关于丢番图方程(x~m-1)/(x-1)=y~n

设 IP 是一切素数及其方幂的集合.本文证明了:方程(x~m-1)/(x-1)=y~n,x>1,y>1,m>2,n>1适合 x∈IP 以及 y≡1(mod x)的整数解(x,y,m,n)都满足 x~m相似文献   

丢番图方程(an)^(x)+(bn)^(y)=(cn)^(z)

设a,b,c,n均是大于1的整数且a+b=c^(2),gcd(a,b,c)=1.得到了一些关于丢番图方程(an)^(x)+(bn)^(y)=(cn)^(z)正整数解(x,y,z)的结论.     

丢番图方程|(εn-ε-n)/(ε-ε-)|=1的解数

设a、b、c、k是适合a+b=ck,gcd(a,b)=1,c∈{1,2,4},k＞1且k在c=1或2时为奇数的正整数;又设ε=(()a+()-b)/()c,ε=(()n-()-b)/()c.本文证明了当(a,b,c,k)≠(1,7,4,2)或(3,5,4,2)时,至多有1个大于1的正奇数n适合|(εn-εn)/(ε-ε)|=1,而且如此的n必为满足n＜1+(2logn)/logk+2563.43(1+(21.96π)/logk)的奇素数.     

关于丢番图方程x~2-D=p~n的解数

设D是正整数,p是适合p?D的奇素数。本文证明了:当max(D,p)≥10~(190)时,方程x~2-D=p~n至多有3组正整数解(x,n)。     

具有四项的指数丢番图方程(Ⅲ)

根据定理 １,２和 ３;求任何一个方程 ａ~ｘ－ｂ~ｙ＝ｎ,ａ~ｘｂ~ｙ±ａ~ｚ±ｂ~ｗ±１＝０ 或ａ~ｘ±ｂ~ｙ±ａ~ｚ±ｂ~ｗ＝０（ｘ,ｙ,ｚ,ｗ∈≥０）的解都是很简单的,此处ａ,ｂ是适合 ２ ≤５ ａ,ｂ≤５０的互素的两个整数,ｎ是适合１≤ｎ≤８００００的整数．     

关于丢番图方程 χ^3一У^6=3pz^2的整数解

设p=5（mod 6）为素数．证明了丢番图方程χ^3一У^6=3pz^2。在p=5（mod 12）为素数时均无正整数解;在P=11（mod 12）为素数时均有无穷多组正整数解,并且还获得了该方程全部正整数解的通解公式,同时还给出了该方程的部分整数解．     

具有四项的指数丢番图方程(III)

根据定理1, 2和3,求任何一个方程ax-by =n, ax by±az ±bw±1=0或ax ±by±az ±bw=0 (x,y,z,w∈0)的解都是很简单的,此处a,b是适合2a, b50的互素的两个整数,n是适合1n80000的整数.     

具有四项的指数丢番图方程(Ⅲ)

根据定理 １,２和 ３;求任何一个方程 ａ~ｘ－ｂ~ｙ＝ｎ,ａ~ｘｂ~ｙ±ａ~ｚ±ｂ~ｗ±１＝０ 或ａ~ｘ±ｂ~ｙ±ａ~ｚ±ｂ~ｗ＝０（ｘ,ｙ,ｚ,ｗ∈≥０）的解都是很简单的,此处ａ,ｂ是适合 ２ ≤５ ａ,ｂ≤５０的互素的两个整数,ｎ是适合１≤ｎ≤８００００的整数．     

关于指数型丢番图方程的整数解

本文简要地介绍了有关Ｓ－单位方程、Ｒａｍａｎｕｊａｎ－Ｎａｇｅｌｌ方程、Ｔｈｕｅ－Ｍａｈｌｅｒ方程、ＬｅＶｅｑｕｅ方程、Ｃａｔａｌａｎ方程、Ｐｉｌｌａｉ方程等指数型丢番图方程整数解的最新结果。这些结果大多是用Ｔｈｕｅ－Ｓｉｅｇｌｅ－Ｒｏｔｈ－Ｓｃｈｍｉｄｔ方法和Ｇｅｌ’ｆｏｎｄ－Ｂａｋｅｒ方法得到的。     

关于指数丢番图方程a~x+b~y=c~z的Terai猜想

本文证明了:当a=|m(m4-10m2+)|,b=5m4-10m2+1,c=m2+1,其 中m是偶数时,如果m≥542,则方程ax+by=cz仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,5).     

关于广义Ramanujan-Nagell方程x~2+D=k~n的解数

设D、k是互素的正整数．本文运用初等方法证明了：当D是素数时，方程x2＋D＝kn至多有8组正整数解（x，n）.     

Sur L'equation Diophantienne (xn-1)/(x-1)=yq, III

In this paper we study the diophantine equation of the title,which was first introduced by Nagell and Ljunggren during thefirst half of the twentieth century. We describe a method whichallows us, on the one hand when n is fixed, to obtain an upperbound for q, and on the other hand when n and q are fixed, toobtain upper bounds for x and y which are far sharper than thosederived from the theory of linear forms in logarithms. We alsoshow how these bounds can be used even when they seem too largefor a straightforward enumeration of the remaining possiblevalues of x. By combining all these techniques, we are ableto solve the equation in many cases, including the case whenn has a prime divisor less than 13, or the case when n has aprime divisor which is less than or equal to 23 and distinctfrom q. 2000 Mathematical Subject Classification: primary 11D41;secondary 11J86, 11Y50.     

关于不定方程组x-1=3py^2，x^2＋x＋1=3z^2

设P为素数，利用同余及高次丢番图方程的一些结果证明了不定方程组x-1=3py^2，x^2＋x＋1=3z^2仅有正整数解（p，x，y，z）=（7，22，1，13）。     

On the equationx(x +d 1)…(x + (k - 1)d 1) =y(y +d 2)…(y + (mk - 1)d 2)

For given positive integersm ≥ 2,d ₁ andd ₂, we consider the equation of the title in positive integersx, y andk ≥ 2. We show that the equation implies thatk is bounded. For a fixedk, we give conditions under which the equation implies that max(x, y) is bounded. Dedicated to the memory of Professor K G Ramanathan     

关于不定方程x3-1=749y2

利用同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、递归序列证明了:不定方程x³-1=749y²仅有整数解(x,y)=(1,0).     

关于指数型超椭圆方程x^2=p^2m-p^m＋n＋1

证明了指数型超椭圆方程x^2=p^2m-p^m＋n＋1无解（x,p,m,n）,其中x,m,n∈N^＋,m〉n〉1,p∈P．上述结果部分解决了组合论中关于可逆Abel差集的Ma猜想．     

Diophantine方程(a-1)x~2+f(a)=4a~n的一点注记

设a是大于1的正整数,f(a)是a的非负整系数多项式,f(1)=2rp+4,其中r是大于1的正整数,p=2~l-1是Mersenne素数.本文讨论了方程(a-1)x~2+f(a)=4a~n的正整数解(x,n)的有限性,并且证明了:当f(a)=91a+9时,该方程仅当a=5,7和25时分别有解(x,n)=(3,3),(11,3)和(3,4).     

On the Diophantine System a^2 ＋ b^2 = c^3 and a^x ＋ b^y = c^z for b is an Odd Prime

Let a, b and c be fixed coprime positive integers. In this paper we prove that if a^2 ＋ b^2 = c^3 and b is an odd prime, then the equation a^x ＋ b^y = c^z has only the positive integer solution （x, y, z） = （2,2,3）.     

Mordell方程y~3=x~2+2p~4的正整数解

设p是奇素数.对于非负整数r,设U_(2r+1)=(α~(2r+1)+β~(2r+1))/2~(1/2),V_(2r+1)=(α~(2r+1)-β~(2r+1))/6~(1/2),其中α=(1+3~(1/2))/2~(1/2),β=(1-3~(1/2))/2~(1/2).运用初等数论方法证明了:方程y~3=x~2+2p~4有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y)的充要条件是p=U_(2m+1),其中m是正整数.当上述条件成立时,方程仅有正整数解(x,y)=(V(2m+1)(V_(2m+1)~2-6),V_(2m+1)~2+2)适合gcd(x,y)=1.由此可知:当p10000时,方程仅有正整数解(p,x,y)=(5,9,11),(19,1265,123),(71,68675,1683)和(3691,9677201305,4541163)适合gcd(x,y)=1.