解三角形的“探究与发现”

课程改革倡导学生的自主学习,并在数学新课程中增设了“探究与发现”栏目,试图为强化学生的自主探究活动提供教材的支撑.但在实际教学中,对“探究与发现”栏目的处理却是千差万别,弃之不问者有之;安排学生自学,就教材释疑者有之;当然也有挖掘教材,为学生创设合理的问题情境,引导学生去进行有效地探究与发现.本文所介绍的,正是针对高中数学必修5(人教A版)第8-9页“探究与发现”栏目所做的教学处理,敬请同行指正.     

四“心”归一 百变寻踪

三角形的"四心"(重心、内心、外心、垂心)具有很多优美的性质,是命制试题的重要载体,与之有关的试题往往难度较大.笔者对三角形的"四心"的向量性质进行了统一共性研究、描述和论证,发现它们有着很和谐的统一关联,应用起来非常方便.本文先推导一个定理(俗称奔驰定理,由于图形很像奔驰图标而得名),作为本文的灵魂,其余"四心"有关性质是该定理的推论,然后再通过几个例题给出它们的应用.     

抓住“变”与“不变”是解折叠图问题的关键

将平而图形沿某直线折起构成一个空间图形．对于这个主体图形的位置关系和数量关系进行论证或计算,这就是折叠问题．将平而图形折叠成空间图形后,图形中将保留一部分原图形的性质不变,又改变了一些原有的性质,同时又产生了一些新的性质．掌握这些不变、变及新产生的性质是解决折叠图问题的关键．原平面图形的性质、长度、角度等,若折叠到空间之后,还是在某一个平面内,那么这些性质、长度、角度均相应地不改变,均可利用原平面图形去求解有关的元素。     

对一道解三角形试题的变式探究

解三角形问题是高考必考内容,考查的知识点比较固定,复习时应该注重对试题的变式探究和知识的融会贯通,抓住问题的本质,达到做对一道试题可解决一类问题的目的,本文以一道高考试题为例来进行说明.     

“多解”、“多变”能够“多得”

在习题教学，特别是复习课的习题教学中，应该充分提高问题的利用率和课堂教学的效率．而要提高利用率和效率，挖掘题目的多种解法，对问题进行一定的变形、探索，可以收到意想不到的效果．     

探究三角形主要线段与三角形全等

<正>同学们知道判定两个三角形全等需要三个条件,并有SSS,SAS,ASA,AAS,HL等判定方法,这些都是从三角形边角的角度判定的.同学们还知道,全等三角形对应中线、对应角平分线、对应高线分别相等.那么,反过来,从三角形边角和主要线段(中线、角平分线、高线)中取三个条件,能判定两个三角形全等吗?我们按照下面的思路探究,先固定三角形中边角的两个条件,再添加一个关于三角形主要线段的条件.     

椭圆焦点三角形“五心”轨迹探究

<正>设F₁,F₂为椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上(异于左右顶点),通常把△PF₁F₂称为椭圆的焦点三角形.三角形的"五心"(内心、外心、重心、垂心、旁心)具有相似的来源背景,丰富的几何性质,统一的向量表示.当它们和圆锥曲线的焦点三角形结合时,则会产生优美的轨迹问题.题1已知F₁,F₂为椭圆c:x²/4+y²/3=1的左、     

“变与不变”的思想方法在小学数学中的渗透

数学思想方法是基于具体数学内容,又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法.数学思想方法从数学知识产生发展的过程抽象而成,又更具效率地指导数学的学习与研究,并促成个体思维品质的提升,对人生的成长与发展都具有重要意义.数学思想方法应及早渗透于小学生的数学学习过程中,在具体数学知识点的学习中,凝练重要的数学思想方法,化隐为显,让学生去感悟,以提升学生的数学素养.本文以“变与不变”这一思想方法为例,在比例法、奇偶分析、列方程解题等知识方法学习中,去感悟与运用这一数学思想方法,提升解题能力与思维品质.     

相似三角形“本原性”问题的变式设计

数学课堂教学中,“教什么”在一定条件下远比“怎么教”更重要．课堂教学内容的呈现、问题的设计,往往成为教学的关键,而复习课的有效性更会体现在复习内容的选择或复习问题的设计上．“本原性”问题设计能促进学生更为深刻、灵活的思维活动．     

三角形费马点几何最值问题的变式探究

<正>(2020年重庆a卷26题)如图(1),在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC边上一动点,连接AD,把AD绕点A逆时针旋转90°,得到AE,连接CE,DE.点F是DE的中点,连接CF.(1)求证:CF=AD;(2)如图(2)所示,在点D运动的过程中,当BD=■CD时,分别延长CF,BA,相交于点G,猜想AG与BC存在的数量关系,并证明你猜想的结论;     

三角形与其“伴随三角形”面积之比的最小值

<正>大家知道,任意三角形都存在内切圆．如图1,设△ABC的内切圆与边AB,BC,CA的切点分别为D,E,F,则三角形DEF称为三角形ABC的伴随三角形．显然,任意三角形都存在伴随三角形．一个三角形的内切圆一定是它的伴随三角形的外接圆．     

探究三角形中的等差、等比数列问题

最近,我上了一堂高三数学探究课“三角形中的等差、等比数列问题的讨论”,目的是帮助学生进一步深化学习“三角形中边角关系”,寻求处理三角形中边与角的不等量关系的方法,感受构造函数或者构造不等式得到角的取值范围的严谨性．下面是这节课设计的一组问题链．     

一道2020年高考三角形面积最值试题的探究与变式

1.试题(2020年高考江苏卷,14)在平面直角坐标系xOy中,已知P(√3/2,0),A,B是圆C:x²+(y-1/2)²=36上的两个动点,满足|PA|=|PB|,则△PAB面积的最大值是_.试题考查了圆的标准方程、圆中的最值问题,考查了数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养,检验了学生分析问题与解决问题的能力.     

抛物线中“切点三角形”性质的探究及应用

过抛物线外一点作抛物线的两条切线,这两条切线与过两切点的直线围成的三角形有哪些性质,本文中对这一问题作了深入的研究,并给出了简洁的结论.     

例谈图形运动中的变与不变

<正>图形在运动的过程中,位置、形状、大小等会发生变化.那么如何抓住变化中的不变量,便成为解决问题的关键.下面就选取几个问题,从不同角度,寻找变化中的不变量,从而找到分析问题、解决问题的突破口.1变化中的全等图形例1如图1,直线y=x+4分别交x轴、y轴于A、B两点,以A为圆心,2为半径画圆,点C为⊙A上的一个动点,连接OC,将线段OC绕点O顺时针旋转90°,得到线段OD,连接AD,求AD长的最值并直接写出对应的点D的坐标.     

HPM视角下的“图形旋转”问题探究

目前,中学数学教材中出现的一些数学史知识,多数教师认为数学史在课堂教学中能激发学生学习兴趣,但认为其与测试评估无关或因自己的无知而匆匆带过.其实不然,如初中教材中设置的数学史知识,不仅在中考试题偶有体现,而且在高考试题中也蕴含了数学史料的深意.这表