一个使用公式a_n=S_n-S_(n-1)应注意的条件

一个使用公式ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１应注意的条件陆志昌（山西太原幼儿师范学校０３００２７）１问题的提出已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ与ａｎ有下列关系：ａ１＝３，ａｎ＋１＝２Ｓｎ＋２ｎ＋１，求ａｎ．解ａｎ＋１＝２Ｓｎ＋２ｎ＋１（１）ａｎ＝２Ｓｎ－１＋２ｎ－...     

关于《通项方程的一种解法》一文的注记

《数学通报》１９９８年第４期《通项方程的一种解法》一文中的例３：已知数列｛ａｎ｝满足初始条件ａ１＝３,和递推关系ａｎ＋１＝３ａｎ＋２ａｎ＋１（ｎ≥１）,求通项公式．对此例,笔者认为利用一维基本形的射影变换（见文［１］来解答,较为简捷．视ａｎ＋１＝３ａ...     

对一道高考试题的一点看法

对一道高考试题的一点看法４３００６２湖北大学数学系严启平１９９６年高考数学（文史类）试题第２１题及参考解答如下：设等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，若Ｓ３＋Ｓ６＝２Ｓ９，求数列的公比ｑ．解若ｑ＝ｌ，则有Ｓ３＝３ａ１，Ｓ６＝６ａ１，Ｓ９＝９ａ１．但ａ１...     

复合等差(比)数列的通项公式及其应用

我们看两类函数（１）｛ａｆ（ｎ）｝　（ｎ＝１,２,…）（２）｛ｆ（ａｎ）｝　（ｎ＝１,２,…）如果数列（１）、（２）是等差（比）数列,那么我们把它们称为复合等差（比）数列．于是,ａｆ（ｎ）＝ａｆ（１）＋（ｎ－１）ｄ或ａｆ（ｎ）＝ａｆ（１）ｑｎ－１．例１　数列｛ａｎ｝满足２Ｓ２ｎ＝２ａｎＳｎ－ａｎ（ｎ≥２）,ａ１＝２,求ａｎ及Ｓｎ．解　将ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１（ｎ≥１）代入等式,得　　　　２ＳｎＳｎ－１＝Ｓｎ－１－Ｓｎ．因为ａ１＝２≠０,故Ｓｎ≠０,上式可变为１Ｓｎ－１Ｓｎ－１＝２,∴　数列｛１Ｓｎ…     

关于数列性质的探讨

一、等差数列根据等差数列的通项公式易得下面性质：性质１若数列｛ａｎ｝是等差数列，则ａ１＋ａｎ＝ａ２＋ａｎ－１＝…＝ａｒ＋ａｎ－ｒ＋１＝…，即与两端等距离的两项之和均相等．性质２若数列｛ａｎ｝是等差数列，则当ｍ＋ｎ＝ｋ＋ｔ时（ｍ，ｎ，ｋ，ｔ∈Ｎ），有ａ...     

异曲同工——98年一道高考试题的另解及一道竞赛题

今年高考文科和理科的最后一道题可以采用构造数列,从而用放缩法来求解．文科题：已知数列｛ｂｎ｝的是等差数列,ｂ１＝１,ｂ１＋ｂ２＋…＋ｂ１０＝１００．（Ⅰ）求数列｛ｂｎ｝的通项ｂｎ;（Ⅱ）设数列｛ａｎ｝的通项ａｎ＝ｌｇ（１＋１ｂｎ）,记Ｓｎ是数列｛ａｎ...     

高中数学小单元自测题

高中数学小单元自测题数列、极限、数学归纳法（高二）陈耀宇（河南省商城高中４６５３５０）第一套数列１．等差数列ａ－ｄ，ａ，ａ＋ｄ，…的通项公式是（）（Ａ）ａｎ＝ａ＋（ｎ－１）ｄ．（Ｂ）ａｎ＝ａ＋（ｎ－２）ｄ．（Ｃ）ａｎ＝ａ＋ｎｄ．（Ｄ）ａｎ＝ａ＋（ｎ－...     

变通公式 巧妙解题

变通公式巧妙解题２５１７００山东惠民县一中吴庆余等差数列（ａｎ）：ａｎ＝ａ１十（ｎ－１）ｄ公式可巧妙地将ａｎ与Ｓｎ转换，用此公式处理ａｎ与Ｓｎ关系思路清新，功效独到．例１等差数列ａｎ前ｎ项和Ｓ。一５；ｌ’＋３ｎ求通项ａ。（例２在等差数列｛ａ。｝中，前...     

对一道探索性问题的质疑

对一道探索性问题的质疑徐鸿迟（江苏省泰州中学２２５３００）张必华在［１］中对“已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝５６，ａｎ＋１＝１３ａｎ＋（１２）ｎ＋１（ｎ１），并且数列｛ａｎ＋１－１２ａｎ｝是公比为１３的等比数列，求通项ａｎ”的《问题》进行了探索，并指出...     

数学问题解答

１１６６１９９８年１２月号问题解答（解答由问题提供人给出）１．对任意自然数ｎ,试证：１２＋２２＋３２＋…＋ｎ２＜２证明构造数列｛ａｎ｝：ａ０＝２,ａ１＝ａ２０－１２,ａ２＝ａ２１－２２,…,ａｎ＝ａ２ｎ－１－ｎ２．下面数学归纳法证明：ａｎ＞ｎ２．显然...     

两类数列变换在解题中的应用

利用数列｛ａｎ｝的如下两类变换：ａｎ＝ａ１＋（ａ２－ａ１）＋（ａ３－ａ２）＋…＋（ａｎ－ａｎ－１）及ａｎ＝ａ１ａ２ａ１ａ３ａ２…ａｎａｎ－１（ａｉ≠０,ｉ＝１,２,…,ｎ－１）不仅能简便地推导出等差数列和等比数列的通项公式,而且灵活运用它们还能简捷、...     

1993年日本的大学入学数学考试部分数列试题

１９９３年日本的大学入学数学考试部分数列试题吉林省公主岭市八中赵正奇，赵永春译一、（秋田大学２题２３页）今有一数列，由始项ａ１到第ｎ项ａｎ的和所以数列｛ａｎ｝的始项ａ＋ｂ，公差２ａ的等差数列（证毕）．关键：（ａｎ）为等差数列ｑ为常数）；ａｎ＝Ｓｎ－Ｓ...     

等比数列不等比

等比数列不等比５１４５００广东兴宁田家炳中学李淮光数列｛ａｎ｝中，ａ１＝３，Ｓｎ＋１＋Ｓｎ＝２ａｎ＋１，则此数列是等比数列．．即数列｛ａｎ｝是等比数列．前面证明了｛ａｎ｝是等比数列，后面的验证却不成立，原因何在？附“诡辩”揭底：未注意到数列的首项情况...     

一道数列习题的教学价值

高中代数下册Ｐ１２８有这样一道习题：已知数列｛ａｎ｝的项满足ａ１＝ｂ,ａｎ＋１＝ｃａｎ＋ｄ（）其中ｃ≠０,ｃ≠１,证明这个数列的通项公式是ａｎ＝ｂｃｎ＋（ｄ－ｂ）ｃｎ－１－ｄｃ－１．这是传统教材中仅有的一个递推数列习题．教材给出了通项公式,只要求用数学归纳法证明一下,这比直接求数列｛ａｎ｝的通项公式难度要低一些．新教材对递推数列要求有所提高,在原传统教材的基础上,增加并明确“递推公式也是给出数列的一种方法”,因此,直接求形如ａｎ＋１＝ｃａｎ＋ｄ型的通项公式,学生都应掌握．其实,这类问题在高考试…     

求解“相关数列”的一种策略

求解“相关数列”的一种策略成都七中魏华数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ（ｎ∈Ｎ）组成的数列｛Ｓｎ｝与｛ａｎ｝称为一对相关的数列，它们的关系是：ａ１＝Ｓ１，ｎ≥２时，ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１。研究这一对数列的相互关系是数列的常见问题之一。一般地，我们研究由关系式...     

数学问题解答

１９９８年９月号问题解答（解答由问题提供人给出）１１５１设Ｓｎ＝１＋１２＋１３＋…＋１ｎ，求Ｓ１９９９的整数部分．解当ｒ为自然数时，显然有：ｒ＋１２＋ｒ－１２２＜ｒ＜ｒ＋１＋ｒ２，∴ｒ＋１－ｒ＜１２ｒ＜ｒ＋１２－ｒ－１２．在上式中令ｒ＝３，４，…，ｎ...     

数学问题解答

数学问题解答１９９８年１月号问题解答（解答由问题提供人给出）１１１１已知实数ａ，ｂ，ｃ，ｄ满足ａ＜ｃ，ｂ＞ｄ，证明：（ａ－ｂ）（ａ２＋ｂ２）＜（ｃ－ｄ）（ｃ２＋ｄ２）．证明∵ａ＜ｃ，ｂ＞ｄ∴ａ－ｂ＜ｃ－ｄ又∵幂函数ｙ＝ｘ３在Ｒ上是增函数∴ａ３＜ｃ３，...     

1999年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

一、选择题１．给定公比为ｑ（ｑ≠１）的等比数列｛ａｎ｝,设ｂ１＝ａ１＋ａ２＋ａ３,ｂ２＝ａ４＋ａ５＋ａ６,…,ｂｎ＝ａ３ｎ－２＋ａ３ｎ－１＋ａ３ｎ,…,则数列｛ｂｎ｝（　　）．　（Ａ）是等差数列　　（Ｂ）是公比为ｑ的等比数列　（Ｃ）是公比为ｑ３的等比数列　（Ｄ）既非等差数列又非等比数列解　由题设,ａｎ＝ａ１ｑｎ－１,则　ｂｎ＋１ｂｎ＝ａ３ｎ＋１＋ａ３ｎ＋２＋ａ３ｎ＋３ａ３ｎ－２＋ａ３ｎ－１＋ａ３ｎ＝ａ１ｑ３ｎ＋ａ１ｑ３ｎ＋１＋ａ１ｑ３ｎ＋２ａ１ｑ３ｎ－３＋ａ１ｑ３ｎ－２＋ａ１ｑ３ｎ－１＝ａ１ｑ３…     

等比数列前n项和公式的七种推导方法

［题目］　在等比数列｛ａｎ｝中,已知首项ａ１和公比ｑ,求前ｎ项和Ｓｎ．［方法１］——先让学生演算Ｓ１,Ｓ２,Ｓ３,Ｓ４,然后启发学生猜想结论,让学生在探索过程中发现公式,培养学生的探索精神．当ｑ≠１时,Ｓ１＝ａ１＝ａ１（１－ｑ）１－ｑＳ２＝ａ１＋ａ１ｑ＝ａ１（１－ｑ）１－ｑ（１＋ｑ）＝ａ１（１－ｑ２）１－ｑＳ３＝ａ１＋ａ１ｑ＋ａ１ｑ２＝ａ１（１－ｑ２）１－ｑ＋ａ１ｑ２（１－ｑ）１－ｑ＝ａ１（１－ｑ３）１－ｑＳ４＝ａ１＋ａ１ｑ＋ａ１ｑ２＋ａ１ｑ３＝ａ１（１－ｑ３）１－ｑ＋ａ１ｑ３（１－ｑ）１－ｑ＝…     

构造二次方程证明不等式

利用一元二次方程根的分布的充要条件，可以证明一类不等式．例１已知ａ＞１３，ｂ＞１３，ａｂ＝２９．求证：ａ＋ｂ＜１．证明设ａ＋ｂ＝ｔ，∵ａｂ＝２９．∴ａ，ｂ为一元二次方程ｘ２－ｔｘ＋２９＝０的二根，由于ａ＞１３，ｂ＞１３，记ｆ（ｘ）＝ｘ２－ｔｘ＋２９，...