1 ,点E ,F是BC ,CD的中点 ,现沿AE ,EF ,AF折成一个三棱锥 ,使B ,C ,D三点重合 ,记作S如图 1 (2 ) ,求所得三棱锥S -AEF的体积 .分析　此三棱锥体积直接求解难点在于选择AEF为底面 ,较难求出其锥体的高 ,这时 ,我们若将此锥体的底面与顶点换一下 ,换成以点A为顶点 ,…     

两种典型方法解决与体积相关问题

对于空间几何体,一般情况下求体积都能直接应用体积公式来解决,但是对于一些特例问题则不能直接解决,下面介绍两种方法来解决与体积相关问题.1.用"割补法"解决不规则几何体的体积一般地说,对于不是常见的柱、锥、台、球,通常有两种方法,一是将其分割,把它分割成若干个能直接应用公式求体积的几何体,二是在原来的几何体的基础上补形,补成一个能直接应用公式求体积的几何体,不过此时要求所补部分的体积易求或能够用所求几何体的体积来表示,通常把上述方法称为"割补法".     

用等面积法和等体积法导出一类几何定值问题

《数学通报》2005，2P45刊出“Viviani定理的解析证明应用及推广”一文，笔者总感觉还有事情可做，主要是换一个角度对该定理进行一些自然的推广。     

例说等体积法求空间角

由于利用等体积法求点到平面的距离，不必考虑点在平面上射影的位置究竟落在哪里，也不必为是否写错空间坐标系内点的坐标而顾虑重重，因此一直为大家所喜好．但笔者在教学中发现，许多同学对等体积法的认识仅仅停留在求点面距离上．事实上，对于涉及点面距的空间角问题，在传统先作后算的方法和向量法比较繁杂时，等体积法仍不失为一种很有效的解法．下举两例，予以说明．     

空间中的面积和体积问题

计算几何体的面积和体积问题．是立体几何中一类比较常见的综合问题，往往需要运用立体几何中的多种知识、概念和方法．     

函数的存在性问题

存在性问题历来是竞赛命题的重要内容 ,函数中的存在性问题也占有一定比重 ,笔者将其解法介绍如下 .函数中的存在性问题主要有三种类型 ,即肯定型、否定型和探索型 .分述如下 .1　肯定型　已知函数满足某些条件 ,证明某种对象一定存在 ,常见的有如下方法 .例 1　 (第 2 9届ＩＭＯ国家集训班选拔考试试题 )设ｆ(ｘ) =3ｘ 2 ,证明 :存在正整数ｍ使得ｆ( 10 0 ) (ｍ)能被 1 988整除 .证　ｆ( 10 0 ) (ｍ) =2 3× 2 3 2 × 2 … 3 99× 2 3 10 0 ×ｍ .因 3与 1 988互质 ,3 10 0 与 1 988也互质 .由裴蜀 (Ｂｅ′ｚｏｕｔ)恒等式 ,存在自然…     

浅谈正三棱锥棱的中点应用

正三棱锥是最常见的几何体，棱的中点常在解题中起着重要作用．如何设置中点，如何利用中点？本文试图对此予以浅析．     

应用均值不等式求圆锥体积的最大值

求满足一定条件时圆锥体积的最大值 ,通常可采用三角法处理 .能否采用均值不等式来求 ,是很多学生和教师很关心的问题 ,经过仔细深入地探讨 ,笔者发现圆锥全面积一定、或圆锥轴截面三角形周长一定、或圆锥侧面积一定时 ,圆锥体积的最大值可采用均值不等式求解 .例 1　已知圆锥的全面积为πa2 (a >0 ) .求圆锥体积的最大值 .解　设圆锥的高为h ,底面圆的半径为r ,体积为V ,则有πr2 +πrr2 +h2 =πa2 ,∴a2 =r2 +rr2 +h2=r2 +r r2 + 18h2 + 18h2 +… + 18h2≥r2 +r 99r2 188(h2 ) 8=r2 + 3· 1243r109h89=r2 + 1243r109h89+ 1243r109h89+124…     

例谈三棱锥体积的转化

引例(2010年江苏卷16)如图1,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°(1)求证:PC⊥BC;(2)     

两种典型方法解决与体积相关问题

对于空间几何体,一般情况下求体积都能直接应用体积公式来解决,但是对于一些特例问题则不能直接解决,下面介绍两种方法来解决与体积相关问题.     

二次函数中动点存在性问题解题策略——以三角形存在性问题为例

二次函数是初中数学的重要内容,它常与综合性知识点融合,以动点问题的形式频繁出现在中考数学压轴题的位置.二次函数的动点问题渗透了分类讨论思想、函数思想、方程思想、数形结合思想等多种数学思想方法,对学生而言具有一定的难度.学习二次函数动点问题的解题策略,有利于学生灵活运用所学知识解决问题.本文中主要以二次函数动点问题中的三角形存在性问题为例展示,如何解决这一类题型.     

两个存在性问题研究

所谓存在性问题是相对于中学数学课本中有明确结论的封闭型问题而言的．这类试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖、构思精巧，具有相当的深度和难度．它重在考查学生的分析、探索能力和思维的发散性。     

关于一类半线性高阶障碍问题解的存在性与正则性

本文考虑一类带互补边界条件的四阶半线性椭圆型变分不等式,应用临界点理论,证明了当半线性项具有超线性增长时解的存在性,并利用L~p估计得到了解的正则性.     

例外簇与线性互补问题的存在性定理

1．简介给定一n×n阶矩阵M和一n维向量q，由M和q决定的线性互补问题是求得一向量x∈Rn使下式成立：问题（1）简记为LCP（q；M）．［1］对此问题作了详细的介绍，其中一个重要专题是研究（1）的解存在性问题：在何种条件下，LCv（q，wr）有解．山给出了各种存在性定理如：当wr是正定矩阵时，对任一qeR”，LCP（q，M）都有唯一解，这一结果被推广到P一矩阵，当M为（严格）半单调矩阵及q（三）＞0时，LCP（q，M）只有零解；当M为协正定阵时，q限制于某一集合时，LCP（q，M）有解等．所有上述结果都源于线性互补问题的二次等价形式及…     

环域上一类拟线性椭圆型方程的正径向解的存在性

The existence of positive radial solutions of the equation -din( |Du|p-2Du)=f(u) is studied in annular domains in Rn,n≥2. It is proved that if f(0)≥0, f is somewherenegative in (0,∞), limu→0^ f‘ (u)=0 and limu→∞ (f(u)/u^p-1)=∞, then there is alarge positive radial solution on all annuli. If f(0)≤0 and satisfies certain conditions, then the equation has no radial solution if the annuli are too wide.     

圆锥曲线中的存在性问题探究

在平面解析几何的圆锥曲线学习过程中，我们发现许多存在性问题有其内在的联系，现探究一二，以说明我们的思考，揭示其规律性。     

有理插值问题存在性的一个判别准则

１引言我们知道,多项式Ｌａｇｒａｎｇｅ插值是适定的［１,２］,但有理插值函数却未必存在［８,３］．并且到目前为止,也没有类似于多项式Ｌａｇｒａｎｇｅ插值的能够揭示插值结构的显式插值公式．不过有理插值已有许多算法,比如Ｓｔｏｅｒ算法,Ｔｈｉｅｌｅ倒差商算法,Ｓａｌｚｅｒ算法以及Ｗｕｙｔａｃｋ算法等等,见［８,４,５,６］．本文为寻求尽可能接近显式的插值公式,进而揭示有理插值问题的内在结构,得到了有理插值函数存在的一个充要条件,同时也给出了有理插值函数的一种表现形式,参见［１１］．本文约定,所有矩阵…     

障碍问题解的存在性

本文获得了一类障碍问题的两个存在性结果。     

具有指数增长的非线性p-双调和问题解的存在性和非存在性

主要考虑了具有指数增长的4阶退化P-双调和问题弱解的存在性和非存在性.当n≥2p+1和2p≥n时,这些结果是不同的.尽管对高阶问题,弱比较原理不再成立,但是仍有其他一些方法可以使用.当2p≥n时,采用的是极小极大方法,而当n≥2p+1时,采用的是上下解方法.最后给出了当n≥2p+1时正则解的渐近行为.