有限数列的拆项相消求和法

关于有限数列的求和问题,在高中数学课本内只介绍了两种基本数列——等差数列和等比数列的求和公式.然而,我们经常碰到一些数列,这些数列既不是等差数列,也不是等比数列,求它们的前n项之和是困难的.利用拆项相消法可求某些数列的前n项之和.     

通项放缩数列求和数列不等式

数列不等式是近几年高考试题中的热点,文[1]、[2]在解题方法上作了分析讲解,笔者深受启发.以数列和形式出现的不等式证明不仅考查灵活运用求和方法的能力,也考查了证明中放缩的技巧.利用递推公式求通项,对通项进行分析来求数列和,这是学生已掌握的方法.对通项进行合理放缩,转化为可求和的形式来证明数列不等式是笔者本文试图探求的问题.1放缩通项,利用等差(等比)数列公式求和例1(2005年武汉市高三年级二月调考卷)已知数列{an}满足an 1=2a2n 3an aan 1(n∈N ),a1=1.(1)在a=1时,求通项公式an;(2)a在什么范围内an 1≥an恒成立;(3)在-3≤a<1时,…     

数列中的奇偶项求通项与求和

<正>数列分奇偶项求通项和求和问题是高考常考的问题,例如2012年全国Ⅰ卷理科第16题,2014年全国Ⅰ卷理科第17题和2021年全国Ⅰ卷第17题都对此问题进行考查,这类问题由于涉及到分奇偶项讨论,解法多样,过程比较繁琐,同学们对此类问题普遍感到比较棘手,本文针对此类问题给出一般的求解思路.     

待定系数法在数列拆项求和中的应用

一、我们来考虑数列 1/2,4/2~2,7/2~3,…,3n-2/2~n,…用拆项法可以求得这个数列前n项的和: 这个数列的拆项是不容易看出来的,读者一定会问,这个数列的项是如何拆开的呢?本文就来研究这个问题。我们所用的方法是待定系数     

用“拆项法”求数列的通项公式

求数列通项公式的常用方法,很多数学刊物都作过介绍,本文就一类特殊数列,介绍一种求通项公式的方法——拆项法。先引入“子数列”的概念: 设数列{a_n},若有a＇_i+b＇_i=a_i(i=1,2,…),则称数列{a＇_n}和{b＇_n}为数列{a_n}的子数列,且有关系a_n=a＇_n+b＇_n。①一般地,若有a＇_i+b＇_i+…+S＇_i=a_i(i=1,2,…),则称数列{a＇_n},{b＇_n},…,{S＇_n}为数列{a_n}的子数列,且有关系 a_n=a＇_n+b＇_n++…+S＇_n ②因此,求一个数列的通项公式,可将这个数列“拆”成若干个子数列,先求出它的子数列的通项公式,然后由关系①或②而得到这个数列的通项公式。现举数例说明。     

“不动点法”与数列通项问题

由递推公式推导数列通项的问题千姿百态,其方法也不拘一格,在做题时经常会碰到一类递推数列,它满足的是分式递推关系．对于这种题型,大家一般想到的方法是“构造法”,那么除了这种方法还有没有别的方法呢？     

浅谈拆项在数列求和中的一则应用——由一个数列求和的小练习想到的

拆项,把通项an拆成两数差的形式,使备项相加时能消去所有的中间项.这是数列求和的基本技巧之一.本文将对教学中的一个小练习,做一些变式探讨.     

数列“裂项相消法”求和探究

<正>求数列的前n项和是数列一章的学习重点,而对于一些非等差数列又非等比数列的某些数列求和,又是教学的难点.不过,只要我们认真去探求这些数列的特点与结构,也并非无规律可循,下文就和大家谈谈如何通过"裂项"来求一类特殊数列的前n项和.一、"裂项相消法"的由来用裂项相消法来对数列求和,关键是如何"裂项",我们先来看下面的一个例子:     

递推数列的通项

递推数列是数列中的一类非常重要的问题,一般地,可以通过给出数列的第一项(或前若干项),并给出数列的某一项(或前若干项)的关系式来表示数列,这种表示数列的方式叫做数列递推方式.与中学竞赛有关的递推数列通常有两类:an=f(an-1)(n=2,3,4,…)及一个初始项a1所确定的数列,叫一阶     

转化法求递推数列通项公式

求递推公式数列通项公式问题,是近几年高考的热点.通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题求解,通过变换递推关系,将非等差、等比数列转化为与等差、等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法.     

从“斐波那契数列”谈利用数列递推公式裂项求和

<正>裂项求和是数列求和的一种重要方法,常见的裂项求和都是根据数列的通项公式的特点采用合理的裂项进行求和,但是对于给出递推公式而不便或难以求出通项公式的数列,我们可以根据通项的特点,进行适当的变形而实现裂项求和,这一问题在高考题中屡见不鲜,本文就这一问题常见的求和进行总结.     

递推数列的通项

递推数列是数列中的一类非常重要的问题，一般地，可以通过给出数列的第一项（或前若干项），并给出数列的某一项（或前若干项）的关系式来表示数列，这种表示数列的方式叫做数列递推方式．     

由递推公式求数列通项的通性通法

<正>数列的通项公式直接表述了数列的本质.知道了通项公式,就可以解决数列的一系列的性质问题.所以在高考数列题中往往第一问就是求其通项,掌握求通项的通性通法就至关重要.本文根据近几年高考中出现的对数列求通项公式问题进行归纳并举例其应用.数列求通项公式一般分为三类,第一类为     

高考数列中裂项求和的模型

<正>数列求和中的裂项相消法是高考热点之一,是将原数列每一项拆为两项(或几项)之后,在求和过程中,中间的大部分项都互相抵消了,只剩下有限的几项.笔者通过对近几年高考中常见的裂项方式分析,归纳出常见模型.     

用不动点法求数列的通项公式

在学习了数列之后,大家会经常遇到已知a1及递推公式an＋1=f（an）,求数列{an}的通项公式的问题,很多题口令人感到非常棘手．本文将就此问题给出一个“公式”性的方法--不动点法,应用此法可巧妙地处理此类问题,供大家参考．     

用构造法求数列的通项公式

有很多数列通过递推公式给出,它们可以根据递推公式构造出一个新数列,来间接求原来数列的通项公式.对于不同的递推公式,我们可以采用不同方法构造不同类型的新数列.下面给出几种常见的构造新数列方法.     

数列裂项求和的原则及作用

我们知道等差、等比数列求和有现成的求和公式,但若数列既非等差又非等比,在求和时就要用其它办法,如:例1这里所用的方法称“裂项法”,怎样的数列求和可用裂项法,有何规律?首先是找出数列的通项,如例1的通项是αn=1/n(n 1),把通项裂成     

数列的求和

本文主要解决高中数学教学中等差数列与等比数列的求和问题,以及可以转化为上述两种数列的求和问题。某些例题略有超出,但不作进一步的引申与推广,不涉及更深的内容与方法。     

运用“两边取法则”求数列通项

1．取倒数 例1已知数列{an}中,a1=7,an=an-1-2/2an-1＋5（n∈N＊,n≥2）.求an.     

“替换-消项”巧求摆动数列的通项

文[1]介绍了用（-1）^n求摆动数列的通项，本文介绍另一种方法，即通过“替换-消项”构造公比为-1的等比数列巧求摆动数列的通项．此法简便，易于操作．