1984年湖北省省市初中数学联赛试题答案

第一试(试题见本刊第5期) 一选择题 1.(B); 2.(C); 3.(D); 4.(B); 5.(A); 6.(C); 7.(B); 8.(D); 9.(A); 二解:y=|x-1|+|x-3|+(4x~2+4x+1)~(1/2)=|x-1|+|x-3|+|2x+1|=-4x+3 (x<-1/2)5 (-1/2≤x≤1)2x+3 (1≤x<3)4x-3 (x≥3) ∴当-1/2≤x≤1时y=|x-1|+|x-3|+(4x~2+4x+1)~(1/2)恒等于常数5。三、证明∵ABCD为圆外切四边形∴AB+CD=BC+DA(见下图) 两边平方:AB~2+2AB·CD+CD~2=BC~2+2BC·DA+DA~2 (1) 又∵AC⊥BD ∴AB~2-AB~2+BE~2,BC~2=BE~2+CE~2,     

数学问题解答

1988年10月号问题解答(解答由问题提供人给出) 556过ABCD的顶点A、B、D作一圆交直线AC于C′点。试证:AB~2+AD~2=AC·AC′。     

关于四边形的一个不等式

受文[1]的启发,笔者得到一个关于四边形的优美不等式,现整理出来供读者参考.定理在四边形ABCD中,AC,BD为对角线,则有AC2+ BD2≤1/2[( AB+ CD)2+(AD+ BC)2]①当且仅当四边形ABCD是平行四边形时不等式①取到等号.为证明定理,首先引用文[1]的一个定理,即双十定理凸四边形两条对角线的平方和等于两组对边中位线平方和的2倍.     

立体几何总复习

第一章直线与面—、例题例1 如图1—1(a),点P、Q,R、S分别是空间四边形ABCD四边的中点: (1) 若空间四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为a,b,AC和BD所成的角为θ,求四边形PQ-RS的面积。     

一道平几习题的演变

现行初中《几何》第二册 P_(16)第8题:内接于圆的四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 垂直相交于点 K,过点 K 的直线与边 AD、BC 分别相交于点H 和 M,求证:(1)如果 KH⊥AD,那么 CM=MB;(2)如果 CM-MB,那么 KH⊥AD,(证略)这是一道有关圆内接四边形的对角线互相垂直的     

一道立体几何题的向量解法

高中数学中,空间向量作为解决立体几何的一种工具,主要应用于通过建立空间直角坐标系,利用向量的夹角来求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的大小.对某些特殊的几何体如平行六面体,在不建立空间直角坐标系的情况下也可以用向量进行求解证明.引列:平行六面体AC1中AB=2,AD=3,AA1=4,且∠A1AB=∠A1AD=60°.求对角线AC1的长.解:如图,平行六面体AC1中,∵AC1=AB+AD+AA1∴AC12=(AB+AD+AA1)2=AB2+AD2+AA12+2AB·AD+2AB·AA1+2AD·AA1=22+32+42+2×2×3×cos60°+2×2×2×4×cos60°+2×3×4×cos60°=55∴对角线…     

关于四边形的两个定理在平面及空间中的拓广

文[1]介绍了关于四边形的两个定理:中线定理:如图凸四边形ABCD中,E,F,G,H是各边中点,EF,GH是两条中线,则2(EF2-GH2)＝AD2+BC2-AB2-CD2.对角线定理:如图凸四边形ABCD中,对角线AC,BD的夹角为a,a的对应边为AD,BC,则2AC·BDcos a＝(AB2+CD2-AD2-BC2)/2.     

初三几何第一学期期中自测题

A组一、填空题(每小题3分,共24分)1.sin54°,cos35°,cos40°,tan50°从小到大的排列顺序是.2.已知∠A是Rt△ABC的一个内角,且tanA>1,那么∠A的取值范围是.3.如图,矩形ABCD中(AD>AB),AB=a,∠BDA=Q,作AE交BD于E,使AE=AB.试用a和Q表示AD=,BE=.4.已知tanA-cotA=2,那么tan2A+cot2A的值是.5.如图,在△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D,CD=3,BD则sin∠ACD=,tanA=.6.在△ABC中,∠C=90°,AC=6,∠A的平分线交BC于点D,AD=43,则BC=.7.在直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,上底CD=3,下底AB=7,BC=42,则底角B=,梯形ABCD的面积=.8.甲…     

谈圆内接四边形的几个优美三角恒等式

文[1]介绍了锐角△ABC中的如下两个不等式cos(B-C)cos A+cos(coCs-B A)+cos(cAos-C B)≥6(1)cos Acos(B-C)+cos(coCs-B A)+cos(cAos-C B)≥23(2)由此,笔者发现了下列有趣结论.定理1在圆内接四边形ABCD中,若A、B、C、D都不为直角,则有cos(B-C)cos A+cos(coCs-B D)+cos(cDos-C A)+cos(coAs-D B)=0(3)证明由于四边形ABCD为圆内接四边形,∴A+C=B+D=180°,∴cosc(oBs-A C)+cos(cCos-B D)+cos(cDos-C A)+cos(cAos-D B)=cos[B-c o(s18A0°-A)]+cos(cBos-B A)+cosc[o1s8(01°8-0°-B-A)A]+cocso(s(1A80-°-B B))=-coc…     

一道外接球问题的通解

<正>近日,有一朋友与我交流一道外接球问题,做后颇有感悟,特记录下此题与诸位分享.原题三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的表面上,且平面ABC⊥平面BCD,AB=CD=5,AC=8,BD=3,且∠BAC+∠BDC=π,则球O的表面积为_.解析法一(借助双圆模型)令∠BAC=θ,∠BDC=α,由余弦定理知,BC²=AB2=AB²+AC2+AC²-2AB·AC·cosθ=89-80cosθ;BC2-2AB·AC·cosθ=89-80cosθ;BC²=BC2=BC²+BD2+BD²-2BC·BD·cosα=34-30cosα;     

初二几何第一学期期中自测题

A组 一、填空题(每小题4分,共40分) (1)在□ABCD中,AC=6cm,BD=10cm,则AB的长度取值范围是_. (2)矩形的两条对角线的交角为60°,一条对角线和较短边的和为15,则对角线长为_,较长边的长为_.(3)已知菱形ABCD周长为20cm,BD=5cm,则菱形各角的度数为_.     

对角线互相垂直的四边形的特性

<正>本文首先给出对角线互相垂直的凸四边形的判定及性质,然后举例说明其应用.判定:对边平方和相等的四边形对角线互相垂直.已知:如图1,在四边形ABCD中,有AB2+CD2=AD2+BC2.求证:AC⊥BD.证明连接AC、     

平面(空间)四边形对角线成0角的充要条件及其应用

文[1]介绍了平面(空间)四边形两对角线垂直的充要条件,给人以启迪。这里介绍平面(空间)四边形对角线成θ角的充要条件。 定理 ABCD为平面(空间)四边形,AB、     

椭圆内接四边形面积最大值的一种简捷求法

如图,已知椭圆的方程为x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),A、B、C、D是椭圆上四点,求四边形ABCD面积的最大值.我们的习惯思维是连结对角线AC或BD,将四边形ABCD的面积转化为两个三角形面积之和,从而建立四边形ABCD面积的目标函数,再求面积的最大值.但是,因为涉及     

利用三角形三边关系定理证明线段不等

三角形任意两边的和大于第三边是三角形三边关系定理,也是三角形的一条重要性质,在证明线段不等中起着关键作用.例1如图1,已知AC,BD分别是四边形ABCD的对角线,求证:AB+BC+CD+DA>AC+BD.分析:要证结论,可以根据三角形三边关系定理,证出几个适当的线段不等的式子,然后将它们相加,整理得出所要的不等式.证明:由三角形三边关系定理,得AB+BC>AC,①AD+DC>AC,②AB+AD>BD,③BC+CD>BD,④①+②+③+④得2(AB+BC+CD+DA)>2(AC+BD).即AB+BC+CD+DA>AC+BD.例2已知:如图2,D,E是△ABC内的两点,求证:AB+AC>BD+DE+EC.分析:因为…     

构造双直角三角形解题

在解直角三角形中,有一种常见的双直角三角形,求解这类问题往往要通过解二次直角三角形,我们先来看一个公式: 已知Rt△ABC,∠ACB=90°,∠ABC=α,∠ADC=β,BD=a,求AC. 解 在Rt△ABC中,∵cotα=BC/AC, ∴BC=AC·cotα.在Rt△ADC中,∵cotβ=DC/AC,∴DC=AC·cotβ.而BC-DC=AC·cotα-AC·cotβ=     

四边形的面积公式

本文将给出四边形的八个优美的面积公式.结论1记四边形ABCD的面积为S,AC=m,BD=n,AC,BD的夹角为α.则S=1/2mnsinα①O,线段AC是四边形内部的一条对角线,取其方向上的一个单位法向量e,则点B,D到AC的距离分别为|OB.e|,|OD.e|.     

关于椭圆性质的另一种推导

如图1所示,αl β为平面角等于θ的二面角(规定0°<θ<90°) .已知α平面内有一半径为R的圆O ,则圆O在β平面内的正射影为椭圆.研究过程如下:图1　研究用图在α内,以O为原点建立直角坐标系xoy ,其中ox轴∥l,则其在β内的正射影记为直角坐标系x′o′y′.设α上圆O :x2 + y2=R2 上一点为M (x ,y) ,它对应(这里的对应指由α到β的正射影,下同)于β上一点M′(x′,y′) ,则x′=x ,y′=y·cosθ,即x =x′,y =y′/cosθ,将其代入圆O的方程x2 + y2 =R2 中,得x′2R2 + y′2(Rcosθ) 2 =1 ( 1 )记a =R ,b =R·cosθ,则由( 1 )有x′2a2 + y′2b2 …     

托勒密定理及其应用

新编初中数学《几何》第二册复习题五第20题。求证:在圆内接四边形ABCD中,AB·CD+BC·AD=AC·BD. 这是著名的托勒密(Ptolemy,公元二世纪古希腊数学家、星学家兼地里学家)定理。本文就定理的证明和在解题中的应用,举数例供参考。     

数学问题解答

1991年8月号问题解答(解答由问题提供人给出) 726.已知四边形ABCD的对角线AC⊥BD,H为垂足;∠BAD与∠BCD的平分角线都通