康托尔实数的局限性

康托尔为我们建立了集合论，并且证明了实数的不可数性，但是其中留下了很多疑点． 1．—个实数能在每—个集合论模型中出现的充分必要条件是它是可以被集合论来定义的．那些在集合论模型中不出现的实数，我们可以把他们叫做看不见的实数． 2．在实数的十进位无穷小数表示法中有些是我们能确切地知道它的第几位是什么，但是对另外的一些实数我们对它们就只能有模糊的认识，也就是说它的第几位是什么我们不可能全部知道．我们可以把他们叫做写不出的实数． 3．由于Cantor关于实数是不可数的证明不是构造性的证明，而是用所谓的归谬证法．它们中有很多是看不见写不出的实数．因此说它们是虚拟的实数． 4．虚拟实数就像银行中的虚拟货币，你可用它来买东西，它可从—个户头转拨到另—个户头，但是钱的实体是不存在的。这个现象也让我们对某些数学工具的合法性挺出质疑．我们用对角线法来证明实数的基数比自然数的基数大。但是我们并没有真正有效的地构造出那么多的实数．因此我们没有办法来确切地定义它们．也可以说它们中的绝大多数是不可以定义的．在一般的情况下虚拟实数是不可以个别地使用的．     

复数在运算中容易与实数混淆的几个问题

复数在运算中容易与实数混淆的几个问题张富群（陕西省丹凤中学７２６２００）实数集是复数集的子集，因此，实数有许多性质是复数所不具备的．学生在学完实数后进入复数的学习时，往往容易在这些方面出现错误．下面举例谈谈复数在运算中容易与实数混淆的几个问题．例１已...     

实数绝对值的一个重要性质及其应用

实数绝对值的一个重要性质及其应用熊光汉（湖北恩施市教研室４４５０００）实数的绝对值是一个极为重要的数学概念，有关实数绝对值的运算富有强劲的魅力和鲜明的特色，国内外有关绝对值的竞赛题更是对人的智巧的挑战．本文首先介绍实数绝对值的一个重要性质，然后拟从一...     

利用复数形式解实数问题的若干例

利用复数形式解实数问题的若干例夏大峰（安徽阜阳师范学院数学系２３６０００）众所周知，欧拉公式把复数的解析形式，指数形式和三角形式紧密地结合起来，使它们可以互相转化，在解复数问题时，往往可以转化为实数问题来处理，而本文介绍怎样把实数问题转化为复数形式来...     

复数、实数、纯虚数

复数、实数、纯虚数０５６３００河北邯郸武安市一中阎书元在解决有关复数的问题时，通常的方法是实数化．这种方法体现了数学的一种基本方法—化归，当然是可以肯定的．然而，如遇到一些特殊情况时，就显得它有些笨拙，如果不转化成实数，运用复数自身所具有的一些性质，...     

第三次数学危机的前因后果

17世纪牛顿、莱布尼兹创立了微积分以后，在近一二百年的时间里，微积分一直缺乏一个严格的逻辑基础，它的一些基本概念的的表述，还有某些混乱和自相矛盾之处．从19世纪开始，柯西、维尔斯特拉斯等人进行了微积分理论的严格化工作，他们首先建立了极限理论，并把极限理论的基础归结为实数理论．后来又有代德金、康托尔、德涅等人的共同努力，完善了实数理论，那么实数理论的基础又该是什么呢？于是，康托尔提出了集合理论，他试图用集合理论来作为实数理论，乃至整个微积分理论体系的基础．     

复数复习教学的“一二三”

根据考试大纲，教学大纲对复数的要求，以及历年高考复数试题的特点和数学总复习教学的自身规律等，本文对复数的复习教学提出几点设想，供参考．1强化一个区别与联系复数集是在实数集的基础上扩充的．因而复数的性质在实数中自然成立，而实数的性质未必能延拓到复数集上．因此，务必使学生牢固掌握实数集与复数集的区别与联系，弄清给定元素的具体归属，以利准确运用性质．这类问题可在如下几个方面进行强化．（1）复数集与实数集的概念与性质例1判断下列命题是否正确：（z1，z2∈C）6°一个虚数的n次方根（n6N）中可能有实根．通过此例，…     

世界各地数学奥林匹克试题选登

1 求证：对任意实数a3，a4，…，a85，方程a85x^85 a84x^84 … a3x^3 3x^2 2x 1=0的根不全为实数．     

基本不等式

基本不等式孙国富（江苏省海安县曲塘中学）基本概念常用的某本不等式有：　ａ、ｂ为任何实数，等号当且仅当ａ＝ｂ时成ａ、ｂ为任何正实数，等号当且仅当ａ＝ｂ时成立．ａ、ｂ、ｃ为正实数，等号当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时成立．ｎ为大于１的自然数，ａ１，ａ２，…，ａｎ都是...     

2007年江苏高考数学压轴题的巧思妙解

题目 已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx^2＋cx＋d，g（x）=ax^3＋bx^2＋cx＋d．方程f（x）=0有实数根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根；反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根     

混和幂的丢番图不等式（I）

本文证明了下面的定理设λ＿１，…，λ＿８为非零实数，其中至少有两个之比为无理数。ｋ＝４，５，…，１１。那么，对任意给定的实数ｋ及０＜σ＜σ＿ｋ，不等式有无穷多组整数解，这里（４ｋ１１）。     

三维椭球的光线障碍问题

对任给的正实数ｕ，令Ｃ＿ｕ＝｛（ｘ，ｙ，ｚ）：ｕ￣２ｘ￣２＋ｙ￣２＋ｚ￣２≤１｝．α为一正实数，使得对于任给的射线ｘ＿ｉ＝α＿ｉｔ（α＿ｉ＞０，ｉ＝１，２，３，ｔ≥０）都和相交。关于Ｃ＿ｕ的光线障碍问题就是要确定Ｋ（Ｃ＿ｕ）＝ｉｎｆα．本文对所有的实数ｕ，确定了Ｋ（Ｃ＿ｕ）的值。     

超实数系统及其一致连续问题

基于模型论的观点与方法介绍超实数系统的构造及其公理体系,以说明非标准分析.由于超实数系统是普通实数系统的一个真扩张,所以,实数系统中的一致连续问题可推广至超实数系统.     

图灵机计算实数函数的稳定性

定义在全体实数上的可计算函数是一个很重要的概念．在这以前定义可计算的实数函数有两个途径．第一个途径是首先要定义可计算实数的指标．想要确定实数函数y=f（x）是不是可以计算就要看是否存在一个自然数的（部分）递归函数将可计算实数x的指标对应到可计算实数y的指标．这样一来对实数函数的研究依赖于对自然数函数的研究．第二个定义可计算的实数函数的途径是以逼近为基础的．一个实数函数是可以计算的如果它既是序列可计算的同时也是一致连续的．用这个途径来定义可计算实数函数使用的条件过强以至于很多有用的实数函数成为不可计算的实数函数．例如“〈”和“=”的命题函数就是不可以计算的因为它们是不连续的命题函数．本文讨论了图灵机的稳定性并且给出了一个基于稳定图灵机的可计算实数函数的定义．我们的定义不需要用到自然数的（部分）递归函数．根据我们的定义很多常用实数函数特别是一些不连续的常用实数函数都是可以计算的．用我们的定义来讨论可计算实数函数的性质比原来的定义要方便得多．     

世界各地数学奥林匹克试题摘编

１．ｐ，ｑ是正整数，ｆ是正实数集合到正实数集的一个映射，使得对于任意的正实数ｘ，ｙ，有ｆ（ｘｆ（ｙ））＝ｘｐｙｑ①求证：ｑ＝ｐ２．证取ｘ＝１ｙ，代入①得ｆ（ｙ）＝ｙｑｐ（ｆ（１））１ｐ②再取ｙ＝１，代入②得ｆ（１）＝１，由②得ｆ（ｙ）＝ｙｑｐ③∴ｆ（...     

高中数学向量知识的内容定位与教学建议

1 数学课程改革当中的向量背景和前景分析 1．1 向量的双重身份 向量是近代数学最重要和最基本的概念之一．向量是既有大小又有方向的量，要用两个实数、三个实数甚至更多的实数才能确切地表达．所以它既具有图形的直观性，又有代数推理的严密性．从而向量是一个具有几何和代数双重身份的概念．     

用连续归纳法证明实数系中的定理

引入实数的连续归纳法,并利用实数连续归纳法证明了实数系中的C auchy收敛准则;给出并证明了实数连续归纳法的另一种形式,利用新形式的连续归纳法证明单调有界定理.     

一类二元二次函数取值范围之新解法

很多作者研究过“实数x,y满足Ax^2＋Bxy＋Cy^2=D（D≠0），求S=ux^2＋vxy＋wy^2的取值范围”这类问题的求解方法，本文应用“实数的平方是非负数”这一性质，给出这类问题一种非常简捷的统一解法，供参考．     

三点共线结论的应用

结论向量OA，OB，OC的终点A，B，C共线的充要条件是存在实数λ，     

混和幂的丢番图不等式(Ⅱ)

本文证明了下面的 定理设λ１，…，λ７为非零实数，其中至少有两个之比为无理数，则对任意实数κ及０＜σ＜１／３６不等式有无穷乡组整数解（ｘ１，…，ｘ７）．这是陆鸣皋教授的一个结果对丢番图不等式的类似．