一个定值命题的简证与推广

贵刊2001年第12期文[1]证明了下面的命题(原文中例6): 命题1 设P1、P2、P3分别是正△ABC三边AB、BC、CA上的点,且AP1=BP2=CP3,直线l为过正△ABC外接圆上任一点P的切线,则P1、P2、P3三点到直线l的距离之和为定值. 文[1]采用综合法证明,过程繁、篇幅长,经我们研究后得到一种解析证法,不仅简洁,而且容易将命题推广.     

对《有心圆锥曲线切线的一个性质》一文的补充

文[1]给出了椭圆和双曲线切线的一个性质,笔者经过思考还发现抛物线切线的一个性质,算是对文[1]的补充和完善. 性质1若P为抛物线y2=2px（p〉0）上不同于坐标原点O的任意一点,直线PO交直线l：x=t于点M,直线PN⊥直线l,垂足为N,以点P为切点的切线交直线l于点Q,则Q为MN的中点.证明如图1,设P（x0,y0）,则y20=2px0,N（t,y0）.     

一道习题的探究与拓展

先看一道高三训练题:如图1,过圆x2+y2=4与x轴的两个交点A、B作圆的切线AC、BD,再过圆上任意一点H作圆的切线,交AC、BD于C、D两点,设AD、BC的交点为R,求动点R的轨迹E的方程.     

一道2005年全国高中数学联赛试题的根源探析

1问题的提出过抛物线y=x2上一点A(1,1)作抛物线的切线,分别交x轴于D,交y轴于B.点C在抛物线上,点E在线段AC上,满足EAEC=λ1;点F在线段BC上,满足FBCF=λ2,且λ1 λ2=1,线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时,求点P的轨迹方程.2问题的解决解抛物线在点A处的切线斜率为y′=2x|x=     

试论数学习题的科学性

这是一种屡见不鲜的现象:一个具备良好基础和数学能力的学生,为解答一个数学试题或课本上的习题大感困惑,因为这些习题或条件不足,或叙述不清,……,质言之,不符合科学性的要求。十年动乱,祖国语言不纯的现象有所发展,同样的,在数学读物和各种考试中。题目违反科学性要求的现象也有所发展。笔者工作的教学研究机构,每年都要收到许多来信,询问某些有争议的习题,或者对课本中的习题提出质疑。人们还记得,一九八○年全国高等学校招生理科数学第九题,由于措词不清,曾在全国范围内引起相当广泛的不同解释,该题为“抛物线的方程是y~2=2x,有一个半径为1的圆:圆心在x轴运动,问这个圆运动到什么位置时,圆与抛物线在交点处的切线互相垂直。”对上面加着重号的句子,按命题人的原意是“圆与抛物线在同一交点处的切线互相垂直,”由于缺少“同一”两字,以黑龙江省为例,大约有15％的考生无可责怪地理解为“在一个交点处圆(或抛物线)的切线与另一个交点处的抛物线(或圆)的切线互相垂直。”对这个试题的详评可在文[1]、[2]中读到,恕不在此赘述。     

一道高中数学联赛试题的一般性结论

2008年全国高中数学联赛第一试第15题[1]是: 　　题目如图1,P是抛物线y2=2x上的动点,点B、C在y轴上,圆(x-1)2+y2=1内切于△PBC,求△PBC面积的最小值. 　　本文首先给出一个更为一般的结论,并对试题作出推广.……     

圆、椭圆、三角形的一个相关性质的简证及推广

文[1]利用“超级画板”给出猜想:与椭圆x2a2 y2b2=1内接,且与圆x2 y2=(aba b)2外切的多边形是三角形.随后证明了猜想.美中不足的是运算量过大,现给出另一证法,以供参考.图1椭圆过椭圆上的点B作已知圆的切线BA,BC.交椭圆于点A,C.设A(acosα1,bsinα1),B(acosα2,bsinα2),C(acos     

相似二次曲线——兼谈一点商榷意见

贵刊90年第10期登载的彭厚富同志的文章“二次曲线中点弦性质”(下称[1]文),把近几年来一些中数刊物上关于这个问题的讨论作了较全面系统的总结,读后很受启发。同时,我又觉得[1]文中有几点值得商榷。我认为[1]文定理2、定理3、定理4的条件不充分;定理2的证明中提出“与y~2=2px同轴相似的抛物线必可表成y~2=2p(x—m)”,这个说法不准确。事     

解析几何一题的再探究

文[1]把如下考题:已知抛物线y2=4x上有一点A(1,2),过点A作抛物线的两条动弦AB 和AC,且AB⊥AC,问:直线BC是否过定点?若过定点,求出该定点;若不过,请说明理由.拓广为:已知抛物线     

一道中考错题的剖析

<正>南昌市2015年中考第6题:已知抛物线y=ax²+bx+c(a>0)过(-2,0)、(2,3)两点,那么抛物线的对称轴().(A)只能是x=-1(B)可能是y轴(C)在y轴右侧且在直线x=2的左侧(D)在y轴左侧且在直线x=-2的右侧文[1][2]都给出如下解答,选项(D)正确.抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过(-2,0)、(2,3)两点,那么抛物线的对称轴().(A)只能是x=-1(B)可能是y轴(C)在y轴右侧且在直线x=2的左侧(D)在y轴左侧且在直线x=-2的右侧文[1][2]都给出如下解答,选项(D)正确.抛物线y=ax²+bx+c(a>0)开口向上,     

“定因”与“算理”剖析一例

题1已知抛物线y2=4x及点P(2,2),斜率为1的直线l不过点P,且与抛物线交于点A和B,直线AP、BP分别交抛物线于另一点C和D.证明:AD与BC交于定点Q.文[1]分析了题1的"动源",并利用"动源"将上述问题演变成相关的三个问题,但未能彻底剖析"定因"与"动源"的关系,以致作者最后谈到,"由于运算量过大以及笔者自身的水平有限,未能完成:(1)能否将上述命题一般化;(2)能否将命题类比到椭圆、     

一道高考题的解法分析

2001年全国高考试卷(理)第19题:设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC//x轴,证明直线AC经过原点O. 本题以抛物线为载体,着重考查了抛物线焦点弦、直线方程,斜率等一系列基础知识,考生可以从多种不同角度入手进行分析,得到不同的证法. 证法一(如图) 分析要证直线AC经过原点O,只需证得kOA=kOC. 证明设 A(x1,y1),B(x2,y2), ∵BC//x轴,C在抛物线y2=2px的准线上,     

课本上一道切线问题的推广

人教版《解析几何》第126页第19题:从抛物线的焦点向它的任意一条切线引垂线,求证这条垂线和准线的交点,在过切点且平行于对称轴的直线上.我们将它翻译成符号语言和图形语言,如图(1).直线l是过抛物线y2=2px(p>0)上一点P的切线,过该抛物线焦点F的直线FN⊥l于点N,与抛物线的准线交于点M.求证:直线MP平行于x轴.原题证明比较简单,这里略去.经过笔者研究发现,这里“FN⊥l于点N”的条件是“虚晃一枪”,实质上,点N是“抛物线两条切线(切线l与过顶点的切线——y轴)的交点”,利用一般化和类比的方法,原题可以推广为更一般、更广泛的形式.推广1如…     

直线x_0x y_0y=r~2与圆x~2 y~2=r~2

设圆G的方程为x~2 y~2=γ~2,则经过圆上一点M(x_0,y_0)的切线的方程是x_0x y_0y=γ~2,从这条切线的唯一性出发,可得上述命题的三个逆命题:(1)若点M(x_0,y_0)在圆G上,则直线l与圆G相切;(2)若直线l与圆G相切,则点M是切点;(3)若圆心在原点的圆与直线l切于M,则圆为圆G.例1 (课本《解析几何P69第12题)判断直线3x 4y=50与圆x~2 y~2=100     

抛物线的外切三角形和内接三角形的另外两个性质

文[1]给出了抛物线的外切三角形和内接三角形的两个性质:性质1抛物线y2=2px(p>0)上不同的三点A,B,C处的切线两两相交于P1,P2,P3,设△ABC和△P1P2P3的重心分别为G1,G2,则G1,G2的纵坐标相同.性质2抛物线y2=2px(p>0)上不同的三点A,B,C处的切线两两相交于P1,P2,P3,设抛物线的焦点为F,则     

圆锥曲线的一类性质是如何发现的

<正>最近阅读贵刊,我们发现了圆锥曲线的一类性质.文[1]的主要结论是:直线y=mx+n与双曲线y=k/x(k≠0)交于A,B两点,与坐标轴交于C,D两点,则AC=BD.文[2]中第5题是:一条直线与双曲线交于A,B两点,与此双曲线的渐近线交于C,D两点,证明线段AC与BD的长度相等.一、归纳根据以上两个结论,我们自然归纳得到     

圆上的两个结论的再推广

文 [1 ]将圆上的两上结论 :结论 1　P是⊙O上任意一点 ,AB是直径 ,经过A和B各作圆的切线 ,分别与经过点P的切线相交于C和D ,AD和BC相交于Q ,PQ交AB于K ,则Q是PK的中点 .结论 2　过同心圆中的小圆上任意一点P作小圆的切线与大圆相交于A和B ,则P图 1　椭圆是弦AB的中点 .我们将上述结论作如下推广 .结论 3　如图 1 ,过椭圆 x2a2 + y2b2 =1的长 (短 )轴AB的端点A ,B分别引切线AM ,BN ,P是椭圆上异于A ,B的任意一点 ,过点P引椭圆的切线CD分别交AM ,BN于C和D ,AD和BC相交于Q ,PQ交AB于K ,则Q是PK的中点 .结论 4　过椭圆…     

圆锥曲线切线的一种几何作法

<正>在平面几何学习的过程中,往往可以将圆中的一些典型问题推广到椭圆,进而再类比到双曲线和抛物线,充分体现了这些圆锥曲线的内在联系和统一性质.题目(2015年全国高考新课标卷第22题(1))如图1,AB为⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E.若D为AC的中点,证明:DE是⊙O的切线.由圆的几何性质不难证明直线DE与圆O相切于点E,再回首,发现此题蕴含着圆上任一点处的切线的一种作法,     

2013年高考江西卷理科第20题的进一步探究与应用

文[1]《探究2013年高考江西卷理科第20题》从2013年高考江西卷理科第20题出发,一般化了椭圆的一个性质,并在双曲线、抛物线中进行类比推理,推广了这一性质,得到了如下三个结论：结论1已知点P（c,b2/a）,过椭圆C：x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）的右焦点F任作一条不垂直于x轴的直线l,交椭圆C于A,B两点,     

回归函数本质解函数综合题

<正>2019年的北京市丰台区初三期末考试中有一道函数综合题,着实难住了一些同学,下面就是这道题:在平面直角坐标系xO y中,抛物线y=ax²+bx+3a过点A (-1,0).(1)求抛物线的对称轴;(2)直线y=x+4与y轴交于点B,与该抛物线对称轴交于点C,如果该抛物线与线段BC有交点,结合函数的图象,求a的取值范围.此题的第(1)问比较容易,不再赘述.第(2)问的得分率明显降低.在考试后的访谈中,