Zum Beulproblem der anisotropen Rechteckplatte

Zusammenfassung Es wird das Ausbeulen einer anisotropen Rechteckplatte untersucht, bei der die Anisotropie praktisch dadurch zustande kommt, daß eine homogene isotrope Platte konstanter Dicke durch zwei sich senkrecht kreuzende Scharen von Versteifungen verstärkt wird. Dabei wird — gegenüber bereits vorliegenden Untersuchungen — die Möglichkeit exakt berücksichtigt, daß die Versteifungen nur auf einer Seite der isotropen Platte, also unsymmetrisch zu deren Mittelfläche angeordnet sind. Für die Belastung durch Druck- und Schubkräfte werden die Differentialgleichungen des Problems in der üblichen Art und Weise aus den Gleichgewichts-bedingungen am verformten Element abgeleitet und dazu das entsprechende Variationsproblem angegeben. Wesentlich ist dabei lediglich, daß hier infolge der Unsymmetrie der Versteifungen nicht von vornherein die Dehnungen und Schubverformungen für irgendeine neutrale Ebene gleich Null gesetzt werden können, sondern mit berücksichtigt werden müssen. Für die reine Druckbelastung wird dann die Beulbedingung einer allseitig gelenkig gelagerten Platte explizit aufgestellt. Diese Beulbedingung wird schließlich für die nur in Kraftrichtung versteifte Platte noch näher untersucht. Dabei ergeben sich unter anderem Anhaltspunkte für eine zweckmäßige Wahl des Steifenabstandes und die Aufteilung des Materials auf Blech und Versteifungen.     

Zur Berechnung der Potentialströmung um quergestellte Luftschiffkörper

Zusammenfassung Zunächst wird das v. Kármánsche Verfahren, die Potentialströmung um quergestellte Luftschiffkörper mit Hilfe einer streckenweise konstanten Dipolbelegung auf der Achse des Körpers zu berechnen, kurz skizziert und einige Überlegungen für Beginn und Ende der Belegung angestellt. Dann wird dieses Verfahren verbessert durch Annahme einer stetigen, stückweise linear veränderlichen Dipolbelegung auf der Achse. Der zweite Hauptteil der Arbeit bringt die Berechnung der Potentialströmung mit Hilfe von Quellen und Senken, die auf der Oberfläche des Luftschiffkörpers angeordnet sind. Die Integralgleichung, der diese Oberflächenbelegung genügen muß, wird angeschrieben, und der Kern auf Funktionen zurückgeführt, die sich aus vollständigen elliptischen Normalintegralen zusammensetzen lassen. Für diese Funktionen werden Diagramme gegeben. Die Integralgleichung ist durch Iteration lösbar. Die Konvergenz des Verfahrens ist gut. Zum Schluß werden die Formeln zur Berechnung der Geschwindigkeit auf der Oberfläche und des Potentials für einen beliebigen Punkt angegeben.Herrn Prof. Dr.Betz bin ich für die Anregung zu dieser Arbeit und für seine Ratschläge bei ihrer Abfassung zu besonderem Dank verpflichtet.     

Unsteady free convection flow under the influence of a magnetic field

Summary The unsteady free convection boundary layer at the stagnation point of a two-dimensional body and an axisymmetric body with prescribed surface heat flux or temperature has been studied. The magnetic field is applied parallel to the surface and the effect of induced magnetic field has been considered. It is found that for certain powerlaw distribution of surface heat flux or temperature and magnetic field with time, the governing boundary layer equations admit a self-similar solution locally. The resulting nonlinear ordinary differential equations have been solved using a finite element method and a shooting method with Newton's corrections for missing initial conditions. The results show that the skin friction and heat transfer coefficients, andx-component of the induced magnetic field on the surface increase with the applied magnetic field. In general, the skin friction, heat transfer andx-component of the induced magnetic field for axisymmetric case are more than those of the two-dimensional case. Also they change more when the surface heat flux or temperature decreases with time than when it increases with time. The skin friction, heat transfer andx-component of the induced magnetic field are significantly affected by the magnetic Prandtl number and they increase as the magnetic Prandtl number decreases. The skin friction andx-component of the magnetic field increase with the dissipation parameter, but heat transfer decreases.

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Instationäre freie Konvektionsströmung unter dem Einfluß eines magnetischen Feldes

Übersicht Untersucht wurde die instationäre freie Konvektionsgrenzschicht am Ruhepunkt eines zweidimensionalen und achsensymmetrischen umströmten Körpers bei vorgegebenem Wärmefluß bzw. bei vorgegebener Temperatur an der Oberfläche. Das magnetische Feld wird parallel zur Oberfläche angelegt, und der Einfluß des induzierten magnetischen Feldes wurde berücksichtigt. Es stellt sich heraus, daß bei bestimmter, zeitlicher Potenzgesetzverteilung des Wärmeflusses bzw. der Temperatur und des magnetischen Feldes an der Oberfläche die geltenden Grenzschichtgleichungen örtlich eine selbstähnliche Lösung erlauben. Die sich ergebenden nichtlinearen gewöhnlichen Differentialgleichungen wurden mittels einer Finite-Element-Methode und einer Shooting-Methode mit Newtonschen Korrekturen für fehlende Anfangsbedingungen gelöst. Die Ergebnisse zeigen, daß die Oberflächenreibung und die Wärmeübergangskoeffizienten sowie diex-Komponente des induzierten magnetischen Feldes an der Oberfläche mit dem angelegten magnetischen Feld zunehmen. Im allgemeinen sind die Oberflächenreibung, der Wärmeübergang und diex-Komponente des induzierten magnetischen Feldes im achsensymmetrischen Fall größer als die entsprechenden Werte im zweidimensionalen Fall. Außerdem verändern sich diese Werte beim zeitlichen Abfallen des Wärmeflusses an der Oberfläche bzw. der Temperatur in höherem Maße als bei der zeitlichen Zunahme dieser Werte. Die Oberflächenreibung, der Wärmeübergang und diex-Komponente des induzierten magnetischen Feldes werden durch die magnetische Prandtl-Zahl erheblich beeinflußt; sie nehmen mit abfallender magnetischer Prandtl-Zahl zu. Die Oberflächenreibung und diex-Komponente des magnetischen Feldes nehmen mit dem Wärmeableitungsparameter zu, der Wärmeübergang jedoch fällt ab.

     

Moving load on initially stressed thick plates attached together by a flexible core

Summary Vibrations of an infinitely long, prestressed double strip-plate system are studied analytically. The plates are attached together by a flexible core and one of the plates is subjected to a line load which moves with a constant speed along the plate. The constant, uniform prestresses are parallel to and perpendicular to the infinite edges of the plates. The solution is presented within the framework of a plate theory which includes the effects of shear deformation and rotary inertia. Critical characteristic parameters of the system are defined. An example is provided where the bending moments of the plates are calculated. From the results of theoretical analysis, it becomes evident that the prestresses in the system have considerable effect upon the dynamic behaviour of the system.

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Übersicht Die Schwingungen eines unendlichen, vorgespannten Doppelplattenstreifensystems werden für den Fall analysiert, daß die Platten durch einen biegsamen Kern verbunden sind, und daß eine Linienlast au einer Platte angreift, die sich mit konstanter Geschwindigkeit entlang der Platte verschiebt. Die konstanten, gleichmäßigen Vorspannungen sind parallel zu und senkrecht zu den unendlichen Rändern der Platten. Die Lösung wird im Rahmen einer Plattentheorie gegeben, die die Wirkung der Schubverformung und die Drehträgheit berücksichtigt. Die das System charakterisierenden kritischen Parameter werden definiert. In einem Beispiel werden die Biegemomente der Platten ermittelt. Die Ergebnisse zeigen, daß die Vorspannungen auf das dynamische Verhalten des Systems erheblichen Einfluß haben.

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The author wishes to acknowledge the consistent guidance and encouragement of Professor H. Saito of Tohoku University.     

An analysis of the effects of pressure gradient and streamline curvature on film cooling effectiveness

A numerical method is presented to analyze the effects of the pressure gradient and streamline curvature on film cooling effectiveness. The results show that the convex surface may give higher effectiveness values than flat surface where as the concave surface give smaller values. The effects of pressure gradient on film cooling effectiveness may become more important over curved surfaces than flat surfaces.Eine numerische Methode zur Berechnung der Effektivität von Filmkühlung für die Analyse von Wirkungen des Druckgradienten und der Krümmung der Strömungslinien wird vorgetragen. Die Ergebnisse zeigen, daß die konvexe Oberfläche höhere und die konkave Oberfläche niedrigere effektive Werte als die der ebenen Oberfläche geben. Die Wirkungen des Druckgradienten auf die Effektivität der Filmkühlung spielen in der Regel auf der gekrümmten Oberfläche eine wichtigere Rolle als auf der ebenen Oberfläche.     

Three-dimensional periodic boundary layers

Summary Three-dimensional periodic boundary layers on an arbitrary surface are considered assuming that the outer flow is a known periodic potential flow. It is shown that, if the Strouhal number and the Reynolds number are of the same order and if both are large, the interaction between the curvature of the surface and viscosity induces a harmonic part in the secondary motion inside the boundary layer in addition to steady and subharmonic parts.

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Übersicht Es werden dreidimensionale periodische Grenzschichten an einer beliebigen Oberfläche betrachtet unter der Annahme, daß die Außenströmung eine bekannte periodische Potentialströmung ist. Es wird gezeigt, daß unter der Vorsausetzung, daß Strouhalzahl und Reynoldszahl groß und von gleicher Größenordnung sind, durch das Zusammenwirken von Oberflächenkrümmung und Zähigkeit innerhalb der Grenzschicht ein harmonischer Anteil für die sekundäre Strömung innerhalb der Grenzschicht entsteht, der sich den stationären und den subharmonischen Anteilen überlagert.

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The author thanks Prof. S. D. Nigam for his comments on the first draft of the paper.     

Ausbildung eines Wirbels an der Kante einer Platte

Zusammenfassung Die Strömung um die unendlich breite Platte kann man darstellen als eine Potentialströmung mit Unstetigkeitsflächen, die von den Plattenkanten ausgehen. Durch eine konforme Abbildung läßt sich bei gegebener Form und Wirbelbelegung der Unstetigkeitsflächen das Geschwindigkeitsfeld berechnen. Eine Bedingung ist die, daß die Geschwindigkeit an den Plattenkanten endlich sein muß. Sie ist aber nicht ausreichend zur Bestimmung der Form und Wirbelbelegung der Fläche. Auf Grund einer Ähnlichkeitsforderung gelingt es aber, eine Lösung dieser Aufgabe für die unendlich breite Platte zu finden, die für den frühesten Beginn der Flüssigkeitsbewegung richtig ist. Ausgehend von dieser Lösung wird die weitere Entwicklung der Wirbelbelegung und Gestalt der Fläche bei einer endlich breiten Platte verfolgt.Zum Schluß möchte ich Herrn ProfessorBetz für die Anregung zu dieser Arbeit und seine rege Unterstützung bei der Durchführung meinen besonderen Dank aussprechen.Göttinger Dissertation.     

Zur Theorie der Plattenbeulung im plastischen Materialbereich

Zusammenfassung und Ausblick Die vorliegende Arbeit bringt eine Erweiterung der Theorie der Plattenbeulung für den plastischen Materialbereich, die von den einfachsten, in sich widerspruchfreien Spannungs-Deformationsgesetzen der mathematischen Plastizitätstheorie — den differentiellen Prandtl-Reu-Gesetzen — ausgeht. Mit dieser erweiterten Theorie wird es möglich, einer durch den Walzvorgang erzeugten, also von vornherein im Plattenmaterial vorhandenen Anisotropie auch im plastischen Bereich Rechnung zu tragen. Als Instabilitätskriterium wurde dabei die Shanleysche Hypothese zugrundegelegt. Angewendet wurde die Theorie auf die Berechnung der Beulspannungen dünner Rechteckplatten, die einen homogenen Normalspannungszustand an deren Rändern ausgesetzt sind. Damit sollte vor allem zur Beantwortung der bisher noch nicht endgültig geklärten Frage beigetragen werden, woher die beträchtlichen Abweichungen der mit den differentiellen Gesetzen errechneten Beulspannungen von den in Versuchen gemessenen stammen. Zu diesem Zweck wurden die Kollbrunnerschen Beulversuche mit Platten aus der Aluminiumlegierung Avional M-hart nach der erweiterten Theorie nachgerechnet, wobei die für dieses Material nicht bekannten Anisotropiekonstanten aus Versuchen abgeschätzt wurden, die Stüssi an Rohren aus einer ähnlichen Alummiumlegierung (Avional M-weich) vorgenommen hatte. Obwohl die Ergebnisse einer Rechnung, die auf derart abgeschätzten Anisotropiekonstanten basiert, natürlich unsicher sein müssen und daher auch nicht mitgeteilt werden konnten, soll erwähnt werden, daß die Anisotropie im Mittel eine Verringerung der Beulspannung um etwa 20% bewirkte: Die mit Berücksichtigung der Anisotropie errechneten Beulspannungen und Halbwellenzahlen stimmen daher mit den von Kollbrunner gemessenen wesentlich besser überein als die für isotropes Material berechneten. Die endgültige Entscheidung über die Frage, ob es genügt, die Diskrepanz zwischen Theorie und Versuch allein auf den Einfluß der Walzanisotropie zurückzuführen, oder ob es womöglich noch nötig sein wird, von einem komplizierteren, differentiellen Spannungs-Deformationsgesetz (z. B. nach Prager) auszugehen bzw. darüberhinaus den Einfluß einer geringen Abweichung der Plattenmittelfläche im unbelasteten Zustand von der Ebene zu berücksichtigen, muß allerdings weiteren experimentellen Untersuchungen vorbehalten bleiben, die erst nach genauer Bestimmung der Anisotropiekonstanten einen einwandfreien Vergleich zwischen Theorie und Versuch ermöglichen werden. Hierüber soll später noch berichtet werden.     

Der Spannungstensor des visko-elastischen Körpers

Zusammenfassung Nach einer Zusammenstellung und Diskussion der grundlegenden Sätze der phänomenologischen Rheologie wird ein weiterer sehr allgemeiner Satz ausgesprochen und begründet. Dieser Satz postuliert für den visko-elastischen Körper die Existenz einer Zustandsfunktion, d. h. einer Funktion der Mikro-Konfiguration des Körpers derart, daß die Differentiation derselben nach ihren Koordinaten die Spannungskräfte liefert. Aufgrund dieses Satzes kann bewiesen werden, daß der Spannungstensor sich im mitgeführten (konvektierten) Koordinatensystem wie eine kontravariante Tensordichte transformiert. Daraus werden einige Folgerungen bezüglich einer sachgemäßen Formulierung der rheologischen Zustandsgleichung und insbesondere bezüglich der zweckmäßigen Wahl der kinematischen Tensoren abgeleitet.     

Der Momentenausgleich plastischer Balkentragwerke und die Verträglichkeit der Formänderungen

Zusammenfassung Auch unter plastischen Beanspruchungen müssen die entstehenden Formänderungen untereinander geometrisch verträglich sein. Die bisherigen Versuche, diese Verträglichkeit für den Zustand des Momentenausgleichs rechnerisch zu beweisen, sind nicht einwandfrei. Erst wenn man berücksichtigt, daß Einzellasten sich auf eine gewisse Breite verteilen, läßt sich nachweisen, daß Momentenausgleich und geometrische Verträglichkeit der Verformungen sich nicht widersprechen.     

Biegung elliptischer und kreisförmiger Platten von veränderlicher Dicke bei hydrostatischer Belastung

Zusammenfassung Die Gleichung der elastischen Fläche der eingespannten elliptischen Platte und der eingespannten sowie der gelenkig gelagerten Kreisplatte gleicher Dicke für gleichmäßig verteilte Belastung wird dazu benutzt, die Beanspruchung solcher Platten bei hydrostatischer Belastung und veränderlicher Plattendicke zu ermitteln. Die Differentialgleichung wird für linear veränderliche Plattensteifigkeit in der Richtung des Druckgradienten streng erfüllt. Die Randbedingungen, werden ebenfalls streng befriedigt. Für dreieckförmige Belastung, die gerade bis zur Oberkante der Platte reicht, werden Zahlenbeispiele durchgerechnet. Für die Kreisplatte wird der Vergleich mit der Platte gleichbleibender Dicke gegeben. Dabei ergibt sich für die eingespannte Platte gleichbleibender Dicke ein Mehraufwand an Werkstoff von 8% gegenüber der Platte von veränderlicher Dicke, wenn die größten Spannungen in beiden Fällen dieselben sein sollen.     

Momentum and heat transfer on a continuous flat surface moving in a parallel counterflow free stream

Heat transfer from a surface in motion relative to either a stationary or moving fluid occurs in many material processing applications such as hot rolling, extrusion, and drawing. In this study, an analysis has been carried out to predict transport occurring in the laminar boundary layer on a continuous surface which moves in the opposite direction of the free stream. Similarity and integral methods of solution were both used, and the results obtained are compared. Predictions for the local skin friction and heat transfer rate depend on the ratio of the surface and the free stream velocities and on the Prandtl number. When the velocity ratio is greater than zero, it was found that there is a Prandtl number for which the heat transfer rate is maximum.Wärmeübergang von einer Oberfläche, die sich relativ zu einem entweder ruhenden oder strömenden Fluid bewegt, tritt bei vielen verfahrens- oder verformungstechnischen Prozessen, wie Heißwalzen, Extrudieren und Ziehen auf. In dieser Studie wurde hergeleitet, wie sich die Austauschprozesse in der laminaren Grenzschicht einer kontinulierlichen, dem Freistrom entgegengesetzt bewegten Oberfläche theoretisch erfassen lassen. Die sowohl nach der Ähnlichkeits- wie der Integralmethode gewonnenen Ergebnisse werden verglichen. In die Vorausberechnung lokaler Reibungs- und Wärmeübergangsintensitäten gehen das Verhältnis von Flächen- zu Freistromgeschwindigkeit und die Prandtl-Zahl ein. Ist das Geschwindigkeitsverhältnis größer als Null, so findet sich eine Prandtl-Zahl, für die der übertragene Wärmestrom maximal wird.     

Biegung rechteckiger Balken aus sprödem Stoff

Zusammenfassung Ein vonH. Schlechtweg stammendes nicht lineares Elastizitätsgesetz wird für die Berechnung der Biegung spröder Körper zugrunde gelegt. Zunächst beschäftigt sich die Arbeit mit der allgemeinen Formulierung des Spannungsgleichgewichts, wobei von der Tatsache Gebrauch gemacht wird, daß ebene Querschnitte bei der Biegung eben bleiben. Es ergibt sich daraus notwendigerweise der Schluß, daß die neutrale Faser mit zunehmender Durchbiegung aus der Schwerpunktslinie wandert. Für rechteckigen Querschnitt wird der funktionale Zusammenhang dieser Verschiebung mit der Dehnung einer vorgegebenen Stelle weiter verfolgt und der Spannungsverlauf über den Querschnitt betrachtet. Die Gleichgewichtsbedingung gegen Verdrehen liefert eine Beziehung zwischen den inneren Kräften und dem aufgeprägten Biegemoment, woraus sich auch die wahre Biegefestigkeit ableiten läßt. In einem weiteren Teil der Arbeit wird die Auslenkung spröder Balken ins Auge gefaßt und für einige spezielle Fälle der Biegungspfeil explizit angegeben. Schließlich dienen einige Versuche, die aufC. Bach undW. Pinegin zurückgehen, zur Prüfung der Rechnung.Der Verfasser möchte auch an dieser Stelle Herrn Prof.Angenheister für die Anregung zu dieser Arbeit, der Notgemeinschaft der Deutschen Wissenschaft für ihre Unterstützung und Herrn Dr.Schlechtweg für wertvolle Mitarbeit danken.     

Beitrag zur Berechnung in Querrichtung durchlaufender Plattenstreifen mit Hilfe Fourierscher Integrale

Zusammenfassung Die Beanspruchungen und Verformungen eines Plattenstreifens unter dem Angriff eines Randmomentes wurden untersucht. Das Randmoment wurde in ein Fourier-sches Integral entwickelt. Die gesuchten Größen ergeben sich als bestimmte Integrale, die numerisch ausgewertet werden. Insbesondere wurde die Neigung der Biegefläche am betrachteten Rand untersucht. Für eine gegebene Belastung, die ebenfalls in Fouriersche Integrale entwickelt wurde, wurde am betrachteten Rand die Neigung der Biegefläche bestimmt. Aus der Bedingung einer horizontalen Tangente der Biegefläche bei starrer Einspannung, bzw. der Stetigkeit der Biegefläche über der Auflagerlinie bei durchlaufenden Platten konnte durch Vergleich der Randneigungen das Einspann- bzw. Stützmoment ermittelt werden. Anhand von Beispielen wurden der Rechnungsgang erläutert und Ergebnisse gewonnen.     

Beitrag zur Berechnung der hyperbolischen Paraboloidschale

Zusammenfassung Das hyperbolische Paraboloid z=c/a² x y wird nach der Membran-theorie für eine Reihe von Belastungen mit Hilfe einer Spannungsfunktion berechnet. Für die Grundrißprojektionen der Membrankräfte, bezogen auf die Einheit der Grundrißfläche, werden geschlossene Ausdrücke angeführt, aus denen die wahre Größe der Membrankräfte berechnet werden kann.Für Windlast wird der Neigungswinkel der Windrichtung gegen die Tangentialebene im allgemeinen Flächenpunkte angegeben und daraus die Belastung senkrecht zur Fläche festgestellt, welche, in die drei Achsenkomponenten zerlegt, die Schubkraft, und durch Differentiation und Integration die achsenparallelen Normalkräfte liefert.Ähnlich wird bei hydrostatischer und waagerechter Belastung vorgegangen; weiter wird eine Reihe senkrechter Belastungen behandelt (Keil-, Trapez-, Parabel- und windschiefe Belastung, sowie gleichförmige Belastung der Oberfläche und des Grundrisses). Auch wird die Berechnung der Schale mit erhöhten Giebeln gezeigt.     

Vergleich der Wärmebilanz bei der diskontinuierlichen und der kontinuierlichen Herstellung von Kohleelektroden

Zusammenfassung Es wird die Wärmebilanz bei der kontinuierlichen Formgebung grüner Elektrodenmasse auf einer 4-spindeligen Schneckenpresse betrachtet und gezeigt, daß es nicht möglich ist, bei kurzer Verweilzeit der kalten Mischung über die Mantelfläche so viel Wärme zuzuführen, als für die Überführung in einen formbaren Zustand notwendig ist. Durch die Umwandlung der von dem Motor aufgenommenen elektrischen Energie in Reibungswärme erhält die durchgesetzte Masse die Wärmemenge, die sie benötigt. Werden noch die Energieverluste berücksichtigt, die an den Kupplungen, in den Getrieben und in den Lagern entstehen, so befindet sich zwar das System in einem thermischen Gleichgewicht, denn es wird soviel Wärme verzehrt, als erzeugt wird. Aber der Ablauf in der Presse ist nicht isotherm, sondern die Gut-Temperatur steigt vom Eintragsende bis zu einem Maximum von ca. 135°C am Schneckenende an und fällt in dem Mundstück wieder um 10 bis 20°C ab.Zu Beginn wird die kontinuierliche Herstellung mit der diskontinuierlichen Arbeitsweise auf hydraulischen Strangpressen verglichen. Hier spielt das Problem der Wärmeübertragung nicht die entscheidende Rolle wie bei den kontinuierlichen Verfahren; die langen Verweilzeiten reichen aus, um die erforderliche Wärmemenge an das Einsatzgut heranzubringen.Allen meinen Mitarbeitern sci an dieser Stelle berzlich gedankt.     

Zur Dynamik einer unendlichen Platte auf dem Halbraum-Fundamentnachgiebigkeit und Wellenfeld bei harmonischer Punktlast

Übersicht Es wird das System einer unendlich ausgedehnten Platte auf einem homogenen Halbraum bei Anregung durch eine vertikale harmonische Punktlast untersucht. Die lösung für die vertikalen Verschiebungen der Platte und der Halbraumoberfläche läßt sich explizit als Fourierintegral über die Wellenzahl angeben. Die Polstellen des Integranden geben Auskunft über die Wellengeschwindigkeiten und Dämpfungen der freien Wellen des Systems. Für die Verschiebungen des Lastangriffspunktes läßt sich das Integral zum Teil geschlossen lösen, und man erhält die statische Nachgiebigkeit, sowie eine mittelfrequente und eine hochfrequente Asymptote. Für die allgemeine Lösung am Lastangriffspunkt und für das Wellenfeld wird das Integral numerisch ausgewertet.Es zeigt sich, daß das System Platte auf Halbraum sich bei tiefen Frequenzen dem Halbraum und bei hohen Frequenzen der Platte annähert. Dies gilt für die Wellengeschwindigkeiten und für das Wellenfeld. Die Nachgiebigkeit am Lastangriffspunkt ist hingegen schon bei der statischen Lösung von der Plattensteifigkeit mit beeinflußt. Der mittelfrequente Bereich ist stark von der Wechselwirkung zwischen Platte und Halbraum geprägt. Durch die Abstrahlung von Wellen ins Innere der Halbraumes ergibt sich eine starke Dämpfung der Oberflächenwellen mit einer entsprechend starken Amplitudenabnahme über die Entfernung. Am Lastangriffspunkt ergibt sich eine charakteristische Asymptote für die Nachgiebigkeit vonu/p (i )^1/2. Diese mittelfrequenten Wechselwirkungsphänomene sind besonders bei «leichten» Platten stark ausgeprägt. Als maßgeblicher Frequenzparameter erweist sich eine auf die Scherwellenlänge des Halbraumes bezogene elastische Länge 1.

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Dynamic interaction of an inifinite plate and a half-space due to a harmonic point load

Summary An infinite plate resting on a homogeneous half-space is considered under a vertical harmonic point-load. The solution of the vertical displacements of the plate are given as a Fourier integral in wavenumber domain. The wave speed and the damping of free waves, the complicance function at the loading point and the wave field at certain frequencies are presented. The results show that there are three different ranges of frequencies: at low frequencies the plate on half-space is dominated by the half-space, at high frequencies the system behaves like a plate without half-space. The intermdiate range of frequencies is strongly influenced by the interaction of the plate and the halfspace. The surface waves of the half-space are scattered into the half-space by the flexural stiffness of the plate. Therefore there is a strong damping of free waves, a corresponding strong decay of the amplitudes with distance, and a characteristic compliance at the loading point ofu/p (i )^–1/2.

     

Der Spannungszustand in der rotierenden spröden Scheibe

Zusammfassung Es wird mit dem neuen nichtlinearen Elastizitätsgesetz spröder Körper unter der Annahme, daß Lochrand und Außenrand der rotierenden Scheibe kräftefrei sind, die Differentialgleichung des Problems aufgestellt und durch eine Näherung gelöst. Verschiebung und Spannungen werden als Funktion des Radius berechnet sowie eine einfache Formel für die Abhängigkeit der am Lochrand auftretenden Tangentialspannung von der Umlaufsgeschwindigkeit angegeben. Die Bachsche Vermutung, daß die Sprengfestigkeit praktisch gleich der Zugfestigkeit ist, wird bestätigt. Die Umfangsgeschwindigkeit, bei der der Bruch erfolgt, berechnet sich nach (47).Wenn auch die entwickelte Näherungsmethode den Bach-Grüblerschen Gegensatz erklärt, so ist trotzdem zu fordern, daß sie einer Prüfung durch den Versuch unterzogen wird, da erst nach Messung der Empfindlichkeiten der in Frage kommenden Werkstoffe die Frage entschieden werden kann, ob eine Erhöhung der zulässigen Geschwindigkeit sich mit den Fragen der Betriebssicherheit in Einklang bringen läßt.Zum Schluß danke ich auch an dieser Stelle Herrn Prof.Prandtl und der Notgemeinschaft der deutschen Wissenschaft für die Möglichkeit, in dem Göttinger Institut für angewandte Mechanik arbeiten zu dürfen.     

Turbulente Vermischung ebener Heißluftstrahlen

Zusammenfassung Auf der Grundlage eines vom Verfasser in einer vorangegangenen Arbeit aufgestellten Gleichungssystem für turbulente Strömungen von Gasen stark veränderlicher Dichte wird die turbulente Vermischung ebener Heißluftstrahlen, die zunächst durch eine Scheidewand getrennt sind und sich dann in einem Winkelraum mischen, berechnet. Die Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems erfolgt mittels eines Iterationsformalismus. Berechnet werden die Verteilungen der Geschwindigkeit und der Temperatur für eine Reihe von Parametern der Geschwindigkeits- und Temperaturdifferenz. Es resultiert, daß der Winkelraum der Mischung sich mit wachsender Temperaturdifferenz zum heißeren Strahl hin dreht. Weiterhin ergibt sich, daß der Zustrom zum Mischungsraum sich beim Überschreiten der Schwelle gleicher Impulsströmungen beider Strahlen in einen Abstrom wandelt. Der Vergleich mit vorliegenden Messungen an Heißluftstrahlen in bewegter Luft ergibt für die Temperaturverteilungen gute Übereinstimmung sowohl hinsichtlich der Mischbreite wie auch des Verhältnisses von Außen- zu Innenwinkel. Hinsichtlich der letztgenannten Charakteristik ist für die Geschwindigkeitsverteilungen befriedigende Übereinstimmung erst bei Einführung eines effektiven Düsenradius, der dem Impulsverlust der Strömung an der Düsenwandung Rechnung trägt, zu erzielen.     

Reversibles und irreversibles Fließen von Hochmolekularen

Zusammenfassung Es wird gezeigt, daß zwischen der Platzwechseltheorie und der linearen phänomenologischen Relaxationstheorie für das plastisch-elastische Verhalten keine Widersprüche bestehen. Die Platzwechseltheorie führt zu nichtlinearen Beziehungen, und die bekannten Gleichungen ergeben sich, indem statt der hyperbolischen Beziehungen jeweils die ersten Näherungen verwendet werden. Fließvorgänge, die durch verminderte Entropie (Änderung der Verteilung auf die vorgegebenen möglichen Lagen) und durch molekulare Haftstellen gekennzeichnet sind und die nach Aufhören einer äußeren Beeinflussung wieder rückläufig verlaufen, sind von solchen, bei denen eine Änderung der molekularen Verteilung auf die im Mittel unverändert bleibenden möglichen Plätze nicht erfolgt, zu unterscheiden. Es empfiehlt sich, neben den Ortskurven den Verlauf von tan in Abhängigkeit von der Frequenz zu zeichnen, um nähere Auskunft über den zugrundeliegenden Fließmechanismus zu erhalten.