Points entiers et modèles des courbes algébriques

LetC: F(X, Y)=0 be an algebraic curve of genus 1, over a number fieldK. In this work we construct a modelG(Z,W)=0 of the curveC, over a fixed number fieldL with , having the following property: ifx, y are algebraic integers ofK withF(x, y)=0, thenz=Z(x, y), w=W(x, y) are algebraic integers ofL withG(z, w)=0. Also, the total degree and the height of the polynomialG are bounded. As an application of this result, we give a reduction of the problem to determine effectively the integer points on a curve of genus 2, over a number field, to the problem to determine effectively the integer solutions of an equation of degree 4, over a number field. Also we consider a family of curvesF(X, Y)=0, defined over a number fieldK, which are cyclic coverings ofP ¹ and we calculate, using our previous results, an explicit upper bound for the height of the integer points ofF(X, Y)=0 overK.

     

Sur les réseaux de courbes et de surfaces algébriques

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Sur les surfaces algébriques dont les courbes canoniques sont elliptiques doubles

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Sur le polygone de Newton et les courbes algébriques planes

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Sur les intégrales algébriques de différentielles algébriques

Sans résumé Les résultats obtenus parM. Humbert ont déjà été trouvés parM. Weierstrass bien des années auparavant et communiqués par lui dans son, cours sur les fonctions abéliennes. Mais la méthode suivie par les deux savants est tout à fait différente. ChezM. Weierstrass les conditions pour qu'une intégrale de la forme ∫R(x,y)dx soit une fonction algébrique dex découlent, comme simple corollaire, du théorème sur la réduction de chaque intégrale de la forme considérée à une somme d'intégrales normales de la première, de la seconde et de la troisième espèce. Pour effectuer cette réduction il faut et il suffit de conna?tre: 1^o les coefficients des puissances négatives det aux environs de tous les points analytiques pour lesquels le développement deR(x _t,y_t)dx_t/dt contient en général des puissances négatives det; 2^o la valeur deR(x, y) pourp points analytiques réguliers (a ₁, b₁), …, (t_p, b_p) choisis arbitrairement. Le, théorème deM. Weierstrass est cité, quoique sans démonstration, dans la thèse inaugurale deM. Hettner (Berlin, 1877).     

Recherches générales sur les courbes et les surfaces réglées algébriques.

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Formes linéaires de logarithmes de points algébriques sur les groupes algébriques

Dans ce papier, nous donnons des minorations de combinaisons linéaires à coefficients algébriques de logarithmes de points algébriques sur les groupes algébriques commutatifs: soitG un groupe algébrique commutatif connexe défini sur la clôture algébriqueQ de dans , et soitvT _G () un point de l'espace tangent dont l'image exp _G (v) par l'exponentielle deG appartient àG(Q). On cherche à minorer la distance du pointv aux hyperplansW deT _G (), rationnels surQ, qui ne passent pas parv. Cette minoration dépend, entre autres, d'un majorantB de la hauteur usuelle des coefficients d'une forme linéaire définissantW. LorsqueG est un groupe linéaire, il s'agit de minorer une combinaison linéaire de logarithmes de nombres algébriques, et la méthode de A. Baker permet d'obtenir une minoration

Sur les surfaces algébriques possédant un faisceau elliptique de courbes de genre deux

Sans résuméAddition à la Note Math. Ann. 72, p. 426.     

Sur la réduction modulo p des courbes algébriques lisses

Soient K un corps de nombres et F(X, Y, Z) un polynôme homogène, â coefficients entiers algébriques de K, absolument irréductible, tel que la courbe F(X, Y, Z) = 0 soit lisse. Dans cette note, en utilisant un résultat d'élimination, nous calculons un nombre positif WOmega tel que si ?wp est un idéal premier de l'anneau des entiers de K de norme geqq Wgeqq Omega , la réduction de la courbe F(X, Y, Z) = 0 modulo ?wp est une courbe lisse. Nous en déduisons que la réduction de F(X, Y, Z) modulo ?wp est un polynôme absolument irréductible.     

Un théorème de point fixe pour les endomorphismes de l’espace projectif avec des applications aux feuilletages algébriques

Résumé. On construit des relations algébriques qui lient les multiplicateurs des points fixes des endomorphismes de lespace projectif sur un corps algébriquement clos. Ces relations généralisent celles qui sont obtenues via le Théorème holomorphe de point fixe de Lefchetz dans le cas complexe. En exploitant lisomorphie de certains espaces de représentation on obtient, comme corollaire de ce résultat, un théorème ressemblant à celui de Baum-Bott pour les feuilletages algébriques et les champs de vecteurs homogènes.     

Problèmes de Skolem sur les champs algébriques

We extend Rumely's local-global principle (as refined by Cantor, Roquette, and the author, i.e. with local splitting conditions) to the case of algebraic stacks, in Artin's sense, over rings of (S-)integers of global fields. The nongeometrically connected case is also taken into account, as well as (in some instances) the case where local conditions are imposed at all places.     

Déformations formelles des revêtements sauvagement ramifiés de courbes algébriques

In this paper we study formal moduli for wildly ramified Galois covering. We prove a local-global principle. We then focus on the infinitesimal deformations of the Z/p Z-covers. We explicitly compute a deformation of an automorphism of order p which implies a universal obstruction for p>2. By deforming Artin-Schreier equations we obtain a lower bound on the dimension of the local versal deformation ring. At last, by comparing the global versal deformation ring to the complete local ring in a point of a moduli space, we determine the dimensions of the global and local versal deformation rings.

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Déformations formelles des revêtements sauvagement ramifiés de courbes algébriques

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Oblatum 22-II-1999 & 15-XII-1999?Published online: 29 March 2000