余弦定理与向量

1如以x_a,x_b,x_c分别表示三角形三边a,b,c上首尾相接的向量,则x_a x_b x_c=0.所以内积(x_a.x_a)=[-(x_b x_c)]-[(x_b x_c)]或x_a~2=(x_b x_c)~2=x_b~2 x_c~2 2(x_b.x_c).其标量式:a~2 b~2 c~2 2bc.cos(π-A)=b~2 c~2-2bccos A即为三角形的余弦定理.进而考虑任一有向角折线:∑n     

拓广的Wietzenboeck不等式

在三角形ABC中,三边为a,b,c,面积为S,则有 a~2+b~2+c~2≥4 3~(1/2)S.其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立.这就是Weitzenboeck不等式. 对于两个三角形ABC和A′B′C′,其边分别为a,b,c,和a′,b′,c′,面积分别为S和S′,则有     

不等式研究成果集锦(8)

88.在△ABC中,当n=4,5,6时,有∑cosnA≥1+8(3.2-n-1)∏sinA2.(黄拔萃.1999,2)89.△ABC三边长分别为a、b、c,其对应中线分别为ma、mb、mc,则　　∑ama≥4∑ma∑a,当且仅当△ABC为正三角形时取等号.(尹华焱,褚小光.1999,2)90.在△ABC中,三条中线分别为ma、mb、mc,三条角平分线分别为ta、tb、tc,半周长为s,则3∑t2a.∑m2a≥s2∑mbmc.(褚小光.1999,2)注:这是杨学枝提出的猜想,褚小光予以证明.91.设H′为伪垂心,过H′的Cave线长分别为f1、f2、f3,AH′、BH′、CH′长分别为R1、R2、R3.对应的Cave线的剩余部分分别为r1、r2、r3,△ABC三边长为a、b、c,E′F′=a′,D′E′=b′,D′F′=c′,若△ABC为锐角三角形,则(i)∑a′k≥2-k∑ak(k≥1);(ii)∑Rk1≤(23)k∑fk1(0     

构造函数法证明不等式

<正>构造函数法就是根据所证不等式的特征,构造适当的函数,然后利用一元二次函数的判别式、函数的奇偶性、单调性、有界性等性质来证明不等式,这种方法,统称为构造函数法.例1设a,b,c∈R,求证:a²+ac+c2+ac+c²+3b(a+b+c)≥0,并指出等号何时成立.证明左边整理成关于a的二次式f(a)=a2+3b(a+b+c)≥0,并指出等号何时成立.证明左边整理成关于a的二次式f(a)=a²+(c+3b)a+c2+(c+3b)a+c²+3b2+3b²+3bc.∵Δ=(c+3b)2+3bc.∵Δ=(c+3b)²-4(c2-4(c²+3b2+3b²+3bc)=     

一个有趣的代数式

a~3+b~3+c~3-3abc是一个有趣的代数式。它是一个三次齐次式,整齐、简单、易记,更重要的是它具有很多有用的性质。性质1° a~3+b~3+c~3-3abc能被a+b+c整除。事实上,a~3+b~3+c~3-3abc =(a+b+c)(a~2+b~2+c~2-db-bc-ca) 所以 a~3+b~3+c~3-3abc能被a+b+c整除。性质2°设a,b,c为非负实数, 则a~3+b3+c~3≥3abc,当且仅当a=b=c时取等号。证明∵a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca =1/2〔(a-b)~2+(b-c)~2+(c-d)~2〕∴a~3+b~3+c~3-3abc=(a+b+c)·1/2〔(a-b)~2+(b-c)~2+(c-a)~2〕∵a≥0,b≥0,c≥0,且1/2〔(a-b)~2+     

Pedoe不等式和另一个涉及两个三角形的不等式

1.设△ABC与△A'B'C'的边长分别为α,β,γ与α′,β′,γ′,它们的面积分别为△与△′,则有不等式 H≡α′~2(-α~2 β~2 γ~2) β′~2(α~2-β~2 γ~2) γ′~2(α~2 β~2-γ~2)≥16△△′(1)式中等号当且只当△ABC∽△A'B'C'时成立。     

一个不等式的多种证法及推广

当且仅当a=6=c=1/3时取等号。(以下各种证法中取等号的条件不再赘述) 证2 (均值法)由a~2+b~2+c~2≥(a+b+c)~2/3=1/3 证3 (均值法)以等号成立条件入手。     

勾股定理逆定理的証法

偶翻英文杂志“数学教师”(1961年12月),內中登載勾股定理的逆定理証法六种,頗有意思,茲介紹如下: 一、通常証法。 設在△ABC中,a~2+B~2=c~2。求証:∠C=90°。 証。作直角三角形A′B′C′使A′C′=b,B′C′=a,∠C′=90°,則 a~2+b~2=c′~2。根据已知条件a~2+b~2=c~2。∴c′=c~2因而c′=c。∴△ABC=△A′B′C′,因此     

单形中的一类不等式

§1.引言 在△ABC中,设BC=a,CA=6,AB=c,h_a,h_b,h_c分别为a,b,c边上的高,△为AABC的面积,则可证得如下不等式:∑a(-h_a+h_b+h_c)≥6△.(1)当且仅当△ABC为正三角形时等号成立。     

一个轮换对称不等式的证明

文[1]中,证明了一个优美的三角形轮换对称不等式　　∑a2≥4△b2a2+c2b2+a2c2.(1)不等式(1)经变换等价于∑m2ah2a≥12(b2a2+c2b2+a2c2)+32.(2)其中a、b、c,ma、mb、mc,ha、hb、hc,△分别表示△ABC的三边长,中线,高及面积.本文将给出类似不等式(2)的一个结论.定理　在△ABC中有　　∑m2aa2≥34(b2a2+c2b2+a2c2).(3)证明　先将(3)式右边进行恒等变换可得　2(b2a2+c2b2+a2c2)=b2a2+c2b2+a2c2-a2b2-b2c2-c2a2+∑(c2b2+b2c2)=(a2-b2)(b2-c2)(a2-c2)a2b2c2+∑b2+c2a2.而　　∑4m2aa2=∑2b2+2c2-a2a2=2∑b2+c2a2-3,所以(3)式等价于　14(2∑b2+c2a2-3)≥38[(a2-b2)(b2-c2)(a2-c2)a2b2c2+∑b2+c2a2]上式化简整理∑b2+c2a2-6≥3(a2-b2)(b2-c2)(a2-c2)a2b2c2　∑a2(b-c)2　≥3(a2-b2)(b2-c2)(a2-c2).(4)(4)式左...     

费一哈不等式的一组等价命题及应用

设△ABC的三边为a、b、c,面积为S,则a~2+b~2+c~2≥4(3～(2/1))(当且仅当a=b=c时取等号) 这一不等式称为费恩斯列尔——哈德维格尔不等式。笔者发现它有一组等价命题和有很多重要应用。     

不等式(x+y)/2≥(xy)~(1/2)的一点应用

众所周知,当a、b为实数时有(a-b)~2≥0,而有a~2+b~2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立。进一步引伸,不难得到: x+y/2≥(xy)~(1/2)≥2/(1/x+1/y) (*) 这里,x>0,y>0,当且仅当x=y时等号成立。不等式(*)有着广泛的运用,在很多书刊上     

加权Weitzenbck不等式的两个证明

设△ABC的三边与面积分别为a,b,c与△,则 a~2 b~2 c~2≥4 3~(1/2)△, (1)等号当且仅当△ABC为正三角形时成立。不等式(1)称为不等式。众所周知,它有以下加权推广(见[1]): 定理设△ABC的边长与面积分别为a,b,c,△,又x,y,z中至少有两个正数,且yz zx xy>0,则 xa~2 yb~2 zc~2≥4(yz zx xy△)~(1/2), (2)等号当且仅当a~2:b~2:c~2=(y z);(z x):(x y)时成立。关于不等式(1)的证明,已经有了很多证法。不等式(2)的证明却较少见,[1]中采用了解析法,但未完整地给出等号成立的确定过程。[2]中采用配方法证明了,对任意实数x,y,z有:     

一个几何不等式的简证

文 [1 ]证明了 ∑ a2t2b t2c≤ Rr(当且仅当△ ABC为正三角形时等号成立 ) .下面我们给出上述不等式的简单证明 .证明　∑ a2t2b t2c≤ ∑ a2h2b h2c≤ ∑ a22 hbhc　 =∑ a2 bc8Δ2 =abc4Δ∑ a2Δ=R .1r =Rr.由上述证明过程可知 ,我们得到了比∑ a2t2b t2c≤ Rr更强的不等式 ∑ a2h2b h2c≤Rr(当且仅当△ ABC为正三角形时等号成立 )故有不等式链 :2≤ ∑ a2t2b t2c≤ ∑ a2h2b h2c≤ Rr一个几何不等式的简证!528219$广东省南海市南庄高中@郝迎利1　张才元,陶兴模.一个猜想的否定.中学数学,1999,8…     

(((i~2+b~3)/2))～(1/2)≥(a+b)/2≥(ab)～(1/2)≥2/(1/a+1/b)的一种几何证法

我们知道,((a~2+b~2)/2)~(1/2)、(a+b)/2、(ab)~(1/2)、2/(1/a+1/b)(a>0、b>0)分别为a、b的平方平均数、算术平均数,几何平均数、调和平均数。不等式(a~2+b~2/2)~(1/2)≥(a+b)/2≥(ab)~(1/2)≥2/(1/a+1/b)为平均不等式最简单的情形,这里给出它的一种几何证法。因为a、b是给定的,以a+b为直径作圆如右图,BD=a、DC=b,过D作AD垂直于BC交圆于A,连OA、OB、AC,则OA=OB=OC=BC/2。而且有 1°.四个三角形ABC、ABD、AOD、ADC都是直角三角形,     

对Weitzenboeck不等式的改进

在三角形ABC中,三条边为a、b、c,面积为S.则有a~2+b~2+c~2≥4(3~(1/2))S. 其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立. 这就是Weitzenboeck后不等式.它反映了三角形的边与面积之间的不等量关系.现在我们将这只不等式作进一步的改进,而     

一道课本习题的一个姊妹不等式及其应用

现行全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(上)P_(17)有这样一道不等式:对任意的实数a,b,c,d,都有(a~2+b~2)(c~2+d~2)≥(ac+bd)~2.等号当且仅当ad=bc时成立.通过对称性,我们容易联想到它的如下一个姊妹不等式.定理设a,b,x,y∈R,则有(a~2-b~2)(x~2-y~2)≤(ax-by)~2,当且仅当ay=bx时等号成立.     

不等式研究成果集锦(5)

48.△ABC三边长为a、b、c,半周长为s,则　∑(s-b)2 (s-c)2b2 c2≥∑sin2A2≥∑2(s-a)2b2 c2≥34.(褚小光.1998,5)49.在△ABC中,ma、mb、mc,ta、tb、tc,ha、hb、hc,ra、rb、rc,分别表示其中线、角平分线、高线、傍切圆半径,R与r分别为△ABC的外接圆与内切圆半径,则(1)Rr≥∑m2a∑mbmc ∑mbmc∑m2a,∑t2a∑tbtc ∑tbtc∑t2a,∑h2a∑hbhc ∑hbhc∑h2a,∑r2a∑rbrc ∑rbrc∑r2a.(2)Rr≥∑ma9r 9r∑ma,∑ta9r 9r∑ta,∑ra9r 9r∑ra.(尹华焱.1998,5)50.在△ABC中,三边为a、b、c,其对应边上的高分别为ha、hb、hc,则(i)∑(b-c)2≥19∑(b ca)2…     

一个涉及Fermat点的不等式的推广

设△ ABC的三边和面积分别为 a,b,c及△ .F是△ ABC内的 Fermat点 ,AF、BF、CF的延长线分别交对边于 A′、B′、C′.记 AA′=fa,BB′=fb,CC′=fc.文 [1]建立了如下不等式 :f2a f2b f2c≥ 3 3△ (1)等号当且仅当△ ABC为正三角形时成立 .本文将把 (1)式推广为 :若 t≥ 2或 t<0 ,则　 fta ftb ftc≥ 3(3△ ) t2 (2 )等号当且仅当△ ABC为正三角形时成立 .为证明 (2 )式 ,先给出一个引理 .引理　设 a1 ,a2 ,… ,an ∈ R ,k≥ 1或k <0 ,则　　∑ni=1aki ≥ n(1n∑ni=1ai) k (3)此结果见文 [2 ].下面证明 (2 )式 .证明　由 t≥ 2…     

算術運算定律在恒等式變形中的應用

高年级学生在代数变形中所犯的错误,有许多情形都是说明学生对于算术运算定律的忽视. 例如下列约分:(2a~2b+4c)/2=a~2b+4c;(a(a~2+b~2+b)~(1/2))/a=(a~2+b~2)~(1/2)+b等等