问题征解

,叱写七口写云月巴舀七里‘云日巴‘七洲云理弓石月巨写七口弓七口S之绝写2岁 一、本期问题征解 编者按为满足广大初中读者要求,本栏从这一期起,增加初中内容的题目,希踊跃参加并给我们来稿. 1.设aZ+a+1=o,求证a’“吕“+a,””’+x=3. 2.设a,b,c都是整数,求证口+b+a“b“ec》(a bc)-万--一.a忿+bZ=7,‘2+dZ=1,ac+bd=0:求ab十cd之值.设 4.求证‘到垫睡巫兰燮丛竺竺亘巫匕业 了1983是整数.“ 5.设实系数二次式f(二)=二2+a二十b,求证: lj(z)1,!f(2)},If(3)I中至少有一个不小于冬 -一26.计算(1+tgl。)(一+tgZ’)…(1+tg44’). 薪春二中肖继…     

二次函数图象性质的应用点滴

一、利用“性胶”求扭值. 例1求x〔〔0.,l〕s月,/(二),x“+(2一6a)x+sa,的最小位,刀将得到的最小值看作是。的函数g(。).洲出它的图象. 解厂整理:/(二)盖〔,一(3a一1)〕’一6a“+6a一1. 设j(x)在x〔〔。,幻内鼓小值为夕.”势“3一<。,“·:·泣{J·<{.在。(二、1讨、,f(二)是增区数(图l)…g二f(0)=3。“2’)当:、,a一<,,尽},;‘·<:竹寸.口J、二工一3。一1时j(x)最刁、(图2),所以夕=f(3。一l)二一6。“+〔a气l3‘)当s。一J):。JJ。);时,在。《二<,;”:j、,) O是减函数(图3).所以g=l(l)=3。“一助+3二:(。一l)“ l龙{此得 3(。一)2g(a)=一…     

问题与解答

一本期问题‘__1已知某等差数列的S一s二,二斗”,求葱正占。不.二0。2求锐角。的值,使方程劣2一铭co:a十2=O和方程x’一4x‘.:二一2二.有公共根。3一个四位数,若加上195完全平方数,则称这个四位数为’数的个数。5后就成为一个“好数”,求好山东高青一中不查表求证lo若函数f(x)胡称亚提供g:万+10多。万)2.对于任意正数a、bf(a二f(a)(a/b)二f 已知方程 +f(b),求证(a)一(b)满足xZ+1.一十众=器有一个根是吐事上其中幼负数,求k。翔能挤者二申肖继才提撰 7设才 (x+百)(夕+ (言+x)(劣+样的关系?今。,要使下列三式同时成立.”zx,(沙+之)(之+劣)。x…     

问题与解答

一,本期问题 1.设a+夕=3;/4,tga=x.tg夕=万,且x、y为正格数,试求x、刀。:二(工一刀)(x一之)(Zx+夕+之)。解法二令,二xcoso,:二xsi,‘0x“一封3一之3=x3(1一co:忍0一:i,、50)20一:i,:。8) ,;个2.试证11…(,卜1)个一一、x“(cos 20一‘05 30+51x名〔co:20(1一‘o‘0)卜万21‘55…56为一完全平方=x“〔(l一51‘,O)(z一coso) (1一5 ino)〕20(1一sf:0)〕+(1一cos:0)则==求方程:inx“=:inx的最小正解设:为自然数,求和=x3(1一51:0)(1一eoso)(1+51,‘0+1+ co‘0)全+‘呈+…十心)+(c{十‘兰十…十‘孟)十一 34(c 。一一数sn+(‘盈:圣十c盆一生)+:盆.…     

问题与解答

(一)本期问题 1已知一个止整数M的四次幂等于某个5位数ABCDE,其中不同的子母不必代表不同的数码,且A+C十E二B+D,求正整数M. 2设a》,/8,求证方舀硕不丙万了‘丁而不万万东二+刁a一(a+,)/3一了J而蕊二万兀飞l 3已知一木无穷数列x,,xZ,劣,,…,x,,(x,年0)在。>3时,满足条件(川刁一心+.二十二茗一,)(心十嘴+.“+心),(x:x:+x:“3+…+二。一,x。)2.求证这无穷数列是等比数列. 大庆市二十八中李世君一提供 ;化简刁厄一干万百~. 5设f(,)是一个整系数多项式,且f(0)与j(l)都是奇数,则f(二)=。不能有整数根. 福建周宁四中叶润才提供 6证明(军1)(4/…     

新题征展(129)

A 题组新编1.(1)设x∈R+,e表示自然对数的底,求证:函数y=(1+1/x)s,y=(1+1/x)(x+1)分别单调递增、递减,且(1+1/x)x＜e＜(1+1/x)(x+1);(2)已知数列{an}满足2Sn=nan,其中Sn是{an}的前n项和,a2=1,求证:3/2≤(1+1/(2an+1))n＜√e.2.已知a1C0n+ a2C1n+a3C2n+…+an+1Cnn=n·2n对任意的正整数n恒成立.(1)若a1,a2,a3,…,an+1成等差数列,求出该数列的通项公式;(2)若a1是已知数,求数列a1,a2,a3,…,an+1的通项公式.     

利用函数的奇偶性证反三角不等式

肠目设}x}<1,求证 eos(aresinx)(aresin(eosx). 分析易知不等式两边的函数都是偶函数,原命题的条件等价于x(〔O,1].设(a证一: COS=COSare、inx=a,则、ina二x,于是aresinx)一aresin(eosa口一arCSin 了汀、〕s,n、一了一x产“当x〔[0上式二eosa,13时, ,汀、一人不犷,一x’=eosa十sina兀_护育几厂‘一V乙sln(平十。)一冬‘万一斗0=了l一厂,故有…     

问题与解答

一、本期问题 1.若c+b+c=0,a~2+b~2+c~2=0,a~3+b~3+c~3=k,求a~4+b~4+c~4的值;设n为正整数,求a~n+b~n+c~n的值。 2.设x+y+z=0,ax+by+cz=0(其中a、b、c是两两互异的实数),求x~2/yz的值。 3.设n为任意正奇数,m为任意整数,试证明(n+2m)~2-(n+2m)是24的倍数。 4.设正数A、B、C的常用对数分别是a、b、c,且a+b+c=0,证明A~(1/b+1/a)B~(1/a+1/a)C~(1/a+1/b)=1/1000。江苏吴江平望镇五金文具店顾幼元提供 5.已知x+1/y=y+1/z=z+1/x,求证x~2y~2z~2=1。     

问题与解答

一本期问题 1若x、万满足椭圆方程x“/1984十g活=1985,求证.x一卜岁.‘1985. 2求证‘鉴’4*,能被1 05。,整除,商为1 985汤。 3设x、夕)0,且x+,=1 986,求别‘’‘’的最大值。 南昌华东交大附中叶柯提供 4设无为正整数,且一元二次万程(无一1)x生一Px十k二o有两个正整数根,试求k“P(pp+无“)+l的值。 5第四世纪,有个希腊数学家在他所著的算术书中,有一道这样的问题: x‘一60为一个完全平方数,求x,你能不能解答? 6已知x、,、:为三个正实数,且x一卜y十z=3,1/x+1/,+r/z=3,求x“,忿+:,的值 皖祈门芦溪木材收购知长进球提供 7如果二、n、P是方程x…     

一道征解题的推广

《中学数学有这样一道题:1034年第3;件门题与解答栏中设(1十x工:).二ao+a lx一{a:x名+…+a:。x“口,吐明a。=aZ一{一a,一:一a一i-a3十ae+…二al一!一a一+a,+,二…=3一1。现在我们将其推,’‘到一般清形:设(l一x一。x么又卜文).二‘。一卜a lx+a:x“+…+a:(、_,)工.(“),则a。+a‘·”二al+ak+1十a么k+1十,·‘二’·‘二ak_1十一,,a:七十a zk_l+a:、_:十…=k一‘.这.里n,幻寸自然数,且k》乳 证明:一戊们知达x“=l的k..根为eos(2敝/k)十葱5 in(2二兀厂k)(m=0,1,2,…,k一1入如呆记., 弓=‘o:(’二/k)一卜1 51”(见二/k), 则cos(几一,:二,k)一…     

π是无理数的一个证明

为了证明二是无理数,先介绍两个预备知识. 预备知识一设了。(“)=x.(1一x)’/nl(易知当。<二<1时,有。<了。(“)Zn时,f(‘)(o)=o,并且............……f二’“)(o)=(2。)(2。一z)…(n+z)C:。. 这里右边的数都是整数.因此对于所有…     

问题征解

一、本期问题征解 1.解方程 2(3χ-1)(4χ-1)(6χ+1)(12χ+1)=3 2.已知不等式aχ~2+bχ+C>0的解为a<χ<β(其中a<0,β>0),求不等式Cχ~2-bχ+a<0的解 3.锐角△ABC中,AB=3,BC=4,AC的长也是整数,求证:∠B=∠C或者∠A=∠B 江苏泰州中学薜大庆提供 4.若记实数χ的整数部分(即不超过χ的最大整数)为〔χ〕 1~0.试证〔χ〕+〔χ+(1/n)〕+〔χ+(2/n)〕+…+〔χ+((n-1)/n)〕=〔nχ〕,式中χ为正实数,n为任何自然数;     

问题征解

本期问题征解__一a+bL匕知石二乙 b+e一b一c (2)e十aC-a,求证:《1)a+b+e=0;aZ+bZ+eZ=0;、3)告十言+告“。. 2.△ABC内接于半径为1的圆,则此三角形必有一边不大于侧3. 3.若。〔N,且eo:na,sfona都不为0,又(eo:a+xsfoa)“+aeo:。a+bxs玄。。a能被二么+1整除,求a,b的值. 4.求证12,2122,111222,11rl2222,…中任一项都是两个相邻整数之积. 安徽淮南基建七中谢志文提供 5.设二、y、二为三个互不相等的非零实数,且同时满足方程:x”+,x十,=。,y“+。y+”二0,二3+,二+一。.试求令+会+合的值·6.已知x十刀+‘=5,x夕+夕‘+之劣二3,44且二、夕为实数,…     

浅谈方程[f(x)]=g(x)的解法

1987年全国初中联赛第一试填空题第三小硕是: 〔aJ表示不大于数。的最大整数.例如[了百〕=l,〔一丫百」=一2,那么方程2解方程了一〔了可x]+l二0. 〔了了刁=护十l多l,例熟〔3x+l]一ZX一告的所有,的和是_·此题可用下法求解:令:x一粤二,(,为整数),贝IJ有二二吝,十今 ‘任喇又由〔3x+;]二Zx共知o‘(3x+,卜(Zx号)<1即。‘(普,+子)一,相似文献   

问题与解答

一、本期问题 1若f(二+1)=!万一1:,求f(1987)=? 2对之1 im(1.+2“+3“+…+1985t)笼In 3求函爹刀二(x一1):十(x一2广+…十 (x一3969)忍取得最小值时的x值. 大悟县三中郭炳坤提供 4己知,为任意实数,求二次方程二名+二x+(”*1)〔”+2)(”+3)(”+4)+5/4=0恒有实根时佗的取值范围. 5已知△ABC的三边为a、b、e,且a,+b,+C,二ab+西c+ca,问△A刀c是怎样的三角形? 6在△ABC中,已知乙A二600,a=1,求证b十‘(2. 江西泰和中学凌全华提供 7已知AD、BE、CF是△ABC的三条高,AD》BC,BE》AC,求证CF二AB/2。 8等腰三角形的面积和周长被平行于底边的…     

数学问题解答

1990年12月号问石解答 (解答由问肠提供人给出)686.设f(x) =〔3+tg:“tg(x+l)“+tgx。 +tg(x+l)“〕一’.违l,饥,=:,联结GD.试求习f(‘)的值.证记ADDBBEECCFFAKB.GC-解由于,当a。一l时牛+兴一,(*) l十口1十0 当x+梦=45“时(1十tgx)·(l+rg少)=2所以(1+tgl“)·(1+tg44。)=2, (1+tgZ”)·(1+tg43。)=2即(1+tgl“)·(l+tgZ。).(l+tg43“)(l+tg44。) 22HE.S‘o衬万=S。。,IDGD// KB△通GD、△月KB,AD GD GH万万-一万石一二万万△GDH~△BKH.一器“:CG“““’ l1 l+1饥即lm=l+1.(*)同样有。n=二十1,、二(1+tgl“)·(l+tgZ“…     

对一道赛题解法的探究

1986年全国数学竞赛第设实数u、b、。满足 l丫一bc一sa+7=()·试第1题第咬3川、题为:那么“的取值范It1是①② !扩+扩+b‘、一6a+6=‘j(A)(一co,+co);(I弓)(一oo,1 JU〔9,+co);(C)(0,7);(I))r 1.9〕.标准解答是,山题给条件得lbc三丫一sa+7l夕十已+bc=6“一6②一①x3得(l,一‘〕’=一3(‘,一)(u一冬,)③ .’一3(a一l)(u一9))(),故l石a石9 答案为(u). 我们认为此种解法不妥。因为.若口)十(劲,得 (b+‘.)二丫一2“十l=(‘:一I)④ bc〔R.而(“一l)J要0二‘一co<‘,<十oo,答案应为(A). 又若将①代人②得 粉+‘“=一丫+14‘,一13二一(‘,一1)…     

用微积分求组合数的和

利用微积分解决有关组合数的和的问题,往往能使解题过程大为简化.现列举数例介绍如下:一、利用微分法求组合数的和例2.求证:C二+ZC二+3C君+…+。C盆 =”.2一1证,i’(1+x)“=C盒+C孟劣+C二xZ+C沈x“+…+C器义” 故两边对x求一导,得 。(1+劣)一‘=C二+ZC盖二+3C寻x“+…+nC;x”一‘. 令,=1,则得 C二+ZC盖+3C盒+…+。C器=。·2”一’. 例2.求证:C只一ZC毛+3C二一4C盒+…+(一1)”(n+l)C盆二O(凡>2).证’:二(1一x).=C马x一C盖戈“+C二到一C二x峪+…+(一1).C竺x“+1.故两边对二求导,得(l一劣)”一nx(1一劣)“一‘二C日一ZC二盒x+3C…     

问题与解答

一、本期问题 1求不等式82a昌+65乙,十82:,十4d:+1(加+18a乙+144右c+4cd的解。 2求方程粼牙丁铸翻十万互筋「不二10的实根。 浙江象山岳浦中学顾海润提供 3证明方程(忿召丁co:250一1)tg苦。二(2训万:认舫。一1)tg3扩的所有解是整数。 4证明对任仁n)2,数“二了r军汤不污下六蓄厂是无理数。S已知点P(x,砂在曲线劣,+沪=t上运幼,求便才.+忍了丁x夕一,.的值最小的点。 6设O《t《万,把关于x的方程,一l:东称t+eos:!x+s::z‘o:t=o的较大的根表示成,的函数,并作出图象。 盆庆五中张正贵提供, 二、上期问肠解答 1若f(x+1)=l二一1!,求f(1987)- 解令x+…     

导数的一个定理在三角恒等式中的应用

11二二一-~二二二二二二二=二二=二一一=二=二二二二二二二二二二二二侧1+xZ训1十x之0故aT:cos(一x):-口TCCO万X=C又a下ecos(一1)+a了ecosl二兀(常数)x〔〔一1,1〕所泛妇罚。:(一x)+ar“osx=兀,故厂cc仍(一x)二二一arccosx, 定理设函数厂(x)在区间(a,如果在(a,西)内恒有f‘(x)=o(a,b)内是常数。b)内可导, 那么f(x)在x〔〔一1。 杯J3 (卜l(1) 证明:召1乙COS据这一定理可以巧妙、(1 01〕。求证Za下es inx二a::cos(1一Zx“),若、爷士1,由于〔名aTc了l’nx一 2万“)〕产= 浪角恒等 例 证式的题。简便的解决一类三了1一xZ 2丫1一x“l,一三…