等差数列的又一个性质

结论　已知数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}是两个公差均不为零的等差数列 ,如果ａｋ1=ｂｌ1=ｃ1,ａｋ2 =ｂｌ2 =ｃ2 ,其中ｋ1,ｋ2 ,ｌ1,ｌ2 ∈Ｎ ,且ｋ1<ｋ2 ,ｌ1<ｌ2 ,那么等差数列ｃ1,ｃ2 ,…中的各项一定是数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}的公共项 .证　设数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}的公差分别是ｄＡ 与ｄＢ,且ｄＡ≠ 0 ,ｄＢ≠ 0 .等差数列ｃ1,ｃ2 ,…中的第ｎ项可表示为ｃｎ=ｃ1+ (ｎ - 1 ) (ｃ2-ｃ1) ,ｎ∈Ｎ .下面证明ｃｎ 是数列 {ａｎ}中的某一项 .数列 {ａｎ}的通项公式是ａｎ=ａ1+ (ｎ -1 )ｄＡ,令ａ1+ (ｘ - 1 )ｄＡ=ｃｎ=ｃ1+ (ｎ - 1 ) (ｃ2 -ｃ1)=ａ…     

数列中的充要条件

充要条件是高中数学的一个重要概念 ,很多知识可以和它相联系 ,数列也不例外 .现总结一下 ,供同学们学习数列时参考 .命题 1　数列 {ａｎ}为等差数列的充要条件是它的通项公式为ａｎ=ａ·ｎ ｂ (ａ ,ｂ为常数 ,ｎ∈Ｎ ) .命题 2　已知数列 {ａｎ} ,Ｓｎ 为其前ｎ项和 ,则数列为等差数列的充要条件是Ｓｎ=ａｎ2 ｂｎ (ａ ,ｂ为常数 ,ｎ∈Ｎ ) .命题 3　数列 {ａｎ}为等差数列的充要条件是2ａｎ=ａｎ 1 ａｎ - 1(ｎ∈Ｎ 且ｎ≥ 2 ) .命题 4　三数ａ ,ｂ ,ｃ成等差数列的充要条件是ｂ =ａ ｃ2 .命题 5　已知数列 {ａｎ}的前ｎ项和Ｓｎ=…     

综合题新编选登

题 4 9　 设数列 {ａｎ}为等差数列 ,且ａｎ<ａｎ + 1,前 6项的平方和为 70 ,立方和为0 .1 )求 {ａｎ}的通项ａｎ;2 )在平面直角坐标系内 ,直线ｌｎ 的斜率为ａｎ,且与曲线 ｙ =ｘ2 相切 ,与 ｙ轴交于Ｂｎ,记ｂｎ=|Ｂｎ + 1Ｂｎ| ,求ｂｎ;3)对于 2 )中数列 {ｂｎ},求证 :ｓｉｎｂ1+ｓｉｎｂ2 +… +ｓｉｎｂｎ <32 .解　 1 )依题意 ,有 :ａ21+ａ22 +ａ23 +ａ24+ａ25 +ａ26=70 ,ａ3 1+ａ3 2 +ａ3 3 +ａ3 4+ａ3 5 +ａ3 6=0 .∵ {ａｎ}为等差数列 ,∴ａ1+ａ6=ａ2 +ａ5 =ａ3 +ａ4.若ａ1+ａ6>0 ,得到 :ａ3 1+ａ3 6=(ａ1+ａ6) (ａ21+ａ1ａ6+ａ26)>0…     

归纳、猜想、证明——求数列通项的一种思路

数学归纳法是证明关于自然数ｎ的命题的一种方法 .在解数列题中 ,我们可用数学归纳法得到所求数列的通项 ,当然 ,先要进行观察、归纳与猜想 .例 1　设无穷数列 {ｂｎ}的前ｎ项和为ｃｎ,且ｂｎ+ｃｎ=ｎ (ｎ∈Ｎ) .(1)求证 :数列 {1-ｂｎ}为等比数列 ;(2 )求ｌｉｍｎ→∞1ｎ2 (ｃ1 +ｃ2 +… +ｃｎ) .分析　首先观察 :ｎ =1时 ,ｂ1 +ｃ1 =2ｂ1 =1有ｂ1 =12 ;ｎ =2时 ,ｂ2 +ｃ2 =ｂ1 + 2ｂ2 =2 ,有ｂ2=34;ｎ =3时 ,ｂ3+ｃ3=ｂ1 +ｂ2 + 2ｂ3=3 ,有ｂ3=78,……由 (1)提示知 1-ｂ1 =12 ,1-ｂ2 =14 ,1-ｂ3=18,……故猜想 1-ｂｎ=(12 ) ｎ,即　ｂｎ=1…     

S_n=f(a_n)型数列通项的求法

在有关数列问题中 ,经常要求数列的通项 .许多同学对此类问题常感到困难 .特别是给出Ｓｎ 与ａｎ 的函数关系 ,即Ｓｎ=ｆ(ａｎ)型 ,其中Ｓｎ 表示数列 {ａｎ}的前ｎ项和 ,ａｎ 表示数列的第ｎ项 .此类题难就难在关系复杂 ,不便转化 .下面笔者以一道高考题为例谈一谈此类题的解题策略 .例题　 (1 994年高考试题 )设 {ａｎ}是正数组成的数列 ,其前ｎ项和为Ｓｎ,并对所有的自然数ｎ有ａｎ+22 =2Ｓｎ,求数列 {ａｎ}的通项公式 .策略之一　统一转化成ａｎ 的表达式 .依据ａｎ=Ｓ1Ｓｎ-Ｓｎ - 1　 ｎ =1(ｎ≥ 2 ) ,将Ｓｎ=ｆ(ａｎ)转化成只含有项…     

数列解题中常见错例评析

在有关数列问题求解中 ,由于概念不清、性质不明、公式不分等原因 ,部分同学解题时经常出现错误 .本文拟举例说明 .例 1　已知数列 {ａｎ}的通项公式为ａｎ=3ｎ - 4 ,求证数列 {ａｎ}是等差数列 .错证 :∵ａｎ=3ｎ - 4 ,∴ａ1=3- 4 =- 1 ,ａ2 =2 ,ａ3=5,ａ4=8,则ａ2 -ａ1=ａ3-ａ2 =ａ4-ａ3=3,∴数列 {ａｎ}是等差数列 .评析　证明过程不能用特殊的几项来代替全部 ,而应紧扣定义 :从第二项起 ,是“每”一项与前一项的差为常数 .故可通过通项公式 ,判断 (ａｎ 1-ａｎ)是否为常数来证明 .正确证明　∵ａｎ=3ｎ - 4 ,∴ａｎ 1=3ｎ - 1 ,则当ｎ…     

a_n={S_n-S_(n-1),n≥2,S_1,n=1的应用

设数列 {ａｎ}的前ｎ项和为Ｓｎ,则ａｎ 与Ｓｎ 间有 :ａｎ=Ｓｎ-Ｓｎ - 1 ,Ｓ1 ,ｎ≥ 2 ,ｎ=1.它是ａｎ 与Ｓｎ 之间相互转化的重要工具 ,应用它能较简洁地解出许多条件中含有Ｓｎ 的问题 .下面举例说明它的应用 .1　消去Ｓｎ,转化为ａｎ 来解例 1　设 {ａｎ}是正数组成的数列 ,其前ｎ项和为Ｓｎ.并且对所有自然数ｎ,ａｎ 与 2的等差中项等于Ｓｎ 与2的等比中项 .求数列 {ａｎ}的通项公式 .解　由题意有ａｎ 22 =2Ｓｎ (ｎ∈Ｎ ) ,整理得Ｓｎ=18(ａｎ 2 ) 2 ,由此得Ｓｎ 1 =18(ａｎ 1 2 ) 2 ,∴ａｎ 1=Ｓｎ 1 -Ｓｎ=18[(ａｎ 1 2 ) …     

2001春季高考(理工类)第20题的别解

200 1年北京市、内蒙古自治区、安徽省春季高考 (2 0 )题是 :在 1与 2之间插入ｎ个正数ａ1,ａ2 ,ａ3,… ,ａｎ,使这ｎ 2个数成等比数列 ;又在 1与 2之间插入ｎ个正数ｂ1,ｂ2 ,ｂ3,… ,ｂｎ,使这ｎ 2个数成等差数列 .记Ａｎ=ａ1ａ2 ａ3…ａｎ,Ｂｎ=ｂ1 ｂ2 ｂ3 … ｂｎ.1 )求数列 {Ａｎ}和 {Ｂｎ}的通项 ;2 )当ｎ≥ 7时 ,比较Ａｎ 与Ｂｎ 的大小 ,并证明你的结论 .下面 ,本文给出一种有别于参考答案的解答 .解　 1 )　设等比数列的公比为 ｑ ,等差数列的公差为ｄ ,则据题意得ａｎ=ｑｎ 1=2 ,ｂｎ=1 (ｎ 1 )ｄ =2 ,即 ｑｎ 1=2 ,(ｎ …     

由几种典型的递推式构造新数列求通项的方法

已知数列的递推式求其通项公式的方法一般有三种 :“归纳、猜想、证明”、“错位相消 (约 )法”以及构造法 .本文将针对六种最典型的递推式 ,谈谈构造新数列求数列的通项公式的方法 .类型 1　ａｎ +1=ｑａｎ+Ｐｋｎｋ+Ｐｋ - 1ｎｋ- 1+… +Ｐ1ｎ +Ｐ0 (ｑ≠ 0 ,1,ｋ∈Ｎ) .例 1　数列 {ａｎ}中 ,ａ1=1,ａｎ +1=2ａｎ+ 3,求ａｎ.解　令ａｎ +1+ｘ =2 (ａｎ+ｘ) ,可得ｘ =3,故ａｎ+1+ 3=2 (ａｎ+ 3) .又ａ1+ 3=4 ,可见 ,数列 {ａｎ+ 3}是首项为 4 ,以 2为公比的等比数列 ,从而 ,ａｎ+ 3=4·2 ｎ - 1,得ａｎ=2 ｎ +1- 3.例 2　数列 {ａｎ}中 ,…     

解答数列题常见的错误举例

数列是中学数学的重要内容之一 ,有关数列的习题形式多样 ,解法灵活 ,除要求学生有较高的能力之外 ,还必须具有清晰的概念和比较坚实的基础知识 ,否则常因概念不清而导致解题出错 ,现举例如下 .1　判别数列的类型不确切例 1　已知数列 {ａｎ}的前ｎ项和Ｓｎ=ａｎ- 1,试判断此数列是何种特殊数列 ?错解 :ａ1=Ｓ1=ａ - 1,ａ2 =Ｓ2 -Ｓ1=(ａ2 - 1) -(ａ - 1) =ａ(ａ - 1) ,ａ3 =Ｓ3 -Ｓ2 =(ａ3 - 1) - (ａ2 -1) =ａ2 (ａ - 1) ,… ,ａｎ =Ｓｎ-Ｓｎ -1=(ａｎ- 1) -(ａｎ-1- 1) =ａｎ -1(ａ - 1) .容易验证每一项与前一项之比都等于同一常数ａ ,…     

保加利亚教育科学部第50届数学奥林匹克试题(待续)

1　已知数列 {ａｎ}适合ａ0 =4 ,ａ1=2 2 ,且ａｎ- 6ａｎ - 1 ａｎ - 2 =0 (ｎ≥ 2 ) ,证明 :存在两个正整数数列 {ｘｎ}和 { ｙｎ}满足ａｎ=ｙ2 ｎ 7ｘｎ- ｙｎ(ｎ≥ 0 ) .解　 [方法 1]由特征方程ｘ2 - 6ｘ 1=0 ,求其特征根为 3± 2 2 ,应用待定系数法 ,求其通项公式ａｎ=8 5 24 (3 2 2 ) ｎ 8- 5 24 (3- 2 2 ) ｎ(ｎ≥ 0 ) .取 ｙ0 =1,ｙ1=9,ｙｎ=6 ｙｎ - 1- ｙｎ - 2 (ｎ≥ 2 ) .用求ａｎ 同样的方法可求得ｙｎ=2 324 (3 2 2 ) ｎ 2 - 324 (3- 2 2 ) ｎ(ｎ≥ 0 ) .令ａ- 1=2 ,则 ｙ20 7=8=ａ- 1ａ0 且可证ｙ2 ｎ 7=ａｎ -…     

新题征展(125)

A 题组新编 1.(1)设数列{an}由a1=5,a2=23,an+2=5an=1-an(nΕN*)确定. ①求证{an+1-5-√21/2an}是等比数列; ②求数列{an}的通项公式. (2)若把无理数(5+√21/2)2011写成小数,求其个位数字及十分位、百分位上的数字.     

一道数列题的妙解

学数学与学习任何一科知识一样 ,也要有创新精神 ,这对我们学好数学非常重要 .下面请看一道例题 .例　设等比数列 {ａｎ}的前ｎ项和为Ｓｎ,积为Ｐｎ,各项倒数的前ｎ项和为Ｔｎ.求证 :Ｐ2 ｎ=ＳｎＴｎｎ.这道题的常规解法是利用等比数列的求和公式及有关性质 ,将Ｐｎ,Ｓｎ,Ｔｎ 化为关于ａ1和ｎ的关系式 ,化简后证明相等 .这种解法步骤比较多 ,较繁 .下面我运用等比数列的性质通过合比定理证明它 .证明　Ｐ2 ｎ=(ａ1ａ2 ａ3 …ａｎ) 2 =(ａ1·ａｎ) ｎ;ＳｎＴｎｎ=ａ1+ａ2 +ａ3 +… +ａｎ1ａ1+ 1ａ2+ 1ａ3+… + 1ａｎｎ,∵ ａ11ａｎ=ａ21ａｎ…     

数学日记三则——递推数列通项的求解

3月 1 9日　星期一今天 ,在“递推数列”的学习中 ,有一个例题 ,通过大家共同讨论 ,得到三种解法 .例题　已知数列 {ａｎ}满足 :ａ1=1,ａｎ 1=2ａｎ 1,求该数列的通项ａｎ.解法 1　由已知可得　ａ1=1,ａ2 =3,ａ3=7,ａ4=15 ,由此猜测ａｎ=2 ｎ- 1.用数学归纳法证明 :①当ｎ =1时 ,猜想显然成立 .　②假设ｎ =ｋ时猜想成立 ,即ａｋ=2 ｋ- 1.当ｎ =ｋ 1时 ,ａｋ 1=2ａｋ 1=2 (2 ｋ- 1) 1=2 ｋ 1- 1.可见当ｎ =ｋ 1时命题也成立 .综合① ,②知 ,对于一切自然数ｎ命题均成立 .解法 2　由已知有ａｎ=2ａｎ - 1 1,ａｎ- 1=2ａｎ - 2 1,… ,ａ…     

用函数思想解数列问题

数列的实质是函数,用函数思想解数列问题能够加深对数列概念及公式的理解,加强知识点间的联系,增强化归能力.1　利用一次函数性质例1　设ｓｎ为等差数列{ａｎ}的前ｎ项和,求证:ｓｍ ｎｍ ｎ=ｓｍ-ｓｎｍ-ｎ.证　设{ａｎ}公差为ｄ,则ｓｎ=ｎａ1 ｎ(ｎ-1)2ｄ.∴ｓｎｎ=ｄ2ｎ...     

关于公式学习的变式探究

公式学习是数学学习的中心环节 .掌握公式就意味着明确公式的结构特征 (条件和结论 ) ,弄清公式的来龙去脉、推证方法和适用范围 ,并能运用公式解题 .为此 ,要十分注重公式的变式探究 .例如 ,等比数列求和公式 ,课本采用“ｑ倍减法”推导该公式 (记为方法 1) ,若着眼于 {ａｎ}的前ｎ项和Ｓｎ 与ａｎ 之间的联系以及等比数列的定义 ,可得如下推导方法 .方法 2 :(方程法 )设 {ａｎ}是公比为ｑ的等比数列 ,则ａ2ａ1=ａ3 ａ2=… =ａｎａｎ -1=ｑ (ｎ≥ 2 ) ,∴ａ2 =ａ1ｑ ,ａ3 =ａ2 ｑ,… ,ａｎ=ａｎ -1ｑ ,相加得Ｓｎ-ａ1=ｑＳｎ -1(ｎ≥ 2 ) ,…     

一阶二次递归数列的部分结论

在数列 {ａｎ}中 ,若已知ａ1,且满足　　ａｎ +1=ｐａ2 ｎ+ ｑａｎ+ｒ (1)其中 ｐ ,ｑ ,ｒ为常数 ,ｐ≠ 0 ,则数列 {ａｎ}叫做常系数一阶二次递归数列 ,(1)式叫做该数列的递归方程 .1　当 ｑ =ｒ =0时 ,递归方程为　　　ａｎ +1=ｐａ2 ｎ (2 )结论 1　满足 (2 )式的列 {ａｎ}的通项公式为ａｎ=1ｐ(ｐａ1) 2ｎ - 1.此结论用数学归纳法易得 ,证明从略 .2　当 ｑ =0 ,ｒ≠ 0时 ,递归方程为　　　ａｎ +1=ｐａ2 ｎ+ｒ (3)若 ｐ =1,ｒ =- 2 ,递归方程为　　　ａｎ +1=ａ2 ｎ- 2 (4)结论 2　数列 {ａｎ}若满足递归方程 (4) ,则令ａ1=ｍ + 1ｍ,可得…     

处理数列中一类常见问题的三种思路

设 {ａｎ} ,{ｂｎ}是两数列 ,记 {ａｎ}的前ｎ项和为Ｓｎ,{ｂｎ}的前ｎ项和为Ｔｎ,则在数列中 ,常出现“已知 ＳｎＴｎ =ｆ (ｎ )或已知ＳｍＳｎ =ｆ(ｍ)ｇ(ｎ) ,求…”一类的问题 .这类问题一般都涉及到数列中的一些重要知识 ,例如 ,涉及到前ｎ项和、通项、前ｎ项和及通项之间的关系、比例性质等基本知识 .因此 ,研究这类问题对于进一步掌握数列中的基础知识和基本方法有着重要的意义 .本文将给出处理这类问题的三种最常见的思路 .1　以特殊值代入由于已知数列中的两个前ｎ项和的比是对任意的正整数ｎ(或任意的正整数ｍ ,ｎ)而言的 ,因此将…     

等差数列中的线性关系及其功能挖掘

等差数列的通项公式为ａｎ=ａ1 (ｎ - 1)ｄ =ｄｎ (ａ1-ｄ) ,这表明ａｎ 与ｎ成线性关系 .它的前ｎ项和公式为Ｓｎ=ｎａ1 ｎ(ｎ - 1)2 ｄ ,变形后得 Ｓｎｎ =ｄ2 ｎ (ａ1- ｄ2 ) ,显然 ｆ(ｎ) =Ｓｎｎ 与ｎ也成线性关系 .从解析几何的观点看 ,点集 {Ｐｎ(ｎ ,ａｎ) }和{Ｑｎ(ｎ ,Ｓｎｎ) }中的点分别共线 ,把此关系与直线方程的形式作比较 ,不难得出关于ａｎ,Ｓｎｎ 的以下三种形式 :①ｄ =ａｎ-ａｍｎ -ｍ ;○1′ ｄ2 =Ｓｎｎ - Ｓｍｍｎ -ｍ .② ａｎ-ａｍｎ -ｍ =ａｋ-ａｎｋ -ｎ ;○2′Ｓｎｎ - Ｓｍｍｎ -ｍ =Ｓｋｋ - Ｓｎｎｋ -ｎ …     

2002年高考压轴题的启示

近观这几年的高考数学试题 ,均有一定的高等数学背景 .2 0 0 2年高考数学 (理 )压轴题正是如此 .这个题目是 :设数列 {ａｎ}满足ａｎ + 1 =ａ2 ｎ-ｎａｎ+ 1,ｎ =1,2 ,3 ,…(1)当ａ1 =2时 ,求ａ2 ,ａ3,ａ4 ,并由此猜出ａｎ 的一个通项公式 ;(2 )当ａ1 ≥ 3时 ,证明对所有的ｎ≥ 1,有①ａｎ≥ｎ + 2 ;② 11+ａ1 + 11+ａ2 +… + 11+ａｎ≤ 12 .解析　这是以数列和不等式的知识为载体 ,考查猜想、归纳、迭代、递推、放缩、推理以及分析问题和解决问题能力的一道好题 .这道题的入口较宽 ,问题 (1)及 (2 )中①都不难解决 ,(2 )中②却难倒了不少考…